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  • 2021-06-15 发布

2018届二轮复习一元二次不等式及其解法课件(文)(江苏专用)

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§7.2  一元二次不等式及其解法 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. “ 三个二次 ” 的关系 知识梳理 判别式 Δ = b 2 - 4 ac Δ >0 Δ = 0 Δ <0 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0) 的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a >0) 的根 有两个相异 实根 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) 有两个相等实 根 x 1 = x 2 = 没有实数 根 一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0 ( a >0) 的解集 ( - ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 ,+ ∞ ) ( - ∞ , ) ∪ ( ,+ ∞ ) R 一元二次不等式 ax 2 + bx + c <0 ( a >0) 的解集 ________ ____ ____ ( x 1 , x 2 ) ∅ ∅ 2. 常用结论 ( x - a )( x - b )>0 或 ( x - a )( x - b )<0 型不等式的解法 不等式 解集 a < b a = b a > b ( x - a )·( x - b )>0 { x | x < a 或 x > b } ________ ____________ ( x - a )·( x - b )<0 ________ ____ { x | b < x < a } 口诀:大于取两边,小于取中间 . { x | x ≠ a } { x | x < b 或 x > a } { x | a < x < b } ∅ 知识 拓展 (1) >0(<0) ⇔ f ( x )· g ( x )>0(<0). (2) ≥ 0( ≤ 0) ⇔ f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集为 ( x 1 , x 2 ) ,则必有 a >0.(    ) (2) 若不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ( - ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 ,+ ∞ ) ,则方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根是 x 1 和 x 2 .(    ) (3) 若方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 没有实数根,则不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集为 R .(    ) (4) 不等式 ax 2 + bx + c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a <0 且 Δ = b 2 - 4 ac ≤ 0 .(    ) (5) 若二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象开口向下,则不等式 ax 2 + bx + c <0 的解集一定不是空集 .(    ) √ √ × × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 不等式 x 2 - 3 x - 10>0 的解集是 ________________ ___ ____. 答案 解析 ( - ∞ ,- 2) ∪ (5 ,+ ∞ ) 解方程 x 2 - 3 x - 10 = 0 得 x 1 =- 2 , x 2 = 5 , 由于 y = x 2 - 3 x - 10 的 图象 开口 向上 , 所以 x 2 - 3 x - 10>0 的解集为 ( - ∞ ,- 2) ∪ (5 ,+ ∞ ). 2.( 教材改编 ) 不等式 < 0 的解集是 _________ __ ___. 答案 解析 不等式 < 0 等价于 ( x - )( x - 4)>0 , ∴ 不等式的解集是 { x | x < 或 x >4}. 3.( 教材改编 ) 不等式 的解集为 _______. ( - 1,2) 由题意得 x 2 - x <2 ⇒ - 1< x <2 ,故解集为 ( - 1,2 ). 答案 解析 4.( 教材改编 ) 若关于 x 的不等式 ax 2 + bx + 2>0 的解集是 ( ) ,则 a + b = _____. 答案 解析 - 14 ∵ x 1 = , x 2 = 是 方程 ax 2 + bx + 2 = 0 的两个根, ∴ a + b =- 14. 5. 不等式 x 2 + ax + 4 ≤ 0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是 ______________________. ( - ∞ ,- 4] ∪ [4 ,+ ∞ ) 答案 解析 ∵ x 2 + ax + 4 ≤ 0 的解集不是空集 , 则 x 2 + ax + 4 = 0 一定有解 . ∴ Δ = a 2 - 4 × 1 × 4 ≥ 0 ,即 a 2 ≥ 16 , ∴ a ≥ 4 或 a ≤ - 4 . 题型分类 深度剖析 题型一 一元二次不等式的求解 命题点 1  不含参的不等式 例 1   (2016· 南京模拟 ) 求不等式- 2 x 2 + x + 3<0 的解集 . 解答 化- 2 x 2 + x + 3<0 为 2 x 2 - x - 3>0 , 解方程 2 x 2 - x - 3 = 0 得 x 1 =- 1 , x 2 = , ∴ 不等式 2 x 2 - x - 3>0 的解集为 ( - ∞ ,- 1) ∪ ( ,+ ∞ ) , 即原不等式的解集为 ( - ∞ ,- 1) ∪ ( ,+ ∞ ). 命题点 2  含参不等式 例 2   解关于 x 的不等式: x 2 - ( a + 1) x + a <0. 解答 由 x 2 - ( a + 1) x + a = 0 ,得 ( x - a )( x - 1) = 0 , ∴ x 1 = a , x 2 = 1 , ① 当 a >1 时, x 2 - ( a + 1) x + a <0 的解集为 { x |1< x < a } , ② 当 a = 1 时, x 2 - ( a + 1) x + a <0 的解集为 ∅ , ③ 当 a <1 时, x 2 - ( a + 1) x + a <0 的解集为 { x | a < x <1}. 引申探究 将原不等式改为 ax 2 - ( a + 1) x + 1<0 ,求不等式的解集 . 解答 若 a = 0 ,原不等式等价于- x + 1<0 ,解得 x >1 . 若 a <0 ,原不等式等价于 ( x - )( x - 1)>0 , 解得 x < 或 x >1. 若 a >0 ,原不等式等价于 ( x - )( x - 1)<0. ① 当 a = 1 时 , = 1 , ( x - )( x - 1)<0 无解; ② 当 a >1 时 , < 1 ,解 ( x - )( x - 1)<0 , 得 < x <1 ; ③ 当 0< a <1 时 , > 1 ,解 ( x - )( x - 1)<0 ,得 1< x < . 综上所述,当 a <0 时,解集为 { x | x < 或 x >1} ; 当 a = 0 时,解集为 { x | x >1} ; 当 0< a <1 时,解集为 { x |1< x < } ; 当 a = 1 时,解集为 ∅ ; 当 a >1 时,解集为 { x | < x <1}. 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论 . (1) 若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2) 若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3) 对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集 . 思维 升华 跟踪训练 1  解下列不等式: (1) - 3 x 2 - 2 x + 8 ≥ 0 ; 解答 原不等式可化为 3 x 2 + 2 x - 8 ≤ 0 , 即 (3 x - 4)( x + 2) ≤ 0 . 解 得- 2 ≤ x ≤ , 所以原不等式的解集为 { x | - 2 ≤ x ≤ }. (2) 求不等式 12 x 2 - ax > a 2 ( a ∈ R ) 的解集 . 解答 ∵ 12 x 2 - ax > a 2 , ∴ 12 x 2 - ax - a 2 > 0 , 即 (4 x + a )(3 x - a ) > 0 , 令 (4 x + a )(3 x - a ) = 0 , 得 x 1 = , x 2 = . ① 当 a > 0 时 , , 解集 为 ; ② 当 a = 0 时, x 2 > 0 ,解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ; ③ 当 a < 0 时 , , 解集 为 . 综上所述,当 a > 0 时,不等式的解集 为 ; 当 a = 0 时,不等式的解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ; 当 a < 0 时,不等式的解集 为 . 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点 1  在 R 上的恒成立问题 例 3   (1) 若一元二次不等式 2 kx 2 + kx - < 0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 ____ _ __. 答案 解析 ( - 3,0) ∵ 2 kx 2 + kx - < 0 为一元二次不等式, ∴ k ≠ 0 , 又 2 kx 2 + kx - < 0 对一切实数 x 都成立, 则必有 解得- 3< k <0. (2) 设 a 为常数,对于 ∀ x ∈ R , ax 2 + ax + 1>0 ,则 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 [0,4) 对于 ∀ x ∈ R , ax 2 + ax + 1>0 , 则必 有 或 a = 0 , ∴ 0 ≤ a <4. 命题点 2  在给定区间上的恒成立问题 例 4   设函数 f ( x ) = mx 2 - mx - 1. 若对于 x ∈ [1,3] , f ( x )< - m + 5 恒成立,求 m 的取值范围 . 解答 要使 f ( x )< - m + 5 在 x ∈ [1,3] 上恒成立, 即 在 x ∈ [1,3] 上恒成立 . 有以下两种方法: 方法一 令 g ( x ) = , x ∈ [1,3]. 当 m >0 时, g ( x ) 在 [1,3] 上是增函数 , 所以 g ( x ) max = g (3) ⇒ 7 m - 6<0 , 所以 m < , 所以 0< m < ; 当 m = 0 时,- 6<0 恒成立; 所以 g ( x ) max = g (1) ⇒ m - 6<0 ,所以 m <6 ,所以 m <0 . 当 m <0 时, g ( x ) 在 [1,3] 上是减函数, 综上所述, m 的取值范围是 { m | m < }. 方法二 因为 x 2 - x + 1 = , 又因为 m ( x 2 - x + 1) - 6<0 ,所以 m < . 因为函数 y = 在 [1,3] 上的最小值 为 , 所以只需 m < 即可 . 所以 m 的取值范围 是 . 命题点 3  给定参数范围的恒成立问题 例 5   对任意 m ∈ [ - 1,1] ,函数 f ( x ) = x 2 + ( m - 4) x + 4 - 2 m 的值恒大于零,求 x 的取值范围 . 解答 由 f ( x ) = x 2 + ( m - 4) x + 4 - 2 m = ( x - 2) m + x 2 - 4 x + 4 , 令 g ( m ) = ( x - 2) m + x 2 - 4 x + 4. 由题意知在 [ - 1,1] 上, g ( m ) 的值恒大于零 , 故 当 x 的取值范围为 ( - ∞ , 1) ∪ (3 ,+ ∞ ) 时,对任意的 m ∈ [ - 1,1] ,函数 f ( x ) 的值恒大于零 . 解得 x <1 或 x >3. (1) 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 . (2) 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数 . 思维 升华 跟踪训练 2   (1) 已知函数 f ( x ) = x 2 + mx - 1 ,若对于任意 x ∈ [ m , m + 1 ] , 都 有 f ( x )<0 成立,则实数 m 的取值范围 是 _ _ ________. 答案 解析 作出二次函数 f ( x ) 的草图,对于任意 x ∈ [ m , m + 1] ,都有 f ( x )<0 , 解得 - < m <0. (2) 已知不等式 mx 2 - 2 x - m + 1<0 ,是否存在实数 m 对所有的实数 x ,使不等式恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由 . 解答 不等式 mx 2 - 2 x - m + 1<0 恒成立, 即函数 f ( x ) = mx 2 - 2 x - m + 1 的图象全部在 x 轴下方 . 当 m = 0 时, 1 - 2 x <0 ,则 x > , 不满足题意; 当 m ≠ 0 时,函数 f ( x ) = mx 2 - 2 x - m + 1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx 2 - 2 x - m + 1 = 0 无解,即 不等式组的解集为空集,即 m 无解 . 综上可知,不存在这样的 m . 题型三 一元二次不等式的应用 例 6   甲厂以 x 千克 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 1 ≤ x ≤ 10) ,每小时可获得的利润是 100(5 x + 1 - ) 元 . (1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; 解答 根据题意,得 200(5 x + 1 - ) ≥ 3 000 , 整理得 5 x - 14 - ≥ 0 ,即 5 x 2 - 14 x - 3 ≥ 0 , 又 1 ≤ x ≤ 10 ,可解得 3 ≤ x ≤ 10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元, x 的取值范围是 [3,10 ]. (2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润 . 解答 设利润为 y 元,则 故当 x = 6 时, y max = 457 500 元 . 即甲厂以 6 千克 / 小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大,最大利润为 457 500 元 . 跟踪训练 3   某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采用提高售价的方法来增加利润 . 已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件 . 那么要保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为 _________ _ _____. 答案 设销售价定为每件 x 元,利润为 y , 则 y = ( x - 8)[100 - 10( x - 10)] , 依题意有 ( x - 8)[100 - 10( x - 10)]>320 , 即 x 2 - 28 x + 192<0 ,解得 12< x <16 , 所以每件商品销售价应定为 12 元到 16 元之间 . 12 元到 16 元之间 解析 典例   (1) 已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b ( a , b ∈ R ) 的值域为 [0 ,+ ∞ ) ,若关于 x 的不等式 f ( x )< c 的解集为 ( m , m + 6) ,则实数 c 的值为 ___. (2) 已知函数 f ( x ) = , 若对任意 x ∈ [1 ,+ ∞ ) , f ( x )>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ______ _ __. 函数的值域和不等式的解集转化为 a , b 满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题 . 答案 解析 转化 与化归思想在不等式中的应用 思想与方法系列 14 思想方法指导 9 { a | a > - 3} ( 1) 由题意知 f ( x ) = x 2 + ax + b ∵ f ( x ) 的值域为 [0 ,+ ∞ ) , ∴ b - = 0 ,即 b = . 又 ∵ f ( x )< c , ∴ < c , ② - ① , 得 = 6 , ∴ c = 9. (2) ∵ x ∈ [1 ,+ ∞ ) 时, f ( x ) = > 0 恒成立, 即 x 2 + 2 x + a >0 恒成立 . 即当 x ≥ 1 时, a > - ( x 2 + 2 x ) = g ( x ) 恒成立 . 而 g ( x ) =- ( x 2 + 2 x ) =- ( x + 1) 2 + 1 在 [1 ,+ ∞ ) 上单调递减, ∴ g ( x ) max = g (1) =- 3 ,故 a > - 3. ∴ 实数 a 的取值范围是 { a | a > - 3}. 课时作业 1.( 教材改编 ) 不等式- 3 x 2 + 5 x - 4 > 0 的解集为 ____. 答案 解析 ∅ 原不等式变形为 3 x 2 - 5 x + 4 < 0. 因为 Δ = ( - 5) 2 - 4 × 3 × 4 =- 23 < 0 , 所以 3 x 2 - 5 x + 4 = 0 无解 . 由函数 y = 3 x 2 - 5 x + 4 的图象可知, 3 x 2 - 5 x + 4 < 0 的解集为 ∅ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.( 教材改编 ) 不等式 ≤ 0 的解集为 _________. 答案 解析 原不等式等价于 故原不等式的解集为 ( , 1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若集合 A = { x | ax 2 - ax + 1<0} = ∅ ,则实数 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 由题意知 a = 0 时,满足条件 . [0,4] 当 a ≠ 0 时,由 得 0< a ≤ 4 ,所以 0 ≤ a ≤ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 南京三模 ) 记不等式 x 2 + x - 6<0 的解集为集合 A ,函数 y = lg( x - a ) 的定义域为集合 B . 若 “ x ∈ A ” 是 “ x ∈ B ” 的充分条件,则实数 a 的取值范围为 _______ __ ___. 答案 解析 由题意得 A = ( - 3,2) , B = ( a ,+ ∞ ) , A ⊆ B , ∴ a ≤ - 3. ( - ∞ ,- 3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数 f ( x ) = ( ax - 1)( x + b ) ,如果不等式 f ( x )>0 的解集是 ( - 1,3) , 则 不等式 f ( - 2 x )<0 的解集是 _______________ __ _____. 由题意得 f ( x ) = 0 的两个解是 x 1 =- 1 , x 2 = 3 且 a <0 , 由 f ( - 2 x )<0 得- 2 x >3 或- 2 x < - 1 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6. 若不等式 x 2 - 2 x + k 2 - 2>0 对于任意的 x ∈ [2 ,+ ∞ ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ________________________. 答案 解析 由 x 2 - 2 x + k 2 - 2>0 ,得 k 2 > - x 2 + 2 x + 2 , 设 f ( x ) =- x 2 + 2 x + 2 , f ( x ) =- ( x - 1) 2 + 3 , 当 x ≥ 2 ,可求得 f ( x ) max = 2 , 则 k 2 > f ( x ) max = 2 ,所以 k > 或 k < . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知不等式 ax 2 - bx - 1 ≥ 0 的解集 是 , 则不等式 x 2 - bx - a <0 的解集是 ______. 答案 解析 由 题意 知 , 是 方程 ax 2 - bx - 1 = 0 的根 , 所以由根与系数的关系得 解得 a =- 6 , b = 5 ,不等式 x 2 - bx - a <0 即为 x 2 - 5 x + 6<0 , 解集 为 (2,3). (2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.( 教材改编 ) 某厂生产一批产品,日销售量 x ( 单位:件 ) 与货价 p ( 单位:元 / 件 ) 之间的关系为 p = 160 - 2 x ,生产 x 件所需成本 C = 500 + 30 x 元 . 若使得日获利不少于 1 300 元,则该厂日产量所要满足的条件是 ________. 答案 解析 [20,45] 由题意得 (160 - 2 x )· x - (500 + 30 x ) ≥ 1 300 , 解得 20 ≤ x ≤ 45 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知关于 x 的 不等式 < 0 的解集是 { x | x < - 1 或 x > } ,则实数 a = ___. 答案 解析 <0 ⇔ ( x + 1)( ax - 1)<0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - 2 *10. 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 - 4 x ,那么,不等式 f ( x + 2)<5 的解集是 ____________. 答案 解析 { x | - 7< x <3} 由于 f ( x ) 向左平移两个单位即得 f ( x + 2) , 故 f ( x + 2)<5 的解集为 { x | - 7< x <3}. 令 x <0 ,则- x >0 , ∵ x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 - 4 x , ∴ f ( - x ) = ( - x ) 2 - 4( - x ) = x 2 + 4 x , 又 f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) , ∴ x <0 时, f ( x ) = x 2 + 4 x , 故有 f ( x ) = 再求 f ( x )<5 的解, 得 0 ≤ x < 5 ; 得- 5< x <0 , 即 f ( x )<5 的解集为 ( - 5,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知 f ( x ) = 则 不等式 f ( x 2 - x + 1)<12 的解集 是 _ _ _____. 答案 解析 ( - 1,2) 由题意得当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x ) 单调递增 ; 当 x <0 时, f ( x )< 0 , 且 f ( x ) 单调递增 , 因为 0 2 + 0 =- 0 2 + 0 , 所以 f ( x ) 在 R 上单调递增 , 又 f (3) = 12 , 所以 f ( x 2 - x + 1)<12 ⇒ f ( x 2 - x + 1)< f (3) ⇒ x 2 - x + 1<3 ⇒ - 1< x <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知关于 x 的 不等式 < 1 . (1) 当 a = 1 时,解该不等式 ; 解答 当 a = 1 时,不等式 化为 < 1 , 化为 < 0 , 所以 1< x <2 ,解集为 { x |1< x <2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当 a 为任意实数时,解该不等式 . 解答 即 ( ax - 2)( x - 1)<0. 当 = 1 ,即 a = 2 时,解集为 ∅ ; 当 > 1 ,即 0< a <2 时,解集为 { x |1< x < } ; 当 < 1 ,即 a >2 时,解集为 { x | < x <1} ; 当 a = 0 时,解集为 { x | x >1} ; 当 a <0 时,解集为 { x | x < 或 x >1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ,函数 F ( x ) = f ( x ) - x 的两个零点为 m , n ( m < n ). (1) 若 m =- 1 , n = 2 ,求不等式 F ( x )>0 的解集; 解答 由 题意知, F ( x ) = f ( x ) - x = a ( x - m )( x - n ). 当 m =- 1 , n = 2 时,不等式 F ( x )>0 , 即 a ( x + 1)( x - 2)>0. 当 a >0 时,不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | x < - 1 或 x >2} ; 当 a <0 时,不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | - 1< x <2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 a >0 ,且 0< x < m < n < , 比较 f ( x ) 与 m 的大小 . 解答 f ( x ) - m = F ( x ) + x - m = a ( x - m )( x - n ) + x - m = ( x - m )( ax - an + 1) , ∵ a >0 ,且 0< x < m < n < , ∴ x - m <0,1 - an + ax >0. ∴ f ( x ) - m <0 ,即 f ( x )< m . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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