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- 2021-06-15 发布
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广东省深圳市四校2019-2020学年
高二下学期期中考试联考试题
试卷分值:150分 考试时间:120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足,则复数的的虚部是( )
A. B. C. D. 1
3. 已知单位向量满足,若,则实数的值为( )
A. B.-2 C. 2 D.
4. 已知,则( )
A. B.
C. D.
5. 下列命题中,真命题是( )
A. ;
B. 命题“”的否定是“”;
C. “”是“”的充分不必要条件;
D. 函数在区间内有且仅有两个零点.
6.已知正项等比数列,若向量,,,
则=( )
A.12 B. C.5 D.18
7. 若变量满足约束条件,则的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
-0.48%
3.82%
0.86%
则下列判断中不正确的是( )
A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
9.中,点D在线段(不含端点)上,且满足,
则的最小值为( )
A. B. C.6 D.8
10. 已知双曲线:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为,,点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点,且,则的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经
验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古
代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其
一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,
其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已
知堑堵的内切球(与各面均相切)直径为1,则鳖臑的体积最小值为( )
A. B. C. D.
12. 函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
13. 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)
14. 已知角的终边与单位圆交于点(),则=__________.
15. A、B、C、D四位同学站成一排照相,则A、B中至少有一人站在两端的概率为____.
16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点
A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,
称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2, 1),B(-2, 4),
点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;
若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点,Q在直线x= -1上的射影为H,则
的最小值为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知向量,,.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,内角,,所对的边分别为,,,且满足,,求面积的最大值.
18. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前项和为Tn,求T2020.
19.(本小题满分12分)
如图,在四面体中,,.
(1)证明:;
(2)若,,四面体的体积为2,
求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
2020年春节期间,随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散,各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应,采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.
(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析,人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数,求及X的数学期望.
(2) 疫情期间,武汉大学中南医院重症监护室(ICU)主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度,现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”?
无并发症
并发症
合计
非重症
38
102
重症
10
合计
64
138
附: 若 , 则,
,, .
参考公式与临界值表:,其中.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
21. (本小题满分12分)
已知椭圆的左右顶点为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两点,
直线AP、BP、BQ的斜率分别记为.
(1)求的值;
(2)若,求证:,并判断直线PQ是否过定点,若是,求出该定点;
若不是,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.
① 求实数的取值范围;
② 求证:.
参考答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,选A.
2.若复数满足,则复数的的虚部是( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由于,则,
所以复数的的虚部是-1,故答案选B
3.已知单位向量满足,若,则实数的值为( )
A. B.-2 C. 2 D.
【答案】B
【解析】因为,所以,
即,解得,故选:B.
4.已知,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵b>1>c>0>a∴,故选A
5.下列命题中,真命题是( )
A. ;
B. 命题“”的否定是“”;
C. “”是“”的充分不必要条件;
D. 函数在区间内有且仅有两个零点.
【答案】C
6.已知正项等比数列,若向量,,,
则=( D )
A.12 B. C.5 D.18
【答案】D
【解析】
,故选D
7. 若变量满足约束条件,则的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】由题意作出其平面区域,
令,化为,
相当于直线的纵截距,
由图可知,,解得,,
则的最大值是, 故选C.
8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%
-0.48%
3.82%
0.86%
则下列判断中不正确的是
A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
【答案】B
9.中,点D在线段(不含端点)上,且满足,
则的最小值为( )
A. B. C.6 D.8
【答案】B
【解析】∵,且三点共线,所以且,则,当且仅当时,取等号,
故有最小值,故选B.
10. 已知双曲线:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为,,点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点,且,则的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】由题意,直线过左焦点且倾斜角为,,∴,,∴,即.
∴,
∴,根据双曲线定义有,
∴离心率.故选:D
11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经
验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古
代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其
一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,
其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已
知堑堵的内切球(与各面均相切)直径为1,则鳖臑的体积最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意内切球直径2r=1,则
,当且仅当b=c时取等号.
∴鳖臑的体积为
∴当且仅当b=c时,鳖臑的体积最小为, 故选:A
12. 函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,设函数,
则,
因为是定义在区间上的可导函数,且满足,
所以,所以函数在上为增函数,
又由,即,
即,所以,解得,
即不等式的解集为. 故选:C.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
13. 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)
【答案】160
14.已知角的终边与单位圆交于点(),则=__________.
【答案】
15. A、B、C、D四位同学站成一排照相,则A、B中至少有一人站在两端的概率为____.
【答案】
【解析】A、B、C、D四位同学站成一排照相,基本事件总数,A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20,故A、B两人中至少有一人站在两端的概率.
16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点
A, B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,
称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中, A(-2,1),B(-2,4),
点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;
若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点,Q在直线x= -1上的射影为H,则
的最小值为 .
【答案】
【解析】
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知向量,,.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,内角,,所对的边分别为,,,且满足,,求面积的最大值.
【解析】(1)向量,,,
则 .......................3分
∴T= . . ...... ........ .................4分
(2)∵,∴,
∵,∴,∴,∴, ...........7分
在DABC中,由余弦定理可得:
,即.
当且仅当时等号成立 ........ ........ ...9分
所以,
故DABC面积的最大值为. ………...10分
18. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前项和Tn,求T2020.
【解析】(1)因为数列是首项为1,公差为1的等差数列,
所以,所以. ....... ........ ...2分
当时,. ....... ........ ...3分
当时,, ....... ........ ...5分
当时,也符合上式.
所以数列的通项公式. ........ ........ ...6分
(2)由(1)知,.. ...8分
所以数列的前项和
. ..... ...... ...11分
故. .... ...... ...12分
19.(本小题满分12分)
如图,在四面体中,,.
(1)证明:;
(2)若,,四面体的体积为2,
求二面角的余弦值.
解:(1)如图,作Rt△斜边上的高,连结.
因为,,
所以Rt△≌Rt△.
可得.所以平面,
于是. …………(4分)
(2)在Rt△中,因为,,
所以,,,△的面积.
因为平面,四面体的体积,
所以,,,
所以平面. …………(6分)
以,,为,,轴建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,.
设是平面的法向量,
则,即,可取.…………(8分)
设是平面的法向量,
则,即,可取.…………(10分)
因为, …………(11分)
二面角的平面角为钝角,
所以二面角的余弦值为. …………(12分)
20.(本小题满分12分)
2020年春节期间,随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散,各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应,采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.
(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析,人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数,求及X的数学期望.
(2) 疫情期间,武汉大学中南医院重症监护室(ICU)主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度,现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”?
无并发症
并发症
合计
非重症
38
102
重症
10
合计
64
138
附: 若 , 则,
,, .
参考公式与临界值表:,其中.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】(1)由已知体温落在之内的概率为,
∴落在之外的概率为 ................2分
................4分
. .............6分
(2)填表如下: ................8分
无并发症
并发症
合计
非重症
64
38
102
重症
10
26
36
合计
74
64
138
................11分
而P(K2³10.828)=0.001,
故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . ................12分
21. (本小题满分12分)
已知椭圆的左右顶点为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两点,
直线AP、BP、BQ的斜率分别记为.
(1)求的值;
(2)若,求证:,并判断直线PQ是否过定点,若是,求出该定点;
若不是,请说明理由.
【解析】(1)设,∵,则,
又,则,代入上式,得. ………………..4分
(2),又由(1)知,,
,即. ………………………………………………..6分
设直线的方程为:,设,
联立得:,
由D>0得:,
由韦达定理:,,…………………………..8分
,,
则,
即:,
所以:,得:或,……………………..11分
当时,直线,则直线过B(2,0),不合题意,
当时,直线,则直线过定点,
∴直线PQ是过定点,该定点为 ……………….…………..12分
22.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.
① 求实数的取值范围;
② 求证:.
【解析】(1)依题意,,,
故,所以,
据题意可知,,解得. 所以实数的值为2.……………..3分
(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,
所以在上有两个根,且,
即在上有两个不相等的根.
所以解得.
当时,若或,,,
函数 在和上单调递增;
若,,,
函数在上单调递减,
故函数在上有两个极值点,且.
所以,实数的取值范围是.……………………………………………..7分
②由①可知,是方程的两个不等的实根,
所以其中.
故
,
令,其中.故,
令,
,在上单调递增.
由于,,
所以存在常数,使得,即,,
且当时,,上单调递减;
当时,,在上单调递增,
所以当时,的最小值:
,
又,,
所以,即,
故得证. ……………………………………………………12分