宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第4次周练卷数学（理）试题 10页

‎2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第4次周测 时间：2020年4月20日 16:25—17:05‎ 班级________． 姓名________． 得分________．‎ 1. 如图，在直三棱柱中，，D为上一点，E为AC上一点，且，． Ⅰ求证：； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求四棱锥的体积． ‎ ‎ ‎ ‎ 2.如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，，是边长为2的等边三角形，，． Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？‎ 如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由 ‎3．如图在椎体中，是边长为1的棱形，且=60，‎ ‎，，，分别是，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4. 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，‎ 四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD． Ⅰ求证：平面ABE； Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值； Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，‎ 若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.如图，在直三棱柱中，，D为上一点，E为AC上一点，且，． Ⅰ求证：； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求四棱锥的体积． ‎ ‎【答案】Ⅰ证明：在中，，，， ，则， 底面ABC，， 又，平面， 平面， 又平面， ； Ⅱ证明：在平面中，过E作交于F， ，， ，则． ，且，则四边形BDFE为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； ‎ Ⅲ解：， ， ．‎ ‎ ‎ ‎2. 【答案】Ⅰ证明：因为底面ABCD是菱形，， 所以O为AC，BD中点． 又因为，， 所以，， 且，AC、底面ABCD， 所以底面ABCD； Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得， 又由Ⅰ可知，． 如图，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，， 可得． 所以． 所以，，， 由已知可得 ‎， 设平面BDF的法向量为y，， 则即 令，则，所以0，， 因为， 所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为， 所以直线CP与平面BDF所成角的大小为； Ⅲ解：设，‎ 则 ，‎ 若使平面BDF，仅需且平面BDF， 即，解得，‎ 所以在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，此时．‎ ‎3．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．因PA=PD，‎ 有，在中，，有为等边 三角形，因此，‎ 所以平面PBG 又PB//EF，得，而DE//GB得AD DE，又，‎ 所以AD 平面DEF．‎ ‎（Ⅱ），为二面角P—AD—B的平面角，‎ 在 在 法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为 又为等边三角形，因此，，‎ 从而平面PBG．‎ 延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，‎ 所以PO 平面ABCD．‎ 以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 设 由于 得 平面DEF．‎ ‎（Ⅱ）‎ 取平面ABD的法向量 设平面PAD的法向量 由 取 ‎4.【答案】解：Ⅰ证明：四边形EDCF为矩形， ， 平面平面ABCD， 平面平面， 平面EDCF， 平面ABCD． 由题意，以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作平行于AB直线为y轴， DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示： ‎ ‎ 则0，，2，，0，，2，， ，2，， 设平面ABE的法向量为y，， ，令，则， 所以平面ABE的法向量为0，， 又2，， ， ； 又平面ABE， 平面ABE； Ⅱ，，，0，， 设平面BEF的法向量为b，， 令，则， 则平面BEF的法向量为， 设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为， ‎ ‎， 平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是； Ⅲ设2， ，； ， ， 又平面ABE的法向量为0，，设直线BP与平面ABE所成角为， ， ， 化简得， 解得或； 当时，，； 当时，，； 综上，． ‎ ‎． ‎