甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二4月月考数学（文）试题 14页

兰州一中年高二年级月月考试卷数学文科 第Ⅰ卷（选择题共分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )‎ A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60°‎ C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.‎ ‎【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，‎ 反设是假设三内角都大于.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.‎ ‎2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不是正弦函数，故小前提错误.‎ ‎【详解】因为不是正弦函数,所以小前提不正确. 故选C.‎ ‎【点睛】演绎推理包含大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确时，我们得到的结论才是正确的，注意小前提是蕴含在大前提中的.‎ ‎3.曲线的中心在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.‎ ‎【详解】,即,‎ 将代入上式,得,‎ 因此曲线的标准方程为:,‎ 故其中心为,在第四象限,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关知识,属于基础题.‎ ‎4.已知曲线的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：设切点坐标，求出切线斜率，利用切线过原点求出切点坐标，从而得结论．‎ 详解：设切点为，则由得，又切线过原点，∴，解得，∴．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线在处的切线方程为，若求过点处的切线，则可设切点为，由切点得切线方程，再由切线过点，代入求得，从而得切线方程．‎ ‎5.已知函数的导函数,且满足，则＝(　　)‎ A B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．‎ ‎【详解】对函数进行求导，得把代入得，‎ 直接可求得．‎ ‎【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是是一个实数．‎ ‎6.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（ ）‎ A. 28 B. ‎76 ‎C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题观察可发现，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即,‎ 故选C. ‎ 考点：观察和归纳推理能力.‎ ‎7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好”；‎ 乙说：“我们四人中有人考的好”；‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；‎ 丁说：“我没考好”．‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是（）‎ A. 甲，丙 B. 乙，丁 C. 丙，丁 D. 乙，丙 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D．‎ 考点：合情推理．‎ ‎8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】依题意可设，所以.‎ 所以函数在上单调递增，又因为.‎ 所以要使，即，只需要，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围.‎ ‎【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.‎ 在上有解，则.‎ 因为，所以，所以的取值范围是.‎ 故答案为B ‎【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解，即得的取值范围.‎ ‎10.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设切点为则切线方程为，从而斜率解得所以的方程为即故选C.‎ ‎【点睛】‎ 解本题的关键之处有：‎ 利用函数与方程思想求得；‎ 解方程.‎ ‎11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎12.已知奇函数，则函数的最大值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求出时的最小值,再利用奇函数的性质得到时，的最大值,即为的最大值.‎ ‎【详解】由题知,时,,则,‎ 故时,,时,,‎ 因此在上单调递减,在上单调递增,‎ 故时,,‎ 又是奇函数,所以时,,‎ 因为时,,即,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,考查奇函数性质的应用,需要学生灵活应用基础知识.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察给出的3个例图,可知火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,即增加一个金鱼就增加6根火柴棒,最后结合图①的火柴棒的根数即可得出答案.‎ ‎【详解】由上图可知,图①火柴棒的根数为2+6=8,‎ 图②的火柴棒根数为,‎ 图③的火柴棒根数为,‎ 因此第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了从图形中找规律问题,体现了从特殊到一般的数学方法(归纳法),难度不大.‎ ‎14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ‎ ‎【答案】1：8‎ ‎【解析】‎ 考查类比的方法，，所以体积比为1∶8.‎ ‎15.与2的大小关系为________‎ ‎【答案】＞‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平方作差即可得出．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎＝13+2（13+4）‎ ‎0，‎ ‎∴2，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎16.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可.‎ ‎【详解】,则,‎ 若函数恰好有三个单调区间,‎ 则有两个不同的零点,‎ 即有两个不同的根,‎ 所以且,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设，，均为正数，且，证明：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式有,,,即,再将两边平方后化简,即可证明不等式成立.‎ ‎【详解】因为,,均为正数,‎ 则,,,‎ 即,‎ 当且仅当时，取等号 又由题设得,‎ 即,‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的应用,难度不大.‎ ‎18.已知函数，，讨论的单调性.‎ ‎【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导,然后根据的正负对的正负进行分情况讨论,进而得出的单调性.‎ ‎【详解】因为,所以,,‎ ‎(1)当时,,所以在上为单调递增函数;‎ ‎(2)当时,,则有 ‎①当时,,所以的单调递减区间为,‎ ‎②当时,,所以的单调递增区间为.‎ 综上所述,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间.‎ 当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性,难度不大.‎ ‎19.已知，若函数（为自然对数的底数）在上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先对求导,然后由函数在上单调递增,可知对恒成立,分离参数后可得对恒成立,令,则求出在上的最值即可得出结论.‎ ‎【详解】,则,‎ 因为函数在上单调递增,‎ 所以对恒成立,‎ 即对恒成立,‎ 因为,所以,‎ 则对恒成立,‎ 令,则,‎ 所以在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以,即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查恒成立问题,一般遇见此类含参问题时,常用分离参数法或者分类讨论法解决问题.‎ ‎20.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，过点作倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对参数方程消参,即可得到其普通方程;‎ ‎(2)将伸缩变换变形为,代入曲线方程,即可得到曲线方程,再根据题意设出直线 的参数方程,将之代入曲线方程,最后利用韦达定理即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)对消去,可得直线的普通方程为:,‎ 对消去,可得曲线的普通方程为;‎ ‎(2)由得,‎ 代入曲线,得,即,‎ 则曲线的方程为,‎ 由题可设直线的参数方程为(为参数),‎ 将直线的参数方程代入曲线:,‎ 得 设对应的参数分别为,则,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化为普通方程,考查伸缩变换与直线参数方程几何意义的应用,需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用.‎ ‎21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎22.已知函数 ．‎ ‎（1）求函数 的最大值；‎ ‎（2）设 ，且 ，证明： ．‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，求得函数的导数，利用导数得到函数的单调性，即可求解最大值．‎ ‎（2）由（1），把当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x，构造新函数h(x)＝f(x)－x，利用导数得到函数的单调性和极值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，求得．‎ 当x∈(－∞，0)时，＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈(0，＋∞)时，＜0，f(x)单调递减．‎ 所以f(x)的最大值为f(0)＝0． ‎ ‎（2）由（1）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1． ‎ 当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．‎ 设h(x)＝f(x)－x，则．‎ 当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜＜1，则0＜＜1，‎ 从而当x∈(－1，0)时，＜0，h(x)在(－1，0)单调递减．‎ 当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．综上，总有g(x)＜1．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎