2018届二轮复习（理）考试大纲解读专题09数列学案（全国通用） 7页

专题 09 数列 （十二）数列 1．数列的概念和简单表示法 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2．等差数列、等比数列 （1）理解等差数列、等比数列的概念. （2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题. （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 与 2017 年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在 2018 年的高考中 预计仍会以“两小或一大”的格局呈现. 如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度 的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查； 中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查. 如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查从数列的前n 项和与第 n 项的关系入手， 结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前 n 项和，有 时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等. 考向一 等差数列及其前 n 项和 样题 1 （2017 新课标全国 I 理科）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 样题 2 已知数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）数列 满足 ， . ①求数列 的通项公式； ②是否存在正整数 ， （ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设数列 的公差为 ，则 ． 由 ， ，得 ， 解得 或 （舍去）． nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na { }na n nS 2 3 15a a⋅ = 4 16S = { }na { }nb 1 1b a= 1 1 1 n n n n b b a a+ + − = ⋅ { }nb m n m n≠ 2b mb nb m n { }na d 0d > 2 3 15a a = 4 16S = ( )( )1 1 1 2 15 4 6 16 a d a d a d + + = + =   1 1 2 a d = =    1 7 2 a d = = −    所以 ． ② 假 设 存 在 正 整 数 、 （ ）， 使 得 ， ， 成 等 差 数 列 ， 则 ． 又 ， ， ， 所以 ，即 ， 化简得 ， 当 ，即 时， （舍去）； 当 ，即 时， ，符合题意． 所以存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列． 考向二 等比数列及其前 n 项和 样题 3 （2017 新课标全国 II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望 巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共 有灯 A．1 盏 B．3 盏 2 1na n= − m n m n≠ 2b mb nb 2 2n mb b b+ = 2 4 3b = 3 2 3 1 2 1 2 4 2n nb n n −= = −− − 3 1 2 4 2mb m = − − 4 3 1 3 2 4 2n  + − −  3 12 2 4 2m  = − −  1 1 1 2 1 6 4 2m n = +− − 7 22 1 nm n −= + 97 1n = − + 1 3n + = 2n = 2m = 1 9n + = 8n = 3m = 3m = 8n = 2b mb nb C．5 盏 D．9 盏 【答案】B 样题 4 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， . （1）证明： 是等比数列； （2）若 ，求 的最小值. 【解析】（1）因为 ，所以 ， 所以 ，而 ， 所以 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1）得 ， ， ∴ ， 由 ，得 ， 因为 ，所以 时， 的最小值为 5. 考向三 数列的综合应用 样题 5（2017 新课标全国Ⅲ理科）等差数列 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成 等比数列，则 前 6 项的和为 A． B． C．3 D．8 【答案】A { }na n nS 1 1a = 1 2 5n n nS S a+ = + + { }5na + 5 128nS n+ > n 1 2 5n n nS S a+ = + + 1 2 5n na a+ = + 1 5 2 10 25 5 n n n n a a a a + + += =+ + 1 5 6a + = { }5na + 15 6 2 3 2n n na −+ = × = × 3 2 5n na = × − ( )2 33 2 2 2 2 5n nS n= × + + + + − = ( )2 1 2 3 5 6 2 6 51 2 n nn n × − × − = × − −− 5 6 2 6 128n nS n+ = × − > 672 3 n > 5 4672 23 > > 5 128nS n+ > n { }na { }na 24− 3− 【解析】设等差数列 的公差为 ， 由 a2，a3，a6 成等比数列可得 ，即 ，整理可得 ， 又公差不为 ，则 ， 故 前 6 项的和为 .故选 A. 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式 和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它 们表示已知和未知是常用方法. 样题 6 已知各项均不相等的等差数列 满足 ，且 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． { }na d 2 3 2 6a a a= ( ) ( )( )21 2 1 1 5d d d+ = + + 2 2 0d d+ = 0 2d = − { }na ( ) ( ) ( )6 1 6 6 1 6 6 16 6 1 2 242 2S a d × − × −= + = × + × − = − { }na 1 1a = 1 2 5, ,a a a { }na ( ) ( )*1 1 1 n n n n n n a ab na a + + += − ∈N { }nb n nS . 样题 7 （2017 天津理科）已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， ， ， ． （1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 ． 1 1 1 1 1 1 1 1 2 21 13 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n +       = − − + + + − − + − + = − − = −       − + + +        { }na ( )nS n ∗∈N { }nb 2 3 12b b+ = 3 4 12b a a= − 11 411S b= { }na { }nb 2 2 1{ }n na b − ( )n ∗∈N