北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题 18页

‎2020北京西城区高三一模 数 学 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.设集合则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求交集得到答案.‎ ‎【详解】集合，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算模长得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.‎ ‎【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除； ‎ B. ，值域为，奇函数，排除；‎ C. ，值域为，奇函数，满足； ‎ D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎4.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，解得，，得到答案.‎ ‎【详解】，解得，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.设则以线段为直径的圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.‎ ‎【详解】的中点坐标为：，圆半径为，‎ 圆方程为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.设为非零实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.‎ ‎【详解】，故，，故正确；‎ 取，计算知错误；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.‎ 故，，.‎ 故，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎8.设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；‎ 当与共线，方向相反时，，故不必要.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）‎ ‎①绕着轴上一点旋转; ‎ ‎②沿轴正方向平移;‎ ‎③以轴为轴作轴对称;‎ ‎④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.‎ A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；‎ ‎，，‎ 故，函数关于对称，故④正确；‎ 根据图像知：①③不正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.‎ ‎10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.‎ ‎【详解】，画出函数图像，如图所示：‎ 根据图像知：，，故，且.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共110分)‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的展开式的通项为，取计算得到答案.‎ ‎【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算，解得答案.‎ ‎【详解】，故，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线得到，，计算得到离心率.‎ ‎【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.函数的最小正周期为________;若函数在区间 上单调递增，则的最大值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.‎ ‎【详解】，故，当时，，‎ 故，解得.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:‎ ‎①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;‎ ‎②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;‎ ‎③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；‎ 因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；‎ 因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.‎ 故答案为：②③.‎ ‎【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.‎ ‎(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故.‎ ‎，，故，故.‎ ‎，故平面.‎ ‎(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取得到，，设直线与平面所成角为 故.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.‎ ‎17.已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.‎ 详解】选择①时：,，故 ‎.‎ 根据正弦定理：，故，故.‎ 选择②时，，，故，为钝角，故无解.‎ 选择③时，，根据正弦定理：，故，‎ 解得，.‎ 根据正弦定理：，故，故.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:‎ ‎(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;‎ ‎(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)‎ ‎【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.‎ ‎(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.‎ ‎，，.‎ 故分布列为：‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.设函数其中 ‎(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;‎ ‎(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导得到，，解得答案.‎ ‎(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，故，‎ ‎，故.‎ ‎(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，‎ 设零点为，故，即，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 故 ‎，‎ 设，则，‎ 设，则，单调递减，‎ ‎，故恒成立，故单调递减.‎ ‎，故当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.‎ ‎20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.‎ ‎(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;‎ ‎(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.‎ ‎(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.‎ ‎(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，，故，，，.‎ 故四边形的面积为.‎ ‎(Ⅱ)设为，则，故，‎ 设，，故，‎ ‎，‎ 同理可得，‎ ‎，故，‎ 即，，故.‎ ‎(Ⅲ)设中点为，则，，‎ 相减得到，即，‎ 同理可得：的中点，满足，‎ 故，故四边形不能为矩形.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.对于正整数，如果个整数满足，‎ 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.‎ ‎(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;‎ ‎(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.‎ ‎(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据题意直接写出答案.‎ ‎(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时， ‎ 根据对应关系得到，再计算，，得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.‎ ‎(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；‎ 当为奇数时，时，最大为；‎ 综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.‎ ‎(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；‎ 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，‎ 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，‎ 故.‎ 综上所述：.‎ 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；‎ 当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，‎ 故；‎ 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.‎ 综上所述：使成立的为：或.‎ ‎【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎