福建省福州市师范大学附中2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 22页

福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试高三数学（理科）‎ 试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，且与垂直，∴，即，‎ ‎∴，∴，∴与的夹角为．‎ 故选．‎ ‎3.已知，，，则，，的大小关系是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由函数在上是增函数可得，再由，故．‎ 故选A.‎ ‎4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ）‎ A. 1．5尺 B. 2．5尺 C. 3．5尺 D. 4．5尺 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，，可得，，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．‎ ‎【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，‎ 是其前项和，‎ 则，所以，‎ 由题知，所以，‎ 所以公差，所以，故选B ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.‎ ‎【考点】充要关系 ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：‎ ‎①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎6.若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.‎ ‎【详解】解：∵，‎ 则 ‎,‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.‎ ‎7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数的图像关于轴对称可得为偶函数，故排除CD，再根据在内恒为正可得正确选项.‎ ‎【详解】因为的图像关于轴对称，故为偶函数，‎ 对于C，，‎ 故该函数为奇函数，不符合，故C错；同理D错.‎ 对于A，令，‎ 故为偶函数，当时，令，则，‎ 取，则在为正，这与图像符合.‎ 对于D，同理可判断为偶函数，‎ 当时，令，则，这与图像不符合.‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数．‎ ‎8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有，正五边形内角，，已知三角函数值有 ‎，所以，从而．‎ ‎【详解】由题可知，且，，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.‎ ‎9.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是 （）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，由变形得再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系即可.‎ ‎【详解】如图，可行域为△ABC.当时，符合题意；当时，由变形得，可知，得；当时，由变形得，可知，得一2