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- 2021-06-15 发布
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理科数学
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
2.若复数,则( )
A.0 B.2 C. D.
3.已知向量与不共线,且,则下列结论中正确的是( )
A.向量与垂直 B.向量与垂直
C.向量与垂直 D.向量与共线
4.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第个儿子的年龄为,则( )
A.17 B.29 C.23 D.35
5.设,则( )
A. B. C. D.
6.如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为( )
A. B. C. D.
7.已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
8.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况,关于这5次统计,下列说法正确的是( )
A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年
B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台
C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台
D.从2017年开始,我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%
9.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积( ).
A.6 B.4 C. D.
10.已知函数,设函数,函数的导函数为,则函数的图像大致为( )
A. B.C.D.
11.在三棱锥中,,,,,若该三棱锥的体积为,则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C.π D.
12.已知线段是过抛物线的焦点F的一条弦,过点A(A在第一象限内)作直线垂直于抛物线的准线,垂足为C,直线与抛物线相切于点A,交x轴于点T,给出下列命题:
(1);
(2);
(3).
其中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数,则的值是______.
14.若的展开式中第四项为常数项,则n= .
15.已知双曲线的左、右顶点分别为、,点在双曲线上,若,则双曲线的焦距为_________.
16.若函数不存在零点,则的取值范围是______.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.
(Ⅰ)证明://平面BCE.
(Ⅱ)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.
18.(本小题满分12分)
已知数列满足:,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:,求数列的通项公式.
19.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆上顶点为A,右焦点为F,直线与圆相切,其中.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,证明:动直线l过定点,并且求出该定点坐标.
20.(本小题满分12分)
某校高三男生体育课上做投篮球游戏,两人一组,每轮游戏中,每小组两人每人投篮两次,投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组,小明、小亮投篮投进的概率分别为.
(Ⅰ)若,,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率;
(Ⅱ)若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次,则理论上至少要进行多少轮游戏才行?并求此时的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中m为常数,且是函数的极值点.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)
以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为:,曲线C2的参数方程为:(为参数,),点N的极坐标为.
(Ⅰ)若M是曲线C1上的动点,求M到定点N的距离的最小值;
(Ⅱ)若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点,求正数的取值范围.
23.(本小题满分10分)
记函数的最小值为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若正数,,满足,证明:.