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- 2021-06-15 发布
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数学(文科)试卷
(满分150分,答题时间120分钟)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设,则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合,,,则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3. 已知,,则( )
A. B. C. D.
4. 2019年10月1日,为了庆祝中华人民共和国成立周年,小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”,为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了问话,得到回复如下:
小明说:“鸿福齐天”是我制作的;
小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的;
小金说:“兴国之路”不是我制作的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“鸿福齐天”的制作者是( )
A.小明 B.小红 C. 小金 D.小金或小明
5. 函数在上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6. 为了了解公司名员工对公司食堂组建的需求程度,将这些员工编号为,对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取人征求意见,有下述三个结论:
①若号员工被抽到,则号员工也会被抽到;
②若号员工被抽到,则到号的员工中被抽取了人;
③若号员工未被抽到,则号员工一定未被抽到.
其中正确的结论个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知向量,若,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 若,则( )
A. B. C. D.
9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决.例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,则图中空白框中应填入( )
A. B.
C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为,点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,且的面积是的倍,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
11. 在中,角所对的边分别为.若时,则的面积为( )
A. B. C. D.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点,在椭圆上,其中,若,,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分
13. 曲线在处的切线方程为 .
14. 设为正项等比数列的前项和,若,则 .
15. 函数在上的值域为 .
16. 已知四棱锥中的外接球的体积为,平面,四边形
为矩形,点在球的表面上运动,则四棱锥体积的最大值为 .
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.
求的值;
求地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数;
不经过计算,直接给出地区家实体店经济损失的平均数与的大小关系.
18. 记为等差数列的前项和,且.
求数列的通项公式以及前项和;
记数列的前项和为,求满足的最小正整数的值.
19. 四棱锥如图所示,其中四边形是直角梯形,平面与交于点,直线与平面所成角的余弦值为,点在线段上.
若直线平面,求的值;
若,求点到平面的距离.
20. 已知函数
判断函数在上的单调性;
若,求证:当时,
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上.
若线段的中点坐标为,求直线的斜率;
若三点共线,直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上。
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;
若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
23.选修4-5:不等式选讲
已知.
求证:.
若,求证:.
文科数学参考答案和评分标准
一、选择题
1.【答案】
【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意,,故,故选.
2. 【答案】
【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算,考查推理论证能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意,,则,故,则的元素个数为,故选 .
3.【答案】
【命题意图】本题考查指对数的大小比较,考查推理论证能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意,故选.
4. 【答案】
【命题意图】本题考查推理与证明,考查推理论证能力以及分类讨论思想.
【解析】依题意,三个人制作的所有情况如下所示:
鸿福齐天
小明
小明
小红
小红
小金
小金
国富民强
小红
小金
小金
小明
小红
小明
兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
若小明的说法正确,则均不满足;若小红的说法正确,则满足;若小金的说法正确,则满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红,故选.
5. 【答案】
【命题意图】本题考查函数的图像与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想.
【解析】依题意,,故函数为偶函数,
图像关于轴对称,排除;而,排除,排除.故选.
6. 【答案】
【命题意图】本题考查系统抽样,考查数学建模能力以及必然与或然思想.
【解析】依题意,将这人分为组,每组人,即分段间隔为;因为,故①正确;
若号员工被抽到,则到号的员工中被抽取的号码为.共计人,故②错误;若号员工未被抽到,则号员工可能被抽到,故③错误.故选.
7. 【答案】
【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】依题意,,而,即,解得,则,故选.
8. 【答案】
【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】,,故选.
9. 【答案】
【命题意图】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归与转化思想.
【解析】程序框图是为了计算个数的方差,即输出的,观察可知,选.
10. 【答案】
【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离,故,因为的面积是的倍,故,不妨设,则直线,故.而,则,则.即,故,故选.
11. 【答案】
【命题意图】本题考查解三角形,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】因为,且,解得,,而,
,所以,,故
因为,,故,故,故选.
12. 【答案】
【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】设,由知,由在椭圆上,可知四边形为矩形,; 由,可得
由椭圆的定义可得,平方相减可得,
所以,而,即,
由,可得,由,
可得.所以,所以,故选
二、填空题
13. 【答案】
【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】依题意,,故.故所求切线方程为.
14. 【答案】
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式.前项和公式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】记数列的公比为,显然,则,解得;而,故,故,解得,故
15. 【答案】
【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】依题意,,当时,
故,故
16. 【答案】
【命题意图】本题考查组合体与球,考查空间想象能力以及数形结合思想.
【解析】依题意,,将四棱锥补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为,且,由于,又,当且仅当时等号成立,此时,,要使得四棱锥的体积最大,只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点,又,故体积的最大值为.
三、解答题
17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征,考查运算求解能力以及必然与或然思想.
【解析】依题意.,
解得.
由图可知,地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为,
第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,
故所求中位数在之间,故所求中位数为
18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前项和公式、等比数列的前项和公式.考查运算求解能力以及函数与方程思想.
【解析】记数列的公差为,
故,
故,
依题意,
当时,
当时,
当时,
当时,
当时,,,所以
19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.
【解析】连接.
因为,故
设,得
因为平面,平面平面平面,
故,故
在平面内作于点,
因为平面,所以,
又,得平面 .
因为平面,所以.
又,所以平面.
因为直线与平面所成角的余弦值为
即
又,故
则,而,得
,即点到平面的距离为
20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.
【解析】依题意,
令,则,
故当时,,当时,
故,故在上恒成立,
故,
即函数在上单调递减.
依题意,
下面证明:①当时,;②当时,;
事实上,,则,所以在上单调递增,
故,则,
又,则
令,则
由,得的极小值点为.若.则
则,故,
若,即,则在上单调递减.故.
综上所述,当时,,
则,
21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.
【解析】设.则,
两式相减,可得
即
解得,即直线的斜率为
显然直线的斜率不为,设直线,
联立,消去整理得,
显然,故
故的面积
令,其中
22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义,考查推理论证能力以及数形结合思想.
【解析】依题意,曲线即,
故,即
因为,故,
即,即.
将,代入,得,
将,代入,得,
由,得.即
解得.则
又,故,
故的面积
23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,考查推理论证能力以及化归与转化思想.
【解析】要证
即证,
即证,
即证,
即证,
即证,
该式显然成立,当且仅当时等号成立,
故
由基本不等式得
,
当且仅当时等号成立.
将上面四式相加,可得,
即.