2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第10练 45页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 10 练　三角恒等变换与解三角形 [ 中档 大题规范练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题 . 2 . 题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 模板答题规范练 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 方法技巧 　 (1) 公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角 . (2) 边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题 . 核心考点突破练 (1) 求角 B 的大小； 解答 (2) 设 a ＝ 2 ， c ＝ 3 ，求 b 和 sin(2 A － B ) 的值 . 解答 2. 已知在 △ ABC 中， AC cos C ＝ BC ，点 M 在线段 AB 上，且 ∠ ACM ＝ ∠ BCM . (1) 证明： △ ABC 是直角三角形； 证明　 记 BC ＝ a ， AC ＝ b ，因为 AC cos C ＝ BC ， 故 a 2 ＋ c 2 ＝ b 2 ，故 B ＝ 90° ， 故 △ ABC 是直角三角形 . 证明 (2) 若 AC ＝ 6 CM ＝ 6 ，求 sin ∠ ACM 的值 . 解　 因为 ∠ ACM ＝ ∠ BCM ， 故 cos ∠ BCA ＝ cos 2 ∠ BCM ＝ 2cos 2 ∠ BCM － 1 ， 解答 (1) a 和 c 的值； 由余弦定理得， a 2 ＋ c 2 ＝ b 2 ＋ 2 ac cos B . ∵ b ＝ 3 ， ∴ a 2 ＋ c 2 ＝ 9 ＋ 2 × 2 ＝ 13. ∵ a ＞ c ， ∴ a ＝ 3 ， c ＝ 2. 解答 (2)cos( B － C ) 的值 . ∵ a ＝ b ＞ c ， ∴ C 为锐角， 解答 考点二　三角形的面积问题 方法技巧 　三角形面积的求解策略 (1) 若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积 . (2) 若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解 . (1) 求 sin B sin C ； 解答 (2) 若 6cos B cos C ＝ 1 ， a ＝ 3 ，求 △ ABC 的周长 . 由余弦定理，得 b 2 ＋ c 2 － bc ＝ 9 ，即 ( b ＋ c ) 2 － 3 bc ＝ 9. 解答 5.(2018· 内蒙古集宁一中月考 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 满足 a sin C sin B ＝ a sin A ＋ b sin B － c sin C . (1) 求角 C 的大小； 解答 解答 (1) 求角 A ； 解　 设内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 解答 (2) 若 △ ABC 的外接圆半径为 1 ，求 △ ABC 的面积 S 的最大值 . 所以 3 ＝ b 2 ＋ c 2 － bc ≥ 2 bc － bc ＝ bc ， 解答 考点三　解三角形的综合问题 方法技巧 　 (1) 题中的关系式可以先利用三角变换进行化简 . (2) 和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值 . (3) 和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来 . (1) 求 f ( x ) 的最大值、最小值； 解答 解答 ∵ sin ∠ ADC ＝ sin ∠ BDC ， AC ＝ 6 ， BC ＝ 3 ， ∴ AD ＝ 2 BD . (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期； 解答 解答 ∴ b 2 ＋ c 2 ＝ bc ＋ 1 ≥ 2 bc ，当且仅当 b ＝ c 时，等号成立 . ∴ bc ≤ 1. 9. 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 m ＝ (2 a － c ， cos C ) ， n ＝ ( b ， cos B ) ， m ∥ n . (1) 求角 B 的大小； 解　 由已知可得 (2 a － c )cos B ＝ b cos C ， 结合正弦定理可得 (2sin A － sin C )cos B ＝ sin B cos C ， 即 2sin A cos B ＝ sin( B ＋ C ) ， 解答 解答 (2) 若 b ＝ 1 ，当 △ ABC 的面积取得最大值时，求 △ ABC 内切圆的半径 . 又 b ＝ 1 ，在 △ ABC 中， b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ， 所以 1 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ，即 1 ＋ 3 ac ＝ ( a ＋ c ) 2 . 又 ( a ＋ c ) 2 ≥ 4 ac ，所以 1 ＋ 3 ac ≥ 4 ac ， 即 ac ≤ 1 ，当且仅当 a ＝ c ＝ 1 时取等号 . 模板答题规范练 模 板体验 典例 　 (12 分 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝ ( a ＋ b ， sin A － sin C ) ，向量 n ＝ ( c ， sin A － sin B ) ，且 m ∥ n . (1) 求角 B 的大小； (2) 设 BC 的中点为 D ，且 AD ＝ ， 求 a ＋ 2 c 的最大值及此时 △ ABC 的面积 . 审题路线图 规范解答 · 评分标准 解　 (1) 因为 m ∥ n ， 所以 ( a ＋ b )(sin A － sin B ) － c (sin A － sin C ) ＝ 0 ， 1 分 由正弦定理，可得 ( a ＋ b )( a － b ) － c ( a － c ) ＝ 0 ， 即 a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ ac . 3 分 (2) 设 ∠ BAD ＝ θ ， 构建答题模板 [ 第一步 ] 　 找条件 ：分析寻找三角形中的边角关系 . [ 第二步 ] 　 巧转化 ：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化 . [ 第三步 ] 　 得结论 ：利用三角恒等变换进行变形，得出结论 . [ 第四步 ] 　 再反思 ：审视转化过程的等价性与合理性 . (1) 求 A ； 规范演练 解答 (2) 求 AC 边上的高 . 解　 在 △ ABC 中， 解答 2.(2018· 全国 Ⅰ ) 在平面四边形 ABCD 中， ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 2 ， BD ＝ 5. (1) 求 cos ∠ ADB ； 由题意知， ∠ ADB ＜ 90° ， 解答 在 △ BCD 中，由余弦定理得 BC 2 ＝ BD 2 ＋ DC 2 － 2 BD · DC ·cos ∠ BDC 所以 BC ＝ 5. 解答 (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间； 解答 (2) 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等比数列，求 f ( B ) 的取值范围 . 解答 4. 在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形 ABECD 内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系， 保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量 获 得 如下信息： A ， B ， C ， D ， E 在同一平面内 ， 且 ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ ADC ＝ 60° ， ∠ ACB ＝ 15 ° ， ∠ BCE ＝ 105° ， ∠ CEB ＝ 45° ， DC ＝ CE ＝ 1 km. (1) 求 BC 的长； 解答 解　 在 △ BCE 中 ， ∠ CBE ＝ 180° － ∠ BCE － ∠ CEB ＝ 180° － 105° － 45° ＝ 30° ， 解答 解　 依题意知，在 Rt △ ACD 中， 所以活动区 ABECD 的面积 S ＝ S △ ACD ＋ S △ ABC ＋ S △ BCE 故野生动物貂熊的活动区 ABECD 的面积约为 1.87 km 2 .