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- 2021-06-15 发布
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§7.2
一元二次不等式及其解法
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
1.
“
三个二次
”
的关系
知识梳理
判别式
Δ
=
b
2
-
4
ac
Δ
>0
Δ
=
0
Δ
<0
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)
的图象
一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
(
a
>0)
的根
有两个相异
实根
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)
有两个相等实
根
x
1
=
x
2
=
没有实数
根
一元二次不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
(
a
>0)
的解集
(
-
∞
,
x
1
)
∪
(
x
2
,+
∞
)
(
-
∞
,
)
∪
(
,+
∞
)
R
一元二次不等式
ax
2
+
bx
+
c
<0
(
a
>0)
的解集
________
____
____
(
x
1
,
x
2
)
∅
∅
2.
常用结论
(
x
-
a
)(
x
-
b
)>0
或
(
x
-
a
)(
x
-
b
)<0
型不等式的解法
不等式
解集
a
<
b
a
=
b
a
>
b
(
x
-
a
)·(
x
-
b
)>0
{
x
|
x
<
a
或
x
>
b
}
________
____________
(
x
-
a
)·(
x
-
b
)<0
________
____
{
x
|
b
<
x
<
a
}
口诀:大于取两边,小于取中间
.
{
x
|
x
≠
a
}
{
x
|
x
<
b
或
x
>
a
}
{
x
|
a
<
x
<
b
}
∅
知识
拓展
(1) >0(<0)
⇔
f
(
x
)·
g
(
x
)>0(<0).
(2)
≥
0(
≤
0)
⇔
f
(
x
)·
g
(
x
)
≥
0(
≤
0)
且
g
(
x
)
≠
0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式
.
思考辨析
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
若不等式
ax
2
+
bx
+
c
<0
的解集为
(
x
1
,
x
2
)
,则必有
a
>0.(
)
(2)
若不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
的解集是
(
-
∞
,
x
1
)
∪
(
x
2
,+
∞
)
,则方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
的两个根是
x
1
和
x
2
.(
)
(3)
若方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠
0)
没有实数根,则不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
的解集为
R
.(
)
(4)
不等式
ax
2
+
bx
+
c
≤
0
在
R
上恒成立的条件是
a
<0
且
Δ
=
b
2
-
4
ac
≤
0
.(
)
(5)
若二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象开口向下,则不等式
ax
2
+
bx
+
c
<0
的解集一定不是空集
.(
)
√
√
×
×
√
考点自测
1.(
教材改编
)
不等式
x
2
-
3
x
-
10>0
的解集是
________________
___
____.
答案
解析
(
-
∞
,-
2)
∪
(5
,+
∞
)
解方程
x
2
-
3
x
-
10
=
0
得
x
1
=-
2
,
x
2
=
5
,
由于
y
=
x
2
-
3
x
-
10
的
图象
开口
向上
,
所以
x
2
-
3
x
-
10>0
的解集为
(
-
∞
,-
2)
∪
(5
,+
∞
).
2.(
教材改编
)
不等式
<
0
的解集是
_________
__
___.
答案
解析
不等式
<
0
等价于
(
x
-
)(
x
-
4)>0
,
∴
不等式的解集是
{
x
|
x
<
或
x
>4}.
3.(
教材改编
)
不等式
的解集为
_______.
(
-
1,2)
由题意得
x
2
-
x
<2
⇒
-
1<
x
<2
,故解集为
(
-
1,2
).
答案
解析
4.(
教材改编
)
若关于
x
的不等式
ax
2
+
bx
+
2>0
的解集是
(
)
,则
a
+
b
=
_____.
答案
解析
-
14
∵
x
1
=
,
x
2
=
是
方程
ax
2
+
bx
+
2
=
0
的两个根,
∴
a
+
b
=-
14.
5.
不等式
x
2
+
ax
+
4
≤
0
的解集不是空集,则实数
a
的取值范围
是
______________________.
(
-
∞
,-
4]
∪
[4
,+
∞
)
答案
解析
∵
x
2
+
ax
+
4
≤
0
的解集不是空集
,
则
x
2
+
ax
+
4
=
0
一定有解
.
∴
Δ
=
a
2
-
4
×
1
×
4
≥
0
,即
a
2
≥
16
,
∴
a
≥
4
或
a
≤
-
4
.
题型分类 深度剖析
题型一 一元二次不等式的求解
命题点
1
不含参的不等式
例
1
(2016·
南京模拟
)
求不等式-
2
x
2
+
x
+
3<0
的解集
.
解答
化-
2
x
2
+
x
+
3<0
为
2
x
2
-
x
-
3>0
,
解方程
2
x
2
-
x
-
3
=
0
得
x
1
=-
1
,
x
2
=
,
∴
不等式
2
x
2
-
x
-
3>0
的解集为
(
-
∞
,-
1)
∪
(
,+
∞
)
,
即原不等式的解集为
(
-
∞
,-
1)
∪
(
,+
∞
).
命题点
2
含参不等式
例
2
解关于
x
的不等式:
x
2
-
(
a
+
1)
x
+
a
<0.
解答
由
x
2
-
(
a
+
1)
x
+
a
=
0
,得
(
x
-
a
)(
x
-
1)
=
0
,
∴
x
1
=
a
,
x
2
=
1
,
①
当
a
>1
时,
x
2
-
(
a
+
1)
x
+
a
<0
的解集为
{
x
|1<
x
<
a
}
,
②
当
a
=
1
时,
x
2
-
(
a
+
1)
x
+
a
<0
的解集为
∅
,
③
当
a
<1
时,
x
2
-
(
a
+
1)
x
+
a
<0
的解集为
{
x
|
a
<
x
<1}.
引申探究
将原不等式改为
ax
2
-
(
a
+
1)
x
+
1<0
,求不等式的解集
.
解答
若
a
=
0
,原不等式等价于-
x
+
1<0
,解得
x
>1
.
若
a
<0
,原不等式等价于
(
x
-
)(
x
-
1)>0
,
解得
x
<
或
x
>1.
若
a
>0
,原不等式等价于
(
x
-
)(
x
-
1)<0.
①
当
a
=
1
时
,
=
1
,
(
x
-
)(
x
-
1)<0
无解;
②
当
a
>1
时
,
<
1
,解
(
x
-
)(
x
-
1)<0
,
得
<
x
<1
;
③
当
0<
a
<1
时
,
>
1
,解
(
x
-
)(
x
-
1)<0
,得
1<
x
< .
综上所述,当
a
<0
时,解集为
{
x
|
x
<
或
x
>1}
;
当
a
=
0
时,解集为
{
x
|
x
>1}
;
当
0<
a
<1
时,解集为
{
x
|1<
x
< }
;
当
a
=
1
时,解集为
∅
;
当
a
>1
时,解集为
{
x
| <
x
<1}.
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论
.
(1)
若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)
若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)
对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集
.
思维
升华
跟踪训练
1
解下列不等式:
(1)
-
3
x
2
-
2
x
+
8
≥
0
;
解答
原不等式可化为
3
x
2
+
2
x
-
8
≤
0
,
即
(3
x
-
4)(
x
+
2)
≤
0
.
解
得-
2
≤
x
≤
,
所以原不等式的解集为
{
x
|
-
2
≤
x
≤
}.
(2)
求不等式
12
x
2
-
ax
>
a
2
(
a
∈
R
)
的解集
.
解答
∵
12
x
2
-
ax
>
a
2
,
∴
12
x
2
-
ax
-
a
2
>
0
,
即
(4
x
+
a
)(3
x
-
a
)
>
0
,
令
(4
x
+
a
)(3
x
-
a
)
=
0
,
得
x
1
=
,
x
2
=
.
①
当
a
>
0
时
,
,
解集
为
;
②
当
a
=
0
时,
x
2
>
0
,解集为
{
x
|
x
∈
R
且
x
≠
0}
;
③
当
a
<
0
时
,
,
解集
为
.
综上所述,当
a
>
0
时,不等式的解集
为
;
当
a
=
0
时,不等式的解集为
{
x
|
x
∈
R
且
x
≠
0}
;
当
a
<
0
时,不等式的解集
为
.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点
1
在
R
上的恒成立问题
例
3
(1)
若一元二次不等式
2
kx
2
+
kx
-
<
0
对一切实数
x
都成立,则
k
的取值范围为
____
_
__.
答案
解析
(
-
3,0)
∵
2
kx
2
+
kx
-
<
0
为一元二次不等式,
∴
k
≠
0
,
又
2
kx
2
+
kx
-
<
0
对一切实数
x
都成立,
则必有
解得-
3<
k
<0.
(2)
设
a
为常数,对于
∀
x
∈
R
,
ax
2
+
ax
+
1>0
,则
a
的取值范围是
______.
答案
解析
[0,4)
对于
∀
x
∈
R
,
ax
2
+
ax
+
1>0
,
则必
有
或
a
=
0
,
∴
0
≤
a
<4.
命题点
2
在给定区间上的恒成立问题
例
4
设函数
f
(
x
)
=
mx
2
-
mx
-
1.
若对于
x
∈
[1,3]
,
f
(
x
)<
-
m
+
5
恒成立,求
m
的取值范围
.
解答
要使
f
(
x
)<
-
m
+
5
在
x
∈
[1,3]
上恒成立,
即
在
x
∈
[1,3]
上恒成立
.
有以下两种方法:
方法一 令
g
(
x
)
=
,
x
∈
[1,3].
当
m
>0
时,
g
(
x
)
在
[1,3]
上是增函数
,
所以
g
(
x
)
max
=
g
(3)
⇒
7
m
-
6<0
,
所以
m
<
,
所以
0<
m
<
;
当
m
=
0
时,-
6<0
恒成立;
所以
g
(
x
)
max
=
g
(1)
⇒
m
-
6<0
,所以
m
<6
,所以
m
<0
.
当
m
<0
时,
g
(
x
)
在
[1,3]
上是减函数,
综上所述,
m
的取值范围是
{
m
|
m
< }.
方法二 因为
x
2
-
x
+
1
=
,
又因为
m
(
x
2
-
x
+
1)
-
6<0
,所以
m
< .
因为函数
y
=
在
[1,3]
上的最小值
为
,
所以只需
m
<
即可
.
所以
m
的取值范围
是
.
命题点
3
给定参数范围的恒成立问题
例
5
对任意
m
∈
[
-
1,1]
,函数
f
(
x
)
=
x
2
+
(
m
-
4)
x
+
4
-
2
m
的值恒大于零,求
x
的取值范围
.
解答
由
f
(
x
)
=
x
2
+
(
m
-
4)
x
+
4
-
2
m
=
(
x
-
2)
m
+
x
2
-
4
x
+
4
,
令
g
(
m
)
=
(
x
-
2)
m
+
x
2
-
4
x
+
4.
由题意知在
[
-
1,1]
上,
g
(
m
)
的值恒大于零
,
故
当
x
的取值范围为
(
-
∞
,
1)
∪
(3
,+
∞
)
时,对任意的
m
∈
[
-
1,1]
,函数
f
(
x
)
的值恒大于零
.
解得
x
<1
或
x
>3.
(1)
对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于
0
就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
x
轴上方,恒小于
0
就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
x
轴下方
.
另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值
.
(2)
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数
.
思维
升华
跟踪训练
2
(1)
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
mx
-
1
,若对于任意
x
∈
[
m
,
m
+
1
]
,
都
有
f
(
x
)<0
成立,则实数
m
的取值范围
是
_
_
________.
答案
解析
作出二次函数
f
(
x
)
的草图,对于任意
x
∈
[
m
,
m
+
1]
,都有
f
(
x
)<0
,
解得
-
<
m
<0.
(2)
已知不等式
mx
2
-
2
x
-
m
+
1<0
,是否存在实数
m
对所有的实数
x
,使不等式恒成立?若存在,求出
m
的取值范围;若不存在,请说明理由
.
解答
不等式
mx
2
-
2
x
-
m
+
1<0
恒成立,
即函数
f
(
x
)
=
mx
2
-
2
x
-
m
+
1
的图象全部在
x
轴下方
.
当
m
=
0
时,
1
-
2
x
<0
,则
x
>
,
不满足题意;
当
m
≠
0
时,函数
f
(
x
)
=
mx
2
-
2
x
-
m
+
1
为二次函数,
需满足开口向下且方程
mx
2
-
2
x
-
m
+
1
=
0
无解,即
不等式组的解集为空集,即
m
无解
.
综上可知,不存在这样的
m
.
题型三 一元二次不等式的应用
例
6
甲厂以
x
千克
/
小时的速度匀速生产某种产品
(
生产条件要求
1
≤
x
≤
10)
,每小时可获得的利润是
100(5
x
+
1
-
)
元
.
(1)
要使生产该产品
2
小时获得的利润不低于
3 000
元,求
x
的取值范围;
解答
根据题意,得
200(5
x
+
1
-
)
≥
3 000
,
整理得
5
x
-
14
-
≥
0
,即
5
x
2
-
14
x
-
3
≥
0
,
又
1
≤
x
≤
10
,可解得
3
≤
x
≤
10.
即要使生产该产品
2
小时获得的利润不低于
3 000
元,
x
的取值范围是
[3,10
].
(2)
要使生产
900
千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润
.
解答
设利润为
y
元,则
故当
x
=
6
时,
y
max
=
457 500
元
.
即甲厂以
6
千克
/
小时的生产速度生产
900
千克该产品时获得的利润最大,最大利润为
457 500
元
.
跟踪训练
3
某商场若将进货单价为
8
元的商品按每件
10
元出售,每天可销售
100
件,现准备采用提高售价的方法来增加利润
.
已知这种商品每件销售价提高
1
元,销售量就要减少
10
件
.
那么要保证每天所赚的利润在
320
元以上,销售价每件应定为
_________
_
_____.
答案
设销售价定为每件
x
元,利润为
y
,
则
y
=
(
x
-
8)[100
-
10(
x
-
10)]
,
依题意有
(
x
-
8)[100
-
10(
x
-
10)]>320
,
即
x
2
-
28
x
+
192<0
,解得
12<
x
<16
,
所以每件商品销售价应定为
12
元到
16
元之间
.
12
元到
16
元之间
解析
典例
(1)
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
ax
+
b
(
a
,
b
∈
R
)
的值域为
[0
,+
∞
)
,若关于
x
的不等式
f
(
x
)<
c
的解集为
(
m
,
m
+
6)
,则实数
c
的值为
___.
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
,
若对任意
x
∈
[1
,+
∞
)
,
f
(
x
)>0
恒成立,则实数
a
的取值范围是
______
_
__.
函数的值域和不等式的解集转化为
a
,
b
满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题
.
答案
解析
转化
与化归思想在不等式中的应用
思想与方法系列
14
思想方法指导
9
{
a
|
a
>
-
3}
(
1)
由题意知
f
(
x
)
=
x
2
+
ax
+
b
∵
f
(
x
)
的值域为
[0
,+
∞
)
,
∴
b
-
=
0
,即
b
=
.
又
∵
f
(
x
)<
c
,
∴
<
c
,
②
-
①
,
得
=
6
,
∴
c
=
9.
(2)
∵
x
∈
[1
,+
∞
)
时,
f
(
x
)
=
>
0
恒成立,
即
x
2
+
2
x
+
a
>0
恒成立
.
即当
x
≥
1
时,
a
>
-
(
x
2
+
2
x
)
=
g
(
x
)
恒成立
.
而
g
(
x
)
=-
(
x
2
+
2
x
)
=-
(
x
+
1)
2
+
1
在
[1
,+
∞
)
上单调递减,
∴
g
(
x
)
max
=
g
(1)
=-
3
,故
a
>
-
3.
∴
实数
a
的取值范围是
{
a
|
a
>
-
3}.
课时作业
1.(
教材改编
)
不等式-
3
x
2
+
5
x
-
4
>
0
的解集为
____.
答案
解析
∅
原不等式变形为
3
x
2
-
5
x
+
4
<
0.
因为
Δ
=
(
-
5)
2
-
4
×
3
×
4
=-
23
<
0
,
所以
3
x
2
-
5
x
+
4
=
0
无解
.
由函数
y
=
3
x
2
-
5
x
+
4
的图象可知,
3
x
2
-
5
x
+
4
<
0
的解集为
∅
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.(
教材改编
)
不等式
≤
0
的解集为
_________.
答案
解析
原不等式等价于
故原不等式的解集为
(
,
1].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.
若集合
A
=
{
x
|
ax
2
-
ax
+
1<0}
=
∅
,则实数
a
的取值范围是
______.
答案
解析
由题意知
a
=
0
时,满足条件
.
[0,4]
当
a
≠
0
时,由
得
0<
a
≤
4
,所以
0
≤
a
≤
4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.(2016·
南京三模
)
记不等式
x
2
+
x
-
6<0
的解集为集合
A
,函数
y
=
lg(
x
-
a
)
的定义域为集合
B
.
若
“
x
∈
A
”
是
“
x
∈
B
”
的充分条件,则实数
a
的取值范围为
_______
__
___.
答案
解析
由题意得
A
=
(
-
3,2)
,
B
=
(
a
,+
∞
)
,
A
⊆
B
,
∴
a
≤
-
3.
(
-
∞
,-
3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.
已知函数
f
(
x
)
=
(
ax
-
1)(
x
+
b
)
,如果不等式
f
(
x
)>0
的解集是
(
-
1,3)
,
则
不等式
f
(
-
2
x
)<0
的解集是
_______________
__
_____.
由题意得
f
(
x
)
=
0
的两个解是
x
1
=-
1
,
x
2
=
3
且
a
<0
,
由
f
(
-
2
x
)<0
得-
2
x
>3
或-
2
x
<
-
1
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
6.
若不等式
x
2
-
2
x
+
k
2
-
2>0
对于任意的
x
∈
[2
,+
∞
)
恒成立,则实数
k
的取值范围是
________________________.
答案
解析
由
x
2
-
2
x
+
k
2
-
2>0
,得
k
2
>
-
x
2
+
2
x
+
2
,
设
f
(
x
)
=-
x
2
+
2
x
+
2
,
f
(
x
)
=-
(
x
-
1)
2
+
3
,
当
x
≥
2
,可求得
f
(
x
)
max
=
2
,
则
k
2
>
f
(
x
)
max
=
2
,所以
k
>
或
k
<
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.
已知不等式
ax
2
-
bx
-
1
≥
0
的解集
是
,
则不等式
x
2
-
bx
-
a
<0
的解集是
______.
答案
解析
由
题意
知
,
是
方程
ax
2
-
bx
-
1
=
0
的根
,
所以由根与系数的关系得
解得
a
=-
6
,
b
=
5
,不等式
x
2
-
bx
-
a
<0
即为
x
2
-
5
x
+
6<0
,
解集
为
(2,3).
(2,3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8.(
教材改编
)
某厂生产一批产品,日销售量
x
(
单位:件
)
与货价
p
(
单位:元
/
件
)
之间的关系为
p
=
160
-
2
x
,生产
x
件所需成本
C
=
500
+
30
x
元
.
若使得日获利不少于
1 300
元,则该厂日产量所要满足的条件是
________.
答案
解析
[20,45]
由题意得
(160
-
2
x
)·
x
-
(500
+
30
x
)
≥
1 300
,
解得
20
≤
x
≤
45
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.
已知关于
x
的
不等式
<
0
的解集是
{
x
|
x
<
-
1
或
x
>
}
,则实数
a
=
___.
答案
解析
<0
⇔
(
x
+
1)(
ax
-
1)<0
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-
2
*10.
已知
f
(
x
)
是定义域为
R
的偶函数,当
x
≥
0
时,
f
(
x
)
=
x
2
-
4
x
,那么,不等式
f
(
x
+
2)<5
的解集是
____________.
答案
解析
{
x
|
-
7<
x
<3}
由于
f
(
x
)
向左平移两个单位即得
f
(
x
+
2)
,
故
f
(
x
+
2)<5
的解集为
{
x
|
-
7<
x
<3}.
令
x
<0
,则-
x
>0
,
∵
x
≥
0
时,
f
(
x
)
=
x
2
-
4
x
,
∴
f
(
-
x
)
=
(
-
x
)
2
-
4(
-
x
)
=
x
2
+
4
x
,
又
f
(
x
)
为偶函数,
∴
f
(
-
x
)
=
f
(
x
)
,
∴
x
<0
时,
f
(
x
)
=
x
2
+
4
x
,
故有
f
(
x
)
=
再求
f
(
x
)<5
的解,
得
0
≤
x
<
5
;
得-
5<
x
<0
,
即
f
(
x
)<5
的解集为
(
-
5,5).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.
已知
f
(
x
)
=
则
不等式
f
(
x
2
-
x
+
1)<12
的解集
是
_
_
_____.
答案
解析
(
-
1,2)
由题意得当
x
≥
0
时,
f
(
x
)
≥
0
,且
f
(
x
)
单调递增
;
当
x
<0
时,
f
(
x
)<
0
,
且
f
(
x
)
单调递增
,
因为
0
2
+
0
=-
0
2
+
0
,
所以
f
(
x
)
在
R
上单调递增
,
又
f
(3)
=
12
,
所以
f
(
x
2
-
x
+
1)<12
⇒
f
(
x
2
-
x
+
1)<
f
(3)
⇒
x
2
-
x
+
1<3
⇒
-
1<
x
<2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.
已知关于
x
的
不等式
<
1
.
(1)
当
a
=
1
时,解该不等式
;
解答
当
a
=
1
时,不等式
化为
<
1
,
化为
<
0
,
所以
1<
x
<2
,解集为
{
x
|1<
x
<2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
当
a
为任意实数时,解该不等式
.
解答
即
(
ax
-
2)(
x
-
1)<0.
当
=
1
,即
a
=
2
时,解集为
∅
;
当
>
1
,即
0<
a
<2
时,解集为
{
x
|1<
x
< }
;
当
<
1
,即
a
>2
时,解集为
{
x
| <
x
<1}
;
当
a
=
0
时,解集为
{
x
|
x
>1}
;
当
a
<0
时,解集为
{
x
|
x
<
或
x
>1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13.
设二次函数
f
(
x
)
=
ax
2
+
bx
+
c
,函数
F
(
x
)
=
f
(
x
)
-
x
的两个零点为
m
,
n
(
m
<
n
).
(1)
若
m
=-
1
,
n
=
2
,求不等式
F
(
x
)>0
的解集;
解答
由
题意知,
F
(
x
)
=
f
(
x
)
-
x
=
a
(
x
-
m
)(
x
-
n
).
当
m
=-
1
,
n
=
2
时,不等式
F
(
x
)>0
,
即
a
(
x
+
1)(
x
-
2)>0.
当
a
>0
时,不等式
F
(
x
)>0
的解集为
{
x
|
x
<
-
1
或
x
>2}
;
当
a
<0
时,不等式
F
(
x
)>0
的解集为
{
x
|
-
1<
x
<2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
若
a
>0
,且
0<
x
<
m
<
n
<
,
比较
f
(
x
)
与
m
的大小
.
解答
f
(
x
)
-
m
=
F
(
x
)
+
x
-
m
=
a
(
x
-
m
)(
x
-
n
)
+
x
-
m
=
(
x
-
m
)(
ax
-
an
+
1)
,
∵
a
>0
,且
0<
x
<
m
<
n
<
,
∴
x
-
m
<0,1
-
an
+
ax
>0.
∴
f
(
x
)
-
m
<0
,即
f
(
x
)<
m
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13