新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-3 三角函数的叠加及其应用 课件（71张） 71页

2.3　三角函数的叠加及其应用 必备知识·自主学习 辅助角公式:asin x+bcos x= ·sin(x+φ)(或asin x+bcos x= · cos(x-φ)),其中sin φ= ,cos φ= (或cos φ= , sin φ= ). 2 2a b＋ 2 2a b＋ 2 2 a a b＋2 2 b a b＋ 2 2 a a b＋ 2 2 b a b＋ 【思考】 1.辅助角公式是如何推导出来的? 提示:推导过程:asin x+bcos x= ,令cos φ= ,sin φ= ,则asin x+bcos x= (sin xcos φ+cos x sin φ)= sin(x+φ). 2 2 2 2 2 2 a ba b ( sin x cos x) a b a b ＋ ＋ ＋ 2 2 a a b＋ 2 2 b a b＋ 2 2a b＋ 2 2a b＋ 2.形如 sin α±cos α的式子通常如何变形? 提示: sin α±cos α=2（ ） =2sin . 3 3 3 1sin cos2 2    ( )6   【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.(　　) (2)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°.(　　) (3)tan = .(　　) (4)2sin 35°-3cos 35°= sin(35°+φ)(其中tan φ=- ).(　　) ( )2  ＋ tan tan2 1 tan tan2    g ＋ － 13 2 3 提示:(1)×.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立. (2)√.因为sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24° =sin 54°cos 24°-cos 54°sin 24°=sin(54°-24°) =sin 30°,故原式正确. (3)×.tan 无意义,应用两角和与差的正切公式时一定要注意α,β≠ kπ+ (k∈Z)这一条件. (4)×.tan φ=- . 2  2  3 2 2.若0<α<β< ,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,则(　　) A.a>b　　　B.a2 【解析】选B.a= sin ,b= sin .因为f(x)= sin 在 上是增函数,0<α<β< ,所以f(α)0,α∈(0,π),所以sin α>0. 所以sin α= ,所以tan α= . 所以tan β=tan[α-(α-β)] = ; tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] = =2. 4 5 2 24 31 cos 1 )5 5 － ＝ －( ＝ 3 sin 35 4cos 4 5  ＝ ＝ 3 1 tan tan( ) 24 2 3 11 tan tan( ) 111 4 2       g －－ － ＝＋ － ＋ 3 1 tan tan( ) 4 2 3 11 tan tan( ) 1 4 2       g ＋＋ － ＝－ － － 3.因为0<α< ,cos α= ,所以sin α= . 又因为0<β< ,所以0<α+β<π.因为sin(α+β)= 0,所以α- 也为锐角,所以 1sin( )6 3 － ＝ 6  2 1 2 2cos( ) 1 sin ( ) 16 6 9 3 2 2 3 1 1 2 6 1cos cos[( ) cos( ) cos sin( )sin .6 6 6 6 6 6 3 2 3 2 6               － ＝ － － ＝ － ＝ ， －＝ － ＋ ]＝ － － － ＝ － ＝ 3.已知 ,则tan α=________. 【解析】因为 ,所以 ,解得tan α= . 答案: 5 1tan( )4 5 － ＝ 5 1tan( ) tan( )4 4 5   － ＝ － ＝ tan 1 1 1 tan 5   － ＝＋ 3 2 3 2 【补偿训练】 　　　已知tan(α+β)=3,tan =2,那么tan β=________. 【解析】 =2,则tan α= ,又tan(α+β)= =3, 所以tan β= . 答案: ( )4 ＋ 1 tantan( )4 1 tan    ＋＋ ＝ － 1 3 tan tan 1 tan tan     ＋ － 4 3 4 3 4.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________. 【解析】由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+ 2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1即2+2sin αcos β +2cos αsin β=1, 所以sin(α+β)=- . 答案:- 1 2 1 2 5.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值 为________. 【解析】因为cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,所以α+β=kπ+ ,k∈Z, 所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1. 答案:±1 2  6.已知tan =2,tan β= , 求 的值. ( )4  ＋ 1 2 sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( )         ＋ － ＋ ＋ 【解析】由 解得tan α= . 所以 =tan(β-α)= 1 tantan( ) 24 1 tan    ＋＋ ＝ ＝ ，－ 1 3 sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( )         ＋ － ＋ ＋ sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos sin( ) 2sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos( )                         ＋ － － －＝ ＝ ＝＋ － ＋ － tan tan 1 tan tan     － ＋ 1 1 12 3 .1 1 71 2 3  － ＝ ＝ ＋ 能力进阶—水平二(30分钟　60分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α= (　　) A.0 B. C. D.13 1 2 【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos αcos β-sin αsin β =sin αcos β-cos αsin β,所以cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β +sin β).因为α,β均为锐角,所以sin β+cos β≠0,所以cos α=sin α, 所以tan α=1. 2.若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以 是 (　　) A.(0 ) B.( )4 4 2 3 3C.( ) D.( )2 4 4        ， ， ， ， 【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ) 则sin(a-φ)=±1, 所以a-φ=kπ+ ,k∈Z,即a=kπ+ +φ,k∈Z, 而tan φ= 且0<φ< ,所以 <φ< , 所以kπ+ 0,所以α∈ . tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= 因为tan β=- ,β∈(0,π), 1 2 1 7 tan( ) tan 1 tan( )tan       － ＋ － － 1 1 12 7 .1 1 31 ( )2 7  － ＝ ＝ － － (0 )2 ， 1 1 tan tan( ) 3 2 =1.1 11 tan tan( ) 1 3 2        ＋＋ － ＝－ － － 1 7 所以β∈ ,所以α-β∈(-π,0). 由tan(α-β)= >0,得α-β∈ , 所以2α-β∈(-π,0). 又tan(2α-β)=1,所以2α-β=- . 1 2 ( )2  ， ( )2 － ，－ 3 4  【创新迁移】 (1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为 (　　) A.16 B.8 C.4 D.2 【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式 及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2, 故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.