高考数学人教A版（理）一轮复习：第八篇 第8讲 立体几何中的向量方法（二） 10页

第8讲 立体几何中的向量方法（二）‎ A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 (　　)．‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.‎ 答案　A ‎2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为 (　　)．‎ A．30° B．120° C．60° D．90°‎ 解析　如图建立直角坐标系D－xyz，‎ 设DA＝1，由已知条件，得 G，B，E，F，＝，‎ ＝ cos〈，〉＝＝0，则⊥.‎ 答案　D ‎3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　建立坐标系如图，‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．‎ ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ 答案　B ‎4．(2013·杭州月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，‎ cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．‎ 解析　cos〈n，a〉＝＝＝－.‎ 又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.‎ 答案　.‎ ‎6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．‎ 解析　建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设AB＝BC＝AA1＝2，‎ 则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，‎ 则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，‎ ‎∴·＝2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴EF和BC1所成角为60°.‎ 答案　60°‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．‎ ‎(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；‎ ‎(2)求E到平面ACD的距离；‎ ‎(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．‎ 解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．‎ ‎(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴|cos〈，〉|＝＝，‎ ‎∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，‎ 则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，‎ ‎∴ ‎∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．‎ ‎∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.‎ ‎(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝ ‎8．(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)求二面角P－BD－A的大小．‎ ‎(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，‎ C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，‎ ‎∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，‎ ＝(－2，2,0)．‎ ‎∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.‎ ‎(2)解　设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，‎ 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，‎ ‎∴解得 令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.‎ ‎∴二面角P－BD－A的大小为60°.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 (　　)．‎ A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.‎ 答案　B ‎2．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 (　　)．‎ A. 　　　 B. C. 　　　 D. 解析　由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．‎ 由＝(1,1，－1)，得 ＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．‎ 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos ∠APC＝cos〈，〉＝＜0，这等价于·＜0，‎ 即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得＜λ＜ 1.因此，λ的取值范围为.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．‎ 解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，‎ ＝，＝，‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 面AEF与面ABC所成的二面角为θ，‎ 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)‎ 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)‎ cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.‎ 答案　 ‎4．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．‎ 解析　如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.‎ 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，‎ 所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)(2012·新课标全国)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.‎ ‎(1)证明：DC1⊥BC.‎ ‎(2)求二面角A1－BD－C1的大小．‎ ‎(1)证明　由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于 D为AA1的中点，‎ 故DC＝DC1.‎ 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.‎ 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.‎ 因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.‎ ‎(2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．‎ 则＝(0,0，－1)，＝‎ ‎(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则 即可取n＝(1,1,0)．‎ 同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则 即可取m＝(1,2,1)．‎ 从而cos〈n，m〉＝＝.‎ 故二面角A1－BD－C1的大小为30°.‎ ‎6.(13分)(2012·全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.‎ ‎(1)证明：PC⊥平面BED；‎ ‎(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．‎ ‎(1)证明　以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，‎ B.于是＝(2，0，－2)，＝，＝，‎ 从而·＝0，·＝0，‎ 故PC⊥BE，PC⊥DE.‎ 又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.‎ ‎(2)解　＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，且 m·＝0，即2z＝0且x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，，0)．‎ 设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，‎ 则n·＝0，且n·＝0，‎ 即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，‎ 令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.‎ 因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，‎ cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.‎ 因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，‎ 故PD与平面PBC所成的角为30°.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎