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- 2021-06-15 发布
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浙江名校协作体2020届高三上学期开学联考
数学
参考公式:
柱体的体积公式:,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高;
锥体的体积公式:,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高;
台体的体积公式:,其中,分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高;
球的表面积公式:,球的体积公式:,其中R表示球的半径;
如果事件A,B互斥,那么;
如果事件A,B相互独立,那么;
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的补集,然后求补集与的交集.
【详解】依题意可知,所以,故选C.
【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算,属于基础题.
2.设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若,则( )
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得,然后利用复数减法、除法、乘法的运算,化简所求表达式.
【详解】依题意,故,故选A.
【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念,考查复数乘法、除法、减法运算,属于基础题.
3.若函数的图象总在x轴上方,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数图像总在x轴上方,利用特殊点的函数值,求出正确选项.
【详解】由于二次函数图像总在x轴上方,故,化简得,故选D.
【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质,属于基础题.
4.已知,满足约束条件若恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
作出满足约束条件的可行域如图所示:
平移直线到点时,有最小值为
∵恒成立
∴,即
故选D
点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
5.已知函数,则下列结论正确的是
A. 是偶函数,递增区间是
B. 是偶函数,递减区间是
C. 是奇函数,递减区间是
D. 是奇函数,递增区间是
【答案】C
【解析】
将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=,画出函数f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
6.已知平面与平面交于直线l,且直线,直线,且直线a,b,l不重合,则下列命题错误的是( )
A. 若,,且与不垂直,则 B. 若,,则
C. 若,,且与不平行,则 D. 若,,则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面垂直、线面垂直有关定理,对四个选项逐一分析,由此得出命题错误的选项.
【详解】根据面面垂直的性质定理可知,A,B两个选项命题正确.对于C选项,根据线面垂直的判定定理可知平面,由于,所以,故C选项命题正确.对于D选项,命题不满足面面垂直的判定定理,可以不垂直,故D选项错误.综上所述,本小题选D.
【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直有关定理的运用,考查逻辑推理能力,属于基础题.
7.已知等比数列中,若,则( )
A. 4 B. 5 C. 16 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知化简,由此求得表达式的值.
【详解】依题意得,即,而
.
【点睛】本小题主要考查等比数列通项基本量计算,属于基础题.
8.已知a,b为实数,则“不等式对任意成立”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
将两者相互推导,根据相互推导的结果判断充分、必要性,由此得出正确选项.
【详解】当时,,令得即,令,,即,也即,故且.当“且”时,不妨设,此时对任意不恒成立.综上所述,“不等式对任意成立”“且”充分不必要条件,故选A.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查绝对值不等式,属于中档题.
9.已知正数a,b满足,则的最小值为( )
A. 12 B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解出,代入,然后利用基本不等式求得最小值.
【详解】由,得,依题意,这个方程有解,且
,故解得,所以.此时.故选C.
【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根,考查基本不等式求最小值,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
10.已知椭圆内有一定点,过点P的两条直线,分别与椭圆交于A、C和B、D两点,且满足,,若变化时,直线CD的斜率总为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设出四点的坐标,将两点坐标代入椭圆方程并化简,同理将两点坐标代入椭圆方程并化简,根据化简上述两个式子,由此求得的值,进而求得椭圆离心率.
【详解】设因为,且,所以,同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得,即,同理,由于,,所以,即,即
,两式相加得,即,所以,所以,故选A.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查定比分点坐标公式,考查点在曲线上的运用,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,考查椭圆离心率的求法,难度较大,属于难题.
二、填空题。
11.计算:______,______
【答案】 (1). 2 (2). 2
【解析】
【分析】
利用指数运算公式、对数运算公式对所求表达式进行化简.
【详解】(1)原式;
(2)原式.
【点睛】本小题主要考查指数运算公式,考查对数运算公式,考查运算求解能力,属于基础题.
12.设函数,则______,若,则实数x的取值范围是______
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算出,利用二倍角公式,结合一元二次不等式的解法,求得的取值范围.
【详解】依题意.,令,则函数变为,画出函数图像如下图所示,由图可知的解集为,即,解得.
【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值,考查二倍角公式,考查二次函数图像与性质,考查一元二次不等式的解法,考查三角不等式的解法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长的棱长等于______;该几何体的体积为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
根据三视图判断出组合体的结构特征,并由此计算出最长的棱长,并求得几何体的体积.
【详解】由三视图可知,该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合而成.其中半圆锥的母线长为,四棱锥的底面为正方形,且边长为,四条侧棱,其中两条长度为,另外两条长度为.所以几何体最长的棱长为.体积为.
【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查圆锥,棱锥体积计算,属于基础题.
14.已知点P在椭圆上,点Q,R分别在圆和圆上运动,若过点P存在直线l同时与两圆相切,这样的点P的个数为______;当点P在椭圆上运动,则的最大值为______
【答案】 (1). 6 (2). 6
【解析】
【分析】
画出图像,根据圆和圆公切线的情况,确定点的个数.将的最大值,转化为来求解.
【详解】椭圆,圆的圆心为,为椭圆的左焦点,半径为,圆的圆心为,为椭圆的右焦点,半径为.画出椭圆和圆的图像如下图所示,由图可知,两个圆外切,公切线为,这三条切线与椭圆相交于个点,当位于这个点时,过点P存在直线l同时与两圆相切. 的最大值为,根据椭圆的定义可知.
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质,考查两个圆外切的公切线,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
15.已知数列为等差数列,公差为,且满足,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式化简已知条件,化简后求得的值.
【详解】由于等差数列公差为,故由得
,依题意,故上式可化为,即.
【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.
16.已知的面积等于1,若,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,______
【答案】
【解析】
【分析】
设三条高分别为,根据面积计算出三条高,并将三条高的乘积的最大值问题,转化为最大来求解.
【详解】依题意可知,三条高分别为,根据三角形面积公式有,故,,而,即,所以.故当取得最大值时,三条高乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线,作的垂直平分线,交直线于.过上一点作圆,使圆经过三个点,由于由于圆外角小于圆周角,故此时取得最大值,也即取得最大值.在三角形中,,由余弦定理得,.
即三角形的三条高的乘积取最大值时.
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式,考查余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.
17.已知非零的平面向量满足,又平面向量满足,若,则的取值范围是______
【答案】
【解析】
分析】
设出三个向量的坐标,根据题目所给条件列方程或不等式,由此求得的取值范围.
【详解】由于,以为基底建立平面直角坐标系,设,,
.由,及得①,②,③.由①+②得,即.将①②代入③得,化简得,故.所以则的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查坐标法求向量模的取值范围,考查平面向量模的坐标运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.
三、解答题.
18.在中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角B的大小;
(2)求的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)用正弦定理化简已知条件转化为边的形式,再由余弦定理求得的值,进而求得的大小.(2)利用降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式,化简所求表达式,利用三角函数值域的求法,求得表达式的取值范围.
【详解】(1)由得到
即
所以,从而
(2)
因为
所以
所以
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式,考查三角函数值域的求法,属于中档题.
19.如图,四面体ABCD中,,,二面角的大小为,,.
(1)若,M是BC的中点,N在线段DC上,,求证:平面AMN;
(2)当BP与平面ACD所成角最大时,求的值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接,利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面平面,由此证得平面.(2)作出直线与平面
所成的角,根据所成角的最大值,求得的值.
【详解】(1)取DN的中点E,连接PE、BE.
,,PE、BE是平面AMN外两条相交直线,
所以平面平面AMN,
所以平面AMN.
(2)作与G,在平面DAC内作交AD于H,二面角的平面角为,因为,所以H为AD的中点,得是正三角形.
易得平面平面DAC,作,则为GH的中点,,
连接PI,根据面面垂直的性质定理,有平面.则是BP与平面ACD所成角.在中,,为定值,故当时,即最短时,取得最大值,取得最大,在中,,,故,,故.
【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质,考查线面角的作法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
20.已知等差数列与数列满足,,且的前n项和,.
(1)求,的通项公式;
(2)设的前n项和为,若,求n的最小值.
【答案】(1) ;; (2)10
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件求得的值,结合的值求得数列的通项公式.利用求得数列的通项公式.(2)利用裂项求和法求得的表达式,解不等式求得的最小值.
【详解】解:(1),所以,又,
所以
时,,此时,
又,所以.
(2),
所以,
得,n最小值为10.
【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算,考查已知求,考查裂项求和法,考查指数不等式的解法,属于中档题.
21.如图,过点作两条直线和l分别交抛物线于A,B和C,D(其中A,C位于x轴上方,l的斜率大于0),直线AC,BD交于点Q.
(1)求证:点Q在定直线上;
(2)若,求的最小值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
【分析】
(1)设出两点的坐标和直线的方程,将直线的方程代入抛物线方程,写出根于系数关系.洗出直线的方程,化简后求得点在直线上.(2)先求得,,根据以及,求得的表达式,利用换元法和基本不等式求得的最小值.
【详解】(1)设,,
代入得,所以.
,,
消y得,故点Q在上.
(2),,
因为,所以,
令,
则,当时取到.
【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题,考查直线和直线交点的求法,考查利用换元法和基本不等式求最值,考查运算求解能力,属于中档题.
22.已知,.
(1)若在恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若,,求证:.
【答案】(1) ; (2)见证明
【解析】
【分析】
(1)化简不等式,分离常数,构造函数,利用导数求得的最大值,由此求得的取值范围.(2)将所要证明的不等式转化为,根据(1)的结论得到,由此证得,根据基本不等式得到的取值范围,由此对放大后,利用配方法,结合二次函数的性质证得.
【详解】解:(1)在恒成立,当在恒成立.
令,则,
令,则在恒成立,
所以在内,所以在内,
所以在内递增,所以在内,所以.
(2)即证
由(1)知,即,
所以,,所以,
,所以.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查分离常数法和构造函数法,考查化归与转化的数学思想方法,考查放缩法以及利用配方法结合二次函数性质求最值,综合性很强,属于难题.