黑龙江省哈尔滨师范大学附中2020届高三9月月考数学（文）试题 20页

哈师大附中2017级高三上学期开学考试数学试题（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，集合 ，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合再求交集即可 ‎【详解】由题，‎ 故 ‎ ，故 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，熟练求解三角不等式是关键，是基础题 ‎2.已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知=‎ ‎=，所以应选A。‎ ‎3.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的值是( )‎ A. - B. - C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合奇函数g（0）=0求解φ的取值．‎ ‎【详解】y＝sin（x）cos（x），‎ 沿x轴向左平移个单位，得g（x）．‎ 由g（0），得φ，即φ，k∈Z．‎ 当k＝0时，φ； ∴φ的取值是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题．‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由∈（0，1），b＝lnln2＜0，，即可得出大小关系．‎ ‎【详解】∈（0，1），b＝lnln2＜0， ‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数运算性质及其指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )‎ A. 0≤≤ B. 0≤≤ C. ≤≤3 D. ≤≤3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω取值范围．‎ ‎【详解】令ωx（k∈Z），则x ‎∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递减，‎ ‎∴且 当满足题意，∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎6.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，若是锐角三角形的两个内角，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x+2）＝f（x），得函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f（x）在[﹣1，0]上为减函数，由f（x）为偶函数，得f（x）在[0，1]上为单调增函数．再根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案．‎ ‎【详解】由题意：可知f（x+2）＝f（x），‎ ‎∴f（x）是周期为2的函数，‎ ‎∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，‎ 又∵f（x）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，‎ ‎∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．‎ ‎∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β ‎∴π﹣α﹣β，即，‎ ‎∴αβ＞0，‎ ‎∴sinα＞sin（）＝cosβ；‎ ‎∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．‎ 所以f（sinα）＞f（cosβ），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．‎ ‎7.四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 A. ④①②③ B. ①④②③ C. ③④②① D. ①④③②‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析四个函数奇偶性，再讨论函数对应区间上函数值正负，即可进行判断选择.‎ ‎【详解】①为偶函数，所以对应第一个图；‎ ‎②为奇函数，且时函数值为负，所以对应第三个图；‎ ‎③为奇函数，且时函数值恒非负，所以对应第四个图；‎ ‎④为非奇非偶函数，所以对应第二个图.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性以及函数数值，考查基本分析与判断求解能力，属基本题.‎ ‎8.已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象由最值可求A，由f（0）＝2sinφ＝1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解．‎ ‎【详解】结合图象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），‎ ‎∵f（0）＝2sinφ＝1，‎ ‎∴sinφ，‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴φ，f（x）＝2sin（ωx），‎ 结合图象及五点作图法可知，ω2π，‎ ‎∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其对称轴x，k∈Z，‎ ‎∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立，‎ ‎∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的图象关于x＝a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．‎ ‎9.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的表达式即可判断在上递减，利用单调性可得：‎ ‎，解不等式即可。‎ ‎【详解】函数在各段内都是减函数，‎ 并且，所以在上递减，‎ 又，所以 解得：，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎10.已知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可．‎ ‎【详解】由题意可得：是奇函数，‎ 则：，∴，‎ 即：，∴．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质及其应用，函数值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎11.中，,,,为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设PA＝x，x∈[0，]，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．‎ ‎【详解】△ABC中，设PA＝x，x∈[0，]，‎ 则（）•x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45°‎ ‎＝x2﹣x+4，‎ ‎∵x∈[0，]，‎ 由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；‎ 当x＝0时，有最大值4，‎ 所求的范围是[，4]．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．‎ ‎12.已知函数，若关于的方程由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数y的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0得到f（x）＝m或f（x）．画出函数图象，数形结合得答案．‎ ‎【详解】设y，则y′，‎ 由y′＝0，解得x＝e，‎ 当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．‎ ‎∴当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）．‎ 方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]＝0．‎ 解得f（x）＝m或f（x）．‎ 如图画出函数图象：‎ 可得m的取值范围是（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)‎ ‎13.已知，tanα=2，则=______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．‎ ‎14.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线求得；再利用求得结果.‎ ‎【详解】由与共线得：，解得：‎ 向量在方向上的投影为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.‎ ‎15.已知，若方程有2个零点，则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f（x）在上的解析式，若函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，则函数f（x）与函数y＝mx的图象有2个交点，数形结合可得答案．‎ 详解】设， ‎ 故 若函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，则函数f（x）与函数y＝mx的图象有2个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：‎ 当直线y＝mx与f（x）相切时，设切点 ‎ 故当m∈时，两个函数图象有2个交点，即函数g（x）＝f（x）﹣mx有2个零点，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，找到相切的临界情况是关键，难度中档．‎ ‎16.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，，则△ABC面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，得：，利用两角和的正切及基本不等式的性质可得tanB的最大值，即得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】由题得 即 ‎ 当且仅当时取等号．‎ ‎∴ ‎ 则△ABC面积的最大值acsinB1．‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形内角和定理及两角和的正弦公式，基本不等式的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，注意同角三角函数及正切公式的灵活运用是关键，属于中档题．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由对数的底数可知且，则内层函数为减函数，将在上有意义，转化为，于此可求出实数的取值范围；‎ ‎（2）由内层函数为减函数得出外层函数为增函数，可得出，根据函数的单调性得出，解出的值可解答该问题.‎ ‎【详解】（1）且，设，则为减函数，‎ 时，的最小值为，当时，恒有意义，‎ 即时，恒成立，，所以.‎ 又且，的取值范围是；‎ ‎（2），，函数为减函数，‎ 在区间上为减函数，外层函数为增函数，‎ ‎，时，的最小值为，的最大值为，‎ ‎，即，‎ 故不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的问题，考查复合函数的单调性问题，解题时利用复合函数同增异减法来求单调区间外，还需考虑真数在所给区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎【答案】（1）函数的定义域为，最小正周期为；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】（1）∵．‎ ‎∴，函数的定义域为， ‎ ‎ ‎ ‎∴函数的最小正周期为 ‎ ‎（2）当 即，函数的增区间为，‎ 当 即，减区间为，.‎ 记，B=，，则.‎ ‎∴当时，在上单减，在上单增.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎19.已知，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎（1）求的值及函数的图象的对称中心；‎ ‎（2）已知分别为Δ中角的对边，且满足，求Δ周长的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，再利用对称中心公式即可求得答案（2）由解得A，结合已知由余弦定理得，利用基本不等式得的最大值，则周长的最大值得解．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎. ‎ 因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.‎ 所以.‎ 令，即时,‎ 所以函数的图象的对称中心为 ‎ ‎（2）由得.因为.‎ 所以,. ‎ 由余弦定理得：.‎ 所以 当且仅当时等号成立.‎ 所以.即ΔABC为等边三角形时，周长最大为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎20.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．‎ ‎（1）求B﹣A的值；‎ ‎（2）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出B﹣A的值；（2）由（1）求出C和A的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用换元法和二次函数的性质求出式子的范围．‎ ‎【详解】(1)由及正弦定理，得 ‎∴， ‎ 即， ‎ 又B为钝角，因此，‎ 故，即； ‎ ‎(2)由（1）知，‎ ‎∴，‎ 于是 ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 因此，‎ 由此可知的取值范围是．‎ 点睛】本题考查三角函数中恒等变换的应用，正弦定理，以及换元法和二次函数的性质，熟练掌握公式和定理是解题的关键．‎ ‎21.已知函数为的导函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上存在最大值0，求函数在[0，＋∞)上最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再分类讨论，即可求出g（x）的单调区间，（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna处取得最大值，即构造函数 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），根据导数求出函数的最值，可知f（x）在[0，+∞）上单调递减，即可求解最大值 ‎【详解】（1）由题意可知，g（x）＝f'（x）＝x+a﹣aex，则g'（x）＝1﹣aex，‎ 当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；‎ 当a＞0时，解得x＜﹣lna时，g'（x）＞0，x＞﹣lna时，g'（x）＜0‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减 综上，当a≤0时，g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无递减区间；‎ 当a＞0时，g（x）的单调递增区间为 （﹣∞，﹣lna），单调递减区间为（﹣lna，+∞）．‎ ‎（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna处取得最大值，‎ ‎，即a﹣lna﹣1＝0，‎ 观察可得当a＝1时，方程成立 令 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），‎ 当 a∈（0，1）时，h'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h'（a）＞0‎ ‎∴h（a）在（0，1）上单调递减，在 （1，+∞）单调递增，‎ ‎∴h（a）≥h（1）＝0，‎ ‎∴当且仅当a＝1时，a﹣lna﹣1＝0，‎ ‎∴，由题意可知 f'（x）＝g（x）≤0，f（x）在[0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴f（x）在x＝0处取得最大值f（0）＝﹣1‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎22.已知函数的单调递减区间是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知f′（x）＜0的解集为（1，2），即f′（x）＝0的两根为1，2，建立 的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；（2）对任意不等式在 上有解，等价于fmin（x）对任意恒成立，再分离参数转化求函数最值问题即可．‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎∵的单调递减区间是(1,2)，‎ ‎∴， ‎ 解得,‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴ ‎ 要使若对任意的，存在，使不等式成立，‎ 只需对任意的，不等式成立. ‎ 所以需对任意的，恒成立, ‎ 只需在上恒成立.‎ 设，，则，‎ 当时，在(0,1)上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴. ‎ 要使在上恒成立，只需，则.‎ 故t的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式，利用导数求函数最值及求参数范围问题，考查计算能力和等价转化能力，是中档题 ‎ ‎