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- 2021-06-15 发布
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[基础题组练]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.化简4a·b÷的结果为( )
A.- B.-
C.- D.-6ab
解析:选C.原式=a-()b=-6ab-1=-,故选C.
3.下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析:选B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2.D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
4.(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=.
又a>0,所以a=,因此f(x)=.
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
5.已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y=f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]
为函数y=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )
A.(0,2] B.
C. D.∪
解析:选C.因为函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,
所以F(x)=f(-x)=|2-x-t|,
因为区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,
所以函数f(x)=|2x-t|和函数F(x)=|2-x-t|在[1,2]上单调性相同,
因为y=2x-t和函数y=2-x-t的单调性相反,
所以(2x-t)(2-x-t)≤0在[1,2]上恒成立,
即1-t(2x+2-x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,
即2-x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2,故答案为C.
6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.
解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.
且f(m)=am=3.
所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
答案:
7.(2020·杭州中学高三月考)已知ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0,则ex+3y的值为________.
解析:因为ex+x3+x+1=0,-27y3-3y+1=0等价于e-3y+(-3y)3+(-3y)+1=0,所以x=-3y,即x+3y=0,所以ex+3y=e0=1.
答案:1
8.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,a应满足解得0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
解:(1)因为f(x)为偶函数,
所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),
即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=
①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.
②当01且b≥-2.
[综合题组练]
1.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
解析:选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,因为af(c)>f(b),结合图象知,00,所以0<2a<1.所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2,故选D.
2.(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)=,则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
解析:选B.作出函数y=f(x)图象如图所示:
再作出-y=f(-x),即y=x2-4x,恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y=与曲线C有且仅有一个交点,
因此满足条件的对称点只有一对,图中的A、B就是符合题意的点.故选B.
3.(2020·杭州模拟)已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则+的最小值为________,此时a,b的值分别为________.
解析:由函数y=ax+b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a+
b=3,所以+=1,又a>1,则+==2+++≥+2 =,当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以+的最小值为.
答案: ,
4.(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)=e|x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)=若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________.
解析:依题意,g(x)=f(x-3)+2=e|x-3|+2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e6-x+2≥e(x-3)+2,故4≥e2x-9,解得2x-9≤ln 4,故x≤ln 2+,实数λ的最大值为ln 2+.
答案:ln 2+
5.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1
=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,x∈[-3,0],则t∈.
故y=2t2-t-1=2-,t∈,
故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,
设2x=m>0,
等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,
过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.
6.(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为x∈[-1,1],
所以f(x)=∈,
设t=∈.
则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当a<时,ymin=h(a)=φ=-;
当≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12-6a.
所以h(a)=
(2)假设存在m,n满足题意.
因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,
又因为h(a)的定义域为[n,m],
值域为[n2,m2],
所以两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,
所以满足题意的m,n不存在.