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  • 2021-06-15 发布

高考数学人教A版(理)一轮复习:第八篇 第8讲 立体几何中的向量方法(二)

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第8讲 立体几何中的向量方法(二)‎ A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为 (  ).‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ 解析 设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos〈m,n〉|=,∴θ=30°.‎ 答案 A ‎2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上一点且FB=BC,则GB与EF所成的角为 (  ).‎ A.30° B.120° C.60° D.90°‎ 解析 如图建立直角坐标系D-xyz,‎ 设DA=1,由已知条件,得 G,B,E,F,=,‎ = cos〈,〉==0,则⊥.‎ 答案 D ‎3.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 建立坐标系如图,‎ 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).‎ =(-1,0,2),=(-1,2,1),‎ cos〈,〉==.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ 答案 B ‎4.(2013·杭州月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),‎ cos〈,〉=-,sin〈,〉=,‎ 答案 B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.‎ 解析 cos〈n,a〉===-.‎ 又l与α所成角记为θ,即sin θ=|cos〈n,a〉|=.‎ 答案 .‎ ‎6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.‎ 解析 建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=BC=AA1=2,‎ 则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),‎ 则=(0,-1,1),=(2,0,2),‎ ‎∴·=2,‎ ‎∴cos〈,〉==,‎ ‎∴EF和BC1所成角为60°.‎ 答案 60°‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7.(12分)如图,四面体ABCD中,AB、BC、BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F分别为棱BC、AD的中点.‎ ‎(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值;‎ ‎(2)求E到平面ACD的距离;‎ ‎(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值.‎ 解 如图,分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0,0)、D(0,4,0),E(2,0,0)、F(0,2,2).‎ ‎(1)∵=(0,0,-4),=(-2,2,2),‎ ‎∴|cos〈,〉|==,‎ ‎∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,1),‎ 则∵=(4,0,-4),=(-4,4,0),‎ ‎∴ ‎∴x=y=1,∴n=(1,1,1,).‎ ‎∵F∈平面ACD,=(-2,2,2),‎ ‎∴E到平面ACD的距离为d===.‎ ‎(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n,〉|== ‎8.(13分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)求二面角P-BD-A的大小.‎ ‎(1)证明 如图,建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),‎ C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),‎ ‎∴=(0,0,3),=(2,6,0),‎ =(-2,2,0).‎ ‎∴·=0,·=0.∴BD⊥AP,BD⊥AC.‎ 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.‎ ‎(2)解 设平面ABD的法向量为m=(0,0,1),‎ 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·=0,n·=0.∵=(-2,0,3),‎ ‎∴解得 令x=,则n=(,3,2),∴cos〈m,n〉==.‎ ‎∴二面角P-BD-A的大小为60°.‎ B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2.∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为 (  ).‎ A.    B.    C.    D. 解析 二面角A-BC-D的大小等于AB与CD所成角的大小.=++.而2=2+2+2-2||·||·cos 〈,〉,即12=1+4+9-2×2cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴AB与CD所成角为,即二面角A-BC-D的大小为.故选B.‎ 答案 B ‎2.如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是 (  ).‎ A.     B. C.     D. 解析 由题设可知,以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).‎ 由=(1,1,-1),得 =λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).‎ 显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos ∠APC=cos〈,〉=<0,这等价于·<0,‎ 即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,得<λ< 1.因此,λ的取值范围为.‎ 答案 D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________.‎ 解析 如图,建立直角坐标系D-xyz,设DA=1由已知条件A(1,0,0),E,F,‎ =,=,‎ 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),‎ 面AEF与面ABC所成的二面角为θ,‎ 由得 令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3)‎ 平面ABC的法向量为m=(0,0,-1)‎ cos θ=cos〈n,m〉=,tan θ=.‎ 答案  ‎4.在三棱锥O-ABC中,三条棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=OB=OC,M是AB边的中点,则OM与平面ABC所成角的正切值是________.‎ 解析 如图所示建立空间直角坐标系,设OA=OB=OC=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),M,故=(-1,1,0),=(-1,0,1),=.‎ 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),‎ 则由得 令x=1,得n=(1,1,1).故cos〈n,〉==,‎ 所以OM与平面ABC所成角的正弦值为,其正切值为.‎ 答案  三、解答题(共25分)‎ ‎5.(12分)(2012·新课标全国)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.‎ ‎(1)证明:DC1⊥BC.‎ ‎(2)求二面角A1-BD-C1的大小.‎ ‎(1)证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于 D为AA1的中点,‎ 故DC=DC1.‎ 又AC=AA1,可得DC+DC2=CC,所以DC1⊥DC.‎ 而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.‎ 因为BC⊂平面BCD,所以DC1⊥BC.‎ ‎(2)解 由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).‎ 则=(0,0,-1),=‎ ‎(1,-1,1),=(-1,0,1).‎ 设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则 即可取n=(1,1,0).‎ 同理,设m=(x,y,z)是平面C1BD的法向量,则 即可取m=(1,2,1).‎ 从而cos〈n,m〉==.‎ 故二面角A1-BD-C1的大小为30°.‎ ‎6.(13分)(2012·全国)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.‎ ‎(1)证明:PC⊥平面BED;‎ ‎(2)设二面角APBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.‎ ‎(1)证明 以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 设C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,则P(0,0,2),E,‎ B.于是=(2,0,-2),=,=,‎ 从而·=0,·=0,‎ 故PC⊥BE,PC⊥DE.‎ 又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.‎ ‎(2)解 =(0,0,2),=(,-b,0).‎ 设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m·=0,且 m·=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,则m=(b,,0).‎ 设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,‎ 则n·=0,且n·=0,‎ 即2p-2r=0且+bq+r=0,‎ 令p=1,则r=,q=-,n=.‎ 因为面PAB⊥面PBC,故m·n=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),‎ cos〈n,〉==,〈n,〉=60°.‎ 因为PD与平面PBC所成角和〈n,〉互余,‎ 故PD与平面PBC所成的角为30°.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎

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