• 1.58 MB
  • 2021-06-15 发布

【数学】广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期期中考试联考试题

  • 18页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
广东省深圳市四校2019-2020学年 高二下学期期中考试联考试题 试卷分值:150分 考试时间:120分钟 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数满足,则复数的的虚部是( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎3. 已知单位向量满足,若,则实数的值为( )‎ A. B.-2 C. 2 D. ‎ ‎4. 已知,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. 下列命题中,真命题是( )‎ A. ; ‎ B. 命题“”的否定是“”;‎ C. “”是“”的充分不必要条件;‎ D. 函数在区间内有且仅有两个零点.‎ ‎6.已知正项等比数列,若向量,,,‎ 则=( )‎ A.12 B. C.5 D.18‎ ‎7. 若变量满足约束条件,则的最大值是( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:‎ ‎ ‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是( )‎ A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎9.中,点D在线段(不含端点)上,且满足,‎ 则的最小值为( )‎ A. B. C.6 D.8‎ ‎10. 已知双曲线:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为,,点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点,且,则的离心率为( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经 验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其 一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,‎ 其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已 知堑堵的内切球(与各面均相切)直径为1,则鳖臑的体积最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎13. 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)‎ ‎14. 已知角的终边与单位圆交于点(),则=__________.‎ ‎15. A、B、C、D四位同学站成一排照相,则A、B中至少有一人站在两端的概率为____.‎ ‎16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点 A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,‎ 称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2, 1),B(-2, 4),‎ 点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;‎ 若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点,Q在直线x= -1上的射影为H,则 的最小值为 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知向量,,.‎ ‎(1)求的最小正周期;‎ ‎(2)在中,内角,,所对的边分别为,,,且满足,,求面积的最大值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,记数列的前项和为Tn,求T2020.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,在四面体中,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,,四面体的体积为2,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎2020年春节期间,随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散,各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应,采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.‎ ‎(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析,人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数,求及X的数学期望.‎ ‎(2) 疫情期间,武汉大学中南医院重症监护室(ICU)主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度,现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”?‎ 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ 合计 ‎64‎ ‎138‎ 附: 若 , 则,‎ ‎,, .‎ 参考公式与临界值表:,其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右顶点为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两点,‎ 直线AP、BP、BQ的斜率分别记为.‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)若,求证:,并判断直线PQ是否过定点,若是,求出该定点;‎ 若不是,请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;‎ ‎(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.‎ ‎① 求实数的取值范围;‎ ‎② 求证:.‎ 参考答案 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】,选A.‎ ‎2.若复数满足,则复数的的虚部是( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于,则,‎ 所以复数的的虚部是-1,故答案选B ‎3.已知单位向量满足,若,则实数的值为( )‎ A. B.-2 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,‎ 即,解得,故选:B.‎ ‎4.已知,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵b>1>c>0>a∴,故选A ‎5.下列命题中,真命题是( )‎ A. ; ‎ B. 命题“”的否定是“”;‎ C. “”是“”的充分不必要条件;‎ D. 函数在区间内有且仅有两个零点.‎ ‎【答案】C ‎6.已知正项等比数列,若向量,,,‎ 则=( D )‎ A.12 B. C.5 D.18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,故选D ‎7. 若变量满足约束条件,则的最大值是( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出其平面区域,‎ 令,化为,‎ 相当于直线的纵截距,‎ 由图可知,,解得,,‎ 则的最大值是, 故选C.‎ ‎8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:‎ ‎ ‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是 A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【答案】B ‎9.中,点D在线段(不含端点)上,且满足,‎ 则的最小值为( )‎ A. B. C.6 D.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,且三点共线,所以且,则,当且仅当时,取等号,‎ 故有最小值,故选B.‎ ‎10. 已知双曲线:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为,,点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点,且,则的离心率为( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,直线过左焦点且倾斜角为,,∴,,∴,即.‎ ‎∴,‎ ‎∴,根据双曲线定义有,‎ ‎∴离心率.故选:D ‎11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经 验,总结出了一套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其 一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,‎ 其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已 知堑堵的内切球(与各面均相切)直径为1,则鳖臑的体积最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意内切球直径2r=1,则 ‎,当且仅当b=c时取等号.‎ ‎∴鳖臑的体积为 ‎∴当且仅当b=c时,鳖臑的体积最小为, 故选:A ‎12. 函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,设函数,‎ 则,‎ 因为是定义在区间上的可导函数,且满足,‎ 所以,所以函数在上为增函数,‎ 又由,即,‎ 即,所以,解得,‎ 即不等式的解集为. 故选:C.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎13. 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)‎ ‎【答案】160‎ ‎14.已知角的终边与单位圆交于点(),则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎15. A、B、C、D四位同学站成一排照相,则A、B中至少有一人站在两端的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】A、B、C、D四位同学站成一排照相,基本事件总数,A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20,故A、B两人中至少有一人站在两端的概率. ‎ ‎16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点 A, B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,‎ 称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中, A(-2,1),B(-2,4),‎ 点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;‎ 若点Q为抛物线E: y2 =4x上的动点,Q在直线x= -1上的射影为H,则 的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知向量,,.‎ ‎(1)求的最小正周期;‎ ‎(2)在中,内角,,所对的边分别为,,,且满足,,求面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)向量,,,‎ 则 .......................3分 ‎∴T= . . ...... ........ .................4分 ‎(2)∵,∴,‎ ‎∵,∴,∴,∴, ...........7分 在DABC中,由余弦定理可得:‎ ‎,即.‎ 当且仅当时等号成立 ........ ........ ...9分 所以,‎ 故DABC面积的最大值为. ………...10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,记数列的前项和Tn,求T2020.‎ ‎【解析】(1)因为数列是首项为1,公差为1的等差数列,‎ 所以,所以. ....... ........ ...2分 当时,. ....... ........ ...3分 当时,, ....... ........ ...5分 当时,也符合上式.‎ 所以数列的通项公式. ........ ........ ...6分 ‎(2)由(1)知,.. ...8分 所以数列的前项和 ‎ ‎. ..... ...... ...11分 ‎ 故. .... ...... ...12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,在四面体中,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,,四面体的体积为2,‎ 求二面角的余弦值.‎ 解:(1)如图,作Rt△斜边上的高,连结.‎ 因为,,‎ 所以Rt△≌Rt△.‎ 可得.所以平面,‎ 于是. …………(4分)‎ ‎(2)在Rt△中,因为,,‎ 所以,,,△的面积.‎ 因为平面,四面体的体积,‎ 所以,,,‎ 所以平面. …………(6分)‎ 以,,为,,轴建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,‎ ‎,,.‎ 设是平面的法向量,‎ 则,即,可取.…………(8分)‎ 设是平面的法向量,‎ 则,即,可取.…………(10分)‎ 因为, …………(11分)‎ 二面角的平面角为钝角,‎ 所以二面角的余弦值为. …………(12分)‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎2020年春节期间,随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散,各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应,采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.‎ ‎(1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析,人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数,求及X的数学期望.‎ ‎(2) 疫情期间,武汉大学中南医院重症监护室(ICU)主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度,现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将下列2×2列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”?‎ 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ 合计 ‎64‎ ‎138‎ 附: 若 , 则,‎ ‎,, .‎ 参考公式与临界值表:,其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解析】(1)由已知体温落在之内的概率为,‎ ‎∴落在之外的概率为 ................2分 ‎ ................4分 ‎ ‎ . .............6分 ‎(2)填表如下: ................8分 无并发症 并发症 合计 非重症 ‎64‎ ‎38‎ ‎102‎ 重症 ‎10‎ ‎26‎ ‎36‎ 合计 ‎74‎ ‎64‎ ‎138‎ ‎ ................11分 而P(K2³10.828)=0.001,‎ 故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . ................12分 ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右顶点为A,B,点P,Q为椭圆上异于A,B的两点,‎ 直线AP、BP、BQ的斜率分别记为.‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)若,求证:,并判断直线PQ是否过定点,若是,求出该定点;‎ 若不是,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)设,∵,则,‎ 又,则,代入上式,得. ………………..4分 ‎(2),又由(1)知,,‎ ‎,即. ………………………………………………..6分 设直线的方程为:,设,‎ 联立得:,‎ 由D>0得:,‎ 由韦达定理:,,…………………………..8分 ‎,,‎ 则,‎ 即:,‎ 所以:,得:或,……………………..11分 当时,直线,则直线过B(2,0),不合题意,‎ 当时,直线,则直线过定点, ‎ ‎∴直线PQ是过定点,该定点为 ……………….…………..12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;‎ ‎(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.‎ ‎① 求实数的取值范围;‎ ‎② 求证:.‎ ‎【解析】(1)依题意,,,‎ 故,所以,‎ 据题意可知,,解得. 所以实数的值为2.……………..3分 ‎(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,‎ 所以在上有两个根,且,‎ 即在上有两个不相等的根.‎ 所以解得.‎ 当时,若或,,,‎ 函数 在和上单调递增;‎ 若,,,‎ 函数在上单调递减,‎ 故函数在上有两个极值点,且.‎ 所以,实数的取值范围是.……………………………………………..7分 ‎②由①可知,是方程的两个不等的实根,‎ 所以其中.‎ 故 ‎,‎ 令,其中.故,‎ 令,‎ ‎,在上单调递增.‎ 由于,,‎ 所以存在常数,使得,即,,‎ 且当时,,上单调递减;‎ 当时,,在上单调递增,‎ 所以当时,的最小值:‎ ‎,‎ 又,,‎ 所以,即,‎ 故得证. ……………………………………………………12分