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  • 2021-06-15 发布

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二4月月考数学(文)试题

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兰州一中年高二年级月月考试卷数学文科 第Ⅰ卷(选择题共分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是( )‎ A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60°‎ C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”,即可求出结论.‎ ‎【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,‎ 反设是假设三内角都大于.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查反证法的概念,注意逻辑用语的否定,属于基础题.‎ ‎2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理(  )‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不是正弦函数,故小前提错误.‎ ‎【详解】因为不是正弦函数,所以小前提不正确. 故选C.‎ ‎【点睛】演绎推理包含大前提、小前提和结论,只有大前提、小前提都正确时,我们得到的结论才是正确的,注意小前提是蕴含在大前提中的.‎ ‎3.曲线的中心在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.‎ ‎【详解】,即,‎ 将代入上式,得,‎ 因此曲线的标准方程为:,‎ 故其中心为,在第四象限,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关知识,属于基础题.‎ ‎4.已知曲线的一条切线经过坐标原点,则此切线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:设切点坐标,求出切线斜率,利用切线过原点求出切点坐标,从而得结论.‎ 详解:设切点为,则由得,又切线过原点,∴,解得,∴.‎ 故选D.‎ 点睛:本题考查导数的几何意义,曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别:曲线在处的切线方程为,若求过点处的切线,则可设切点为,由切点得切线方程,再由切线过点,代入求得,从而得切线方程.‎ ‎5.已知函数的导函数,且满足,则=(  )‎ A B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,然后把代入到导函数中,得到一个方程,进行求解.‎ ‎【详解】对函数进行求导,得把代入得,‎ 直接可求得.‎ ‎【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数,属于容易题.本题值得注意的是是一个实数.‎ ‎6.观察下列各式:a+b=1.a2+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )‎ A. 28 B. ‎76 ‎C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题观察可发现,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,‎ 故选C. ‎ 考点:观察和归纳推理能力.‎ ‎7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下:‎ 甲说:“我们四人都没考好”;‎ 乙说:“我们四人中有人考的好”;‎ 丙说:“乙和丁至少有一人没考好”;‎ 丁说:“我没考好”.‎ 结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对的两人是()‎ A. 甲,丙 B. 乙,丁 C. 丙,丁 D. 乙,丙 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对,如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故选D.‎ 考点:合情推理.‎ ‎8.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,利用导数判断出函数在上的单调性,将不等式转化为,利用函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】依题意可设,所以.‎ 所以函数在上单调递增,又因为.‎ 所以要使,即,只需要,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式,解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎9.函数的图象存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得,即在上有解,所以在上有解,即得的取值范围.‎ ‎【详解】函数的图象存在与直线平行的切线,即在上有解.‎ 在上有解,则.‎ 因为,所以,所以的取值范围是.‎ 故答案为B ‎【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解,即得的取值范围.‎ ‎10.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设切点为则切线方程为,从而斜率解得所以的方程为即故选C.‎ ‎【点睛】‎ 解本题的关键之处有:‎ 利用函数与方程思想求得;‎ 解方程.‎ ‎11.若是函数的极值点,则的极小值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得,‎ 因为,所以,,故,‎ 令,解得或,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以的极小值为,故选A.‎ ‎【名师点睛】(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;‎ ‎(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.‎ ‎12.已知奇函数,则函数的最大值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求出时的最小值,再利用奇函数的性质得到时,的最大值,即为的最大值.‎ ‎【详解】由题知,时,,则,‎ 故时,,时,,‎ 因此在上单调递减,在上单调递增,‎ 故时,,‎ 又是奇函数,所以时,,‎ 因为时,,即,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,考查奇函数性质的应用,需要学生灵活应用基础知识.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示,按照下面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察给出的3个例图,可知火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,即增加一个金鱼就增加6根火柴棒,最后结合图①的火柴棒的根数即可得出答案.‎ ‎【详解】由上图可知,图①火柴棒的根数为2+6=8,‎ 图②的火柴棒根数为,‎ 图③的火柴棒根数为,‎ 因此第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了从图形中找规律问题,体现了从特殊到一般的数学方法(归纳法),难度不大.‎ ‎14.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 ▲ ‎ ‎【答案】1:8‎ ‎【解析】‎ 考查类比的方法,,所以体积比为1∶8.‎ ‎15.与2的大小关系为________‎ ‎【答案】>‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平方作差即可得出.‎ ‎【详解】解:∵‎ ‎=13+2(13+4)‎ ‎0,‎ ‎∴2,‎ 故答案为:>.‎ ‎【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎16.若函数恰好有三个单调区间,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可.‎ ‎【详解】,则,‎ 若函数恰好有三个单调区间,‎ 则有两个不同的零点,‎ 即有两个不同的根,‎ 所以且,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设,,均为正数,且,证明:.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式有,,,即,再将两边平方后化简,即可证明不等式成立.‎ ‎【详解】因为,,均为正数,‎ 则,,,‎ 即,‎ 当且仅当时,取等号 又由题设得,‎ 即,‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的应用,难度不大.‎ ‎18.已知函数,,讨论的单调性.‎ ‎【答案】当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导,然后根据的正负对的正负进行分情况讨论,进而得出的单调性.‎ ‎【详解】因为,所以,,‎ ‎(1)当时,,所以在上为单调递增函数;‎ ‎(2)当时,,则有 ‎①当时,,所以的单调递减区间为,‎ ‎②当时,,所以的单调递增区间为.‎ 综上所述,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间.‎ 当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性,难度不大.‎ ‎19.已知,若函数(为自然对数的底数)在上单调递增,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先对求导,然后由函数在上单调递增,可知对恒成立,分离参数后可得对恒成立,令,则求出在上的最值即可得出结论.‎ ‎【详解】,则,‎ 因为函数在上单调递增,‎ 所以对恒成立,‎ 即对恒成立,‎ 因为,所以,‎ 则对恒成立,‎ 令,则,‎ 所以在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以,即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查恒成立问题,一般遇见此类含参问题时,常用分离参数法或者分类讨论法解决问题.‎ ‎20.已知曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)写出直线与曲线的普通方程;‎ ‎(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,过点作倾斜角为的直线交曲线于,两点,求.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对参数方程消参,即可得到其普通方程;‎ ‎(2)将伸缩变换变形为,代入曲线方程,即可得到曲线方程,再根据题意设出直线 的参数方程,将之代入曲线方程,最后利用韦达定理即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)对消去,可得直线的普通方程为:,‎ 对消去,可得曲线的普通方程为;‎ ‎(2)由得,‎ 代入曲线,得,即,‎ 则曲线的方程为,‎ 由题可设直线的参数方程为(为参数),‎ 将直线的参数方程代入曲线:,‎ 得 设对应的参数分别为,则,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化为普通方程,考查伸缩变换与直线参数方程几何意义的应用,需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用.‎ ‎21.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】(1):,:;(2),此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 试题解析: (1)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ 考点:坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.‎ ‎22.已知函数 .‎ ‎(1)求函数 的最大值;‎ ‎(2)设 ,且 ,证明: .‎ ‎【答案】(1)0;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意,求得函数的导数,利用导数得到函数的单调性,即可求解最大值.‎ ‎(2)由(1),把当-1<x<0时,g(x)<1等价于设f(x)>x,构造新函数h(x)=f(x)-x,利用导数得到函数的单调性和极值,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,求得.‎ 当x∈(-∞,0)时,>0,f(x)单调递增;‎ 当x∈(0,+∞)时,<0,f(x)单调递减.‎ 所以f(x)的最大值为f(0)=0. ‎ ‎(2)由(1)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1. ‎ 当-1<x<0时,g(x)<1等价于设f(x)>x.‎ 设h(x)=f(x)-x,则.‎ 当x∈(-1,-0)时,0<-x<1,0<<1,则0<<1,‎ 从而当x∈(-1,0)时,<0,h(x)在(-1,0)单调递减.‎ 当-1<x<0时,h(x)>h(0)=0,即g(x)<1.综上,总有g(x)<1.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.‎