高中数学第四章 3_1 平面图形的面积 课件 15页

第四章 定积分 3.1 平面图形的面积 定积分的几何意义 （ 1 ）当 f(x) ≥0 时， 表示的是 y=f(x) 与 x=a, x=b 和 x 轴所围曲边梯形的面积。 （ 2 ）当 f(x) ＜ 0 时， y=f(x) 与 x=a, y=b 和 x 轴所围曲边梯形的面积为 复习回顾 -∏ ∏ 1 -1 y x o 例 1. 求如图所示阴影部分图形的面积。 分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； 一部分是 x 轴上方的图形的面积（记为 s 1 ） ; 另一部分是 x 轴下方图形的面积（记为 s 2 ） . 根据图像的性质： s 1 = s 2. 所以，所求阴影部分的面积是 4. . 例题分析 y=sin x y x o 思考： 求如下图形中阴影部分面积 y=sin x 例 2. 求抛物线 y=x 与直线 y=2x 所围成平面图形的面积。 2 o 2 x 4 y 求出曲线 y= 与直线 y=2x 的交点为（ 0 ， 0 ）和（ 2 ， 4 ）。 设所求图形的面积为 S ，根据图像可以看出 S 等于直线 y=2x ， x=2 以及 x 轴所围成平面图形的面积（设为 S 1 ）减去抛物线 y= ，直线 x=2 以及 x 轴所围成的图形的面积（设为 S 2 ）。 解 : 画出抛物线 y= 与直线 y=2x 所围成的平面图形，如图所示。 ∵ 小结： 求平面图形的面积的一般步骤 （ 1 ）根据题意画出图形； （ 2 ）找出范围，确定积分上、下限； （ 3 ）确定被积函数； （ 4 ）写出相应的定积分表达式； （ 5 ）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。 抽象概括： 一般地，设由曲线 y=f(x) ， y=g(x) 以及直线 x=a ， y=b 所围成的平面图形（如图 1 ）的面积 S ，则 y x o a b y=f(x) y=g(x) s y y=f(x) s y=g(x) a b o x x y o a b y=g(x) y=f(x) s 图 1 图 2 图 3 想一想： 上图中（ 2 ）、（ 3 ）满足上面的公式吗？ 例 3. 求曲线 x= 和直线 y=x-2 所围成的图形的面积。 x=1 s 1 s 2 y o x 4 2 1 2 -2 -1 1 y=x-2 x= 解：阴影部分面积 S=S 1 +S 2. S 1 由 y= ， y= - ， x=1 围成： S 2 由 y= ， y= x-2 ， x=1 围成： 解 两曲线的交点 o x y 解 : 求两曲线的交点 : 于是所求面积 说明： 注意各积分区间上被积函数的形式． 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤 : 1. 作图象 ; 2. 求交点的横坐标 , 定出积分上、下限 ; 3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置 ; 4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分 .