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- 2021-06-15 发布
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核心素养测评十 函数与方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(多选)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a可取的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A、B.因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0b,c>d.若f(x)=2 020-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是 ( )
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
【解析】选D.f(x)=2 020-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 020,又f(a)=f(b)=
2 020,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos 在上的零点个数
为________.
【解析】令f(x)=cos=0,得3x+=+kπ(k∈Z),即x=+kπ,
当k=0时,x=∈[0,π],当k=1时,x=∈[0,π],当k=2时,x=∈[0,π],所以f(x)=cos在[0,π]上零点的个数为3.
答案:3
7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________;若f(x)=m有2个零点,则m=________.
- 9 -
【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,如图所示,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线的顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).
若f(x)=m有2个零点,则m=0或m=f(-1)=1.
答案:(0,1) 0,1
8.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=的图象如图所示
因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).
答案:(1,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=(x>0).
- 9 -
(1)作出函数f(x)的图象.
(2)当00.若函数y=f(f(x))有10个零点,则实数a的取值范围是________.
【解析】当x≥0时,令f(x)=0,得|x-2|=1,即x=1或x=3.因为f(x)是偶函数,则f(x)的零点为x=±1和x=±3,作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.
令f(f(x))=0,则f(x)=±1或f(x)=±3.因为函数y=f(f(x))有10个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=±1和y=±3共有10个交点.由图可知,10).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.
(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.
【解析】(1)因为g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e,
故g(x)的值域为[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点,
即m的取值范围为[2e,+∞).
(2)函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
- 9 -
即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+(x>0)的图象.
因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
1. (2020·连云港模拟)已知函数f(x)=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1](k∈Z),则函数g(x)=f(x)-lg x的零点个数是 ( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【解析】选C.函数g(x)=f(x)-lg x的零点转化为y=lg x与y=f(x)的交点,给k赋值,作出函数y=f(x)及y=lg x的图象,从图象上看,共有9个交点,所以函数g(x)的零点共有9个,故选C.
【变式备选】
函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=对任意的
x∈R都有f(x+2)=f(x-2).若在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.
【解析】因为对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)的周期为4.
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由在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m有三个不同的零点,
知函数f(x)与函数h(x)=mx-m的图象在[-5,3]上有三个不同的交点.
在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[-5,3]上的图象,如图所示.
由图可知≤m<,
即-≤m<-.
2.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.
【解析】f(x)=kx+4(k>0),即ex-e-x=kx,所以y1=ex-e-x与y2=kx有三个不同的交点,且都是奇函数.因此x1+x2+x3=0.
答案:0
- 9 -
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