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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高二下学期第三次月考数学(理)试题
一、单选题
1.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】复数的共轭复数为,共轭复数在复平面内对应的点为.
【详解】
复数的共轭复数为,
对应的点为,在第一象限.故选A.
【点睛】
本题考查共轭复数的概念,复数的几何意义.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A,,故错误;
B,,正确;
C,,故错误;
D,,故错误.
故选B.
点睛:常用求导公式:.
3.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C.2 D.4
【答案】D
【解析】直线与曲线的交点坐标为和,
故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积.故选.
4.设函数在处存在导数,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用在某点处的导数的定义来求解.
【详解】
,故选A.
【点睛】
本题主要考查在某点处导数的定义,一般是通过构造定义形式来解决,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
5.设,,则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若、皆是实数,则一定不是虚数,因此当是虚数时,则“、中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立;当、中至少有一个数是虚数,不一定是虚数,如,即充分性不成立,选B.
【考点】复数概念,充要关系
6.若有极大值和极小值,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】三次函数有极大值和极小值,则有两个不等的实数根,答案易求.
【详解】
,则.
因为有极大值和极小值,所以有两个不等的实数根.
所以,即,解得或.
所以所求的取值范围是.故选D.
【点睛】
本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.
7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0,
故点F到x±y=0的距离d=选B
8.如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是( )
A.在区间上是增函数 B.在上是减函数
C.在上是增函数 D.当时,取极大值
【答案】C
【解析】根据原函数与导函数的关系,由导函数的图象可知的单调性如下:在上为减函数,在(0,2)上为增函数,在(2,4)上为减函数,在(4,5)上为增函数,在的左侧为负,右侧为正,故在处取极小值,结合选项,只有选项C正确。
9.命题“且的否定形式是( )
A.且
B.或
C.且
D.或
【答案】D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选D.
【考点】命题的否定
10.在中,若,,,则的外接圆半径,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体中,若、、两两互相垂直,,,,则四面体的外接球半径( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四面体中,三条棱、、两两互相垂直,则可以把该四面体补成长方体,长方体的外接球就是四面体的外接球,则半径易求.
【详解】
四面体中,三条棱、、两两互相垂直,
则可以把该四面体补成长方体,,,是一个顶点处的三条棱长.
所以外接球的直径就是长方体的体对角线,则半径.
故选A.
【点睛】
本题考查空间几何体的结构,多面体的外接球问题,合情推理.由平面类比到立体,结论不易直接得出时,需要从推理方法上进行类比,用平面类似的方法在空间中进行推理论证,才能避免直接类比得到错误结论.
11.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先判断函数的奇偶性,将不等式化为,
再由函数的单调得到,求解即可得出结果.
【详解】
因为函数,
所以,因此函数为奇函数,
所以化为,
又在上恒成立,因此函数恒为增函数,
所以,即,解得.
故选A
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用,熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可,属于常考题型.
12.设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,结合,可得的关系式,再由可求离心率.
【详解】
由双曲线的定义得.
由,
结合已知条件可得,
则,所以.
所以双曲线的离心率.
故选B.
【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率的求解.在椭圆和双曲线的问题中,经常应用(为曲线上的点到两焦点的距离)进行变换,有时还可以与根与系数的关系、余弦定理等结合.由于关系式(双曲线)和(椭圆)的存在,求离心率时,往往只需求得中任意两个字母之间的关系即可.
二、填空题
13.已知,,,,则__________(其中).
【答案】
【解析】试题分析:第一个式子左边1个数的平方,右边从1开始,连续的2个整数相乘,再乘;第二个式子左边2个数的平方,右边从2开始,连续的2个整数相乘,再乘;第个式子左边个数的平方和,右边从开始,连续的2个数相乘,在乘,即为.
【考点】归纳推理的应用.
14.若函数,则的值为__________.
【答案】3
【解析】先求,把代入可得.
【详解】
,,,,故填3.
【点睛】
本题主要考查导数的运算,明确是一个常数是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
15.________
【答案】
【解析】因,而,,应填答案。
16.已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,,,分别为椭圆的左,右顶点和上顶点,为上一点,且轴,过点,的直线与直线交于点,若直线与线段交于点,且,则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】利用相似三角形的比例关系可得离心率.
【详解】
如图,因为轴,,所以,即;
同理,所以,因为,所以有;
联立可得,故离心率为.
【点睛】
本题主要考查椭圆的离心率的求解,主要是构建的关系式,侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题
17.已知:关于的不等式对一切恒成立;:函数在上是减函数.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】先求出为真时的范围,然后结合“或”为真,“且”为假,确定一真一假,从而可得结果.
【详解】
解:设
因为关于的不等式对一切恒成立,
所以函数的图像开口向上且与轴没有交点,
故,
所以,所以命题为真时.
函数是减函数,
则有,即.所以命题为真时 .
又由于或为真,且为假,可知和为一真一假.
①若真假,则此不等式组无解.
②若假真,则,所以.
综上可知,所求实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查利用复合命题的真假来求解参数的范围.侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
18.如图,在△ABC中,∠ABC=,∠BAC,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)确定图形在折起前后的不变性质,如角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明;(2)在(1)的基础上确定出三线两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量的坐标和向量的数量积运算求解.
(1)∵折起前AD是BC边上的高,
∴当△ABD折起后, AD⊥DC,AD⊥DB,
又,∴AD⊥平面BDC,
∵AD平面ABD,∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由∠BDC及(1)知DA,DB,DC两两垂直,不妨设|DB|=1,以D为坐标原点,以, , 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得:
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, ),E(,,0),
所以, ,
∴
所以与夹角的余弦值是.
19.已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)求函数的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由导数的几何意义求切线方程.
(2)利用导数判断函数的单调性,进而得到最小值.
【详解】
(1),
所以函数的图象在处的切线斜率.
又,切点坐标为,
所以函数的图象在处的切线方程为,即.
(2)函数的定义域为,
令,得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
所以函数的最小值为.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程,利用导数求最值.函数的图象在处的切线方程为.求连续可导函数 的最值时,先求导数,解方程,再讨论函数的单调性得出最值.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,且,是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程和离心率的值;
(2)若为椭圆上异于顶点的任一点,、分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:为定值.
【答案】(1)椭圆的标准方程为,离心率;(2)证明见详解.
【解析】【详解】
(1),,故.
∵点在椭圆上,∴.
解得(舍去)或
∴椭圆的标准方程为,离心率为.
(2)证明:由(1)知,,
设椭圆上任一点(且),则.
直线,令,得,
.
直线,令,得,
.
∴
.
由可得,代入上式得,
故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的综合问题,求椭圆的标准方程和离心率,椭圆中的定值问题.解决椭圆中的定值问题时,一般先设出变量,然后表示出目标量,逐步化简消去变量证明定值(或者令变量的系数为求出定值的条件).
21.已知函数,,其中且,为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)是否存在,对任意的,任意的,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是,,,无极小值;
当时,函数的单调递减区间是,,单调递增区间是,,无极大值.
(2)存在满足题意.
【解析】(1)求出导数,分和讨论函数的单调区间和极值.
(2)由题意可得,利用导数求出和,解关于的不等式即可.
【详解】
(1)(且).
当时,由可得且;由可得,
函数的单调递减区间是,单调递增区间是,,
,无极小值.
当时,由可得;由可得且,
函数的单调递减区间是,,单调递增区间是,
,无极大值.
综上,当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是,,,无极小值;
当时,函数的单调递减区间是,,单调递增区间是,,无极大值.
(2)由题意,只需.
由(1)知当,时,
函数在上单调递减,在上单调递增,
故.
,.
当,时,
由可得;由可得.
函数在上单调递增,在上单调递减,
.
故,不等式两边同乘以,得,
故.
,.
存在满足题意.
【点睛】
本题考查导数的综合运用问题,考查分类讨论、化归与转化的数学思想.对于含有参数的函数,若参数的不同取值对导函数的符号有影响,则需要对参数进行分类讨论.涉及任意性、存在性(或恒成立、能成立)的问题,一般可以转化为函数最值之间的关系,再利用导数求解.
22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)当与有两个公共点时,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)在极坐标方程中,把展开凑出,即可化得直角坐标方程.
(2)把的参数方程化成普通方程,可得是半圆,是直线,由有两个公共点可求出的取值范围.
【详解】
(1)对于曲线的极坐标方程,
可得,即,
曲线的直角坐标方程为.
(2)曲线的参数方程为(为参数,),
化为普通方程得,为下半圆.
如图,当直线与曲线相切时,由,
解得或(舍去).
当直线过点时,.
综上所述,实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程的综合问题,考查极坐标与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系.在极坐标方程中凑出, 即可化得直角坐标方程.
23.设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)把代入,利用分类讨论法去掉绝对值求解;
(2)先求的最小值,然后利用这个最小值不小于2可得实数的取值范围.
【详解】
解:(1)当时,不等式化为
当时,不等式为,即,有;
当时,不等式为,即,有;
当时,不等式为,即,有;
综上所述,当时,求不等式的解集为.
(2),即.
当时,不恒成立;
当时,,
有,即.
当时,
有,即.
综上所述,的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.