高中数学选修2-1公开课课件2_3_1双曲线的标准方程(1课时) 28页

双曲线的标准方程 2.3.1 一、回顾 1 、椭圆的定义是什么？ 2 、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？ 定义 图象 方程 焦点 a.b.c 的关系 y · o x F 1 F 2 · · y o F 1 F 2 · · |MF 1 |+|MF 2 |=2a （ 2a>|F 1 F 2 | ） a 2 =b 2 +c 2 F ( ±c,0) F(0, ± c) o F 1 F 2 · · · 1. 椭圆的定义 和 等于常数 2 a ( 2 a >|F 1 F 2 | >0 ) 的点的轨迹 . 平面内与两定点 F 1 、 F 2 的距离的 2. 引入问题： 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点 F 1 、 F 2 的距离的 ① 如图 (A) ， |MF 1 | - |MF 2 |=|F 2 F|=2 a ② 如图 (B) ， |MF 2 | - |MF 1 |=2 a 上面 两条合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF 1 | - |MF 2 | | = 2 a （ 差的绝对值） 双曲线 两条射线 1 、 2a < |F 1 F 2 | 2 、 2a= |F 1 F 2 | 3 、 2a> |F 1 F 2 | 无轨迹 |MF 1 | - |MF 2 |= 2a 想一想？ ① 两个定点 F 1 、 F 2 —— 双曲线的 焦点 ; ② |F 1 F 2 |=2 c —— 焦距 . o F 2 F 1 M 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的差 等于常数 的点的轨迹叫做 双曲线 . 动画 的绝对值 （小于 ︱F 1 F 2 ︱ ） 注意 定义 : | |MF 1 | - |MF 2 | | = 2a 1. 建系设点 . F 2 F 1 M x O y 2. 写出适合条件的点 M 的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简 . 求曲线方程的步骤： 方程的推导 x y o 　　　设 M （ x , y ） , 双曲线的焦 距为 2c （ c>0 ） ,F 1 (-c,0),F 2 (c,0) 常数 =2a F 1 F 2 M 即 (x+c) 2 + y 2 - (x-c) 2 + y 2 = + 2a _ 　　　以 F 1, F 2 所在的直线为 X 轴，线段 F 1 F 2 的中点为原点建立直角 坐标系 1. 建系 . 2. 设点 ． 3. 列式 ． |MF 1 | - |MF 2 |= 2a ,, 如何求这 优美的 曲线的方程？ ？ 4. 化简 . o F 2 F M y x 1 多么美丽对称的图形！ 多么简洁对称的方程！ 数学真美啊！ F 1 F 2 y x o y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程 想一想 F 2 F 1 M x O y O M F 2 F 1 x y 双曲线的标准方程 问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 练习：写出以下双曲线的焦点坐标 F(±5,0) F(0,±5) F ( ±c, 0) F(0, ± c) 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程 想一想 F 2 F 1 y x o ？？？ F 1 ( 0 ,-c), F 2 (0,c) , 确定焦 点 位置： 椭圆看分母大小 双曲看系数正负 例 1 已知双曲线的焦点为 F 1 (-5,0),F 2 (5,0) ，双曲线上 一点 P 到 F 1 、 F 2 的距离的差的绝对值等于 8 ，求双曲线 的标准方程 . ∵ 　 2 a = 8, 　 c=5 ∴ 　 a = 4, c = 5 ∴ 　 b 2 = 5 2 - 4 2 =9 所以所求双曲线的标准方程为： 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为： 解 : 例 2: 求适合下列条件的双曲线的标准方程 。 1 、 焦点在 轴上 2 、焦点为 且 要求双曲线的标准 方程需要几个条件 思考： 3 、 经过点 变式二 : 上述方程表示焦点在 y 轴的双曲线时，求 m 的范围和焦点坐标。 分析 : 方程 表示双曲线时，则 m 的取值 范围 _________________. 变式一 : 练习 1 : 如果方程 表示双曲线， 求 m 的取值范围 . 分析 : 方程 表示双曲线时，则 m 的取值 范围 _________________. 变式一 : 例 2 已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点 P 1 、 P 2 的坐标分别为（ 3 ， ）、（ 9/4,5 ），求双曲线的标准方程 . 解：因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为： 因为点 P 1 、 P 2 在双曲线上，所以点 P 1 、 P 2 的坐标适合方程① . 将（ 3 ，）、（）分别代入方程①中，得方程组 解得： a 2 =16,b 2 =9. 故所求双曲线的标准方程为： 例 3 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s. （ 1 ）爆炸点应在什么样的曲线上？ （ 2 ）已知 A 、 B 两地相距 800 m ，并且此时声速为 340 m/s ，求曲线的方程 . 解（ 1 ）由声速及 A 、 B 两处听到爆炸声的时间差，可知 A 、 B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以 A 、 B 为焦点的双曲线上 . （ 2 ）如图 8—14 ，建立直角坐标系 xOy ，使 A 、 B 两点在 x 轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合 . 设爆炸点 P 的坐标为（ x,y ），则 即 2a=680,a=340.2c=800,c=400 b 2 =c 2 － a 2 =44400 所求双曲线的方程为： (x>0). 定义 图象 方程 焦点 a.b.c 的关系 | |MF 1 | - |MF 2 | | =2 a （０ < 2 a <|F 1 F 2 | ） F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c) 小结 定 义 方 程 焦 点 a.b.c 的关系 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 x 2 y 2 a 2 + b 2 =1 F （ ±c ， 0 ） F （ ±c ， 0 ） a>0 ， b>0 ，但 a 不一定大于 b ， c 2 =a 2 +b 2 a>b>0 ， a 2 =b 2 +c 2 双曲线与椭圆之间的区别与联系： ||MF 1 | － |MF 2 ||=2a |MF 1 |+|MF 2 |=2a x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 椭 圆 双曲线 y 2 x 2 a 2 - b 2 = 1 F （ 0 ， ±c ） F （ 0 ， ±c ） 习题 2 .3 (1) 　　１，２， 5, 6 作业： 课后思考题： ---(1) ---(2) ---(3) (1)(2)(3) 有什么内在 联系？ 平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹 （ 2 ）可以利用电脑研究； （ 3 ）可以利用文曲星自编 BASIC 语言进行研究； （ 4 ）合作探究、相互学习、相互交流。 建议：（ 1 ）可以进行理论研究； ？ 研究性课题 这又是什么样的美丽曲线呢？ 再见