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  • 2021-06-15 发布

山西省大同市2020届高三模拟考试数学(文)

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数学(文科)试卷 ‎(满分150分,答题时间120分钟) ‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 已知集合,,,则的元素个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 2019年10月1日,为了庆祝中华人民共和国成立周年,小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”,为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了问话,得到回复如下:‎ 小明说:“鸿福齐天”是我制作的;‎ 小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的;‎ 小金说:“兴国之路”不是我制作的.‎ 若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“鸿福齐天”的制作者是( )‎ A.小明 B.小红 C. 小金 D.小金或小明 ‎5. 函数在上的图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6. 为了了解公司名员工对公司食堂组建的需求程度,将这些员工编号为,对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取人征求意见,有下述三个结论:‎ ‎①若号员工被抽到,则号员工也会被抽到;‎ ‎②若号员工被抽到,则到号的员工中被抽取了人;‎ ‎③若号员工未被抽到,则号员工一定未被抽到.‎ 其中正确的结论个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 已知向量,若,则与夹角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决.例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,则图中空白框中应填入( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为,点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,且的面积是的倍,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11. 在中,角所对的边分别为.若时,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点,在椭圆上,其中,若,,则椭圆的离心率的取值范围为( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分 ‎13. 曲线在处的切线方程为 .‎ ‎14. 设为正项等比数列的前项和,若,则 .‎ ‎15. 函数在上的值域为 .‎ ‎16. 已知四棱锥中的外接球的体积为,平面,四边形 为矩形,点在球的表面上运动,则四棱锥体积的最大值为 .‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. 由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示. ‎ 求的值;‎ 求地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数;‎ 不经过计算,直接给出地区家实体店经济损失的平均数与的大小关系.‎ ‎18. 记为等差数列的前项和,且.‎ 求数列的通项公式以及前项和;‎ 记数列的前项和为,求满足的最小正整数的值. ‎ ‎19. 四棱锥如图所示,其中四边形是直角梯形,平面与交于点,直线与平面所成角的余弦值为,点在线段上.‎ 若直线平面,求的值;‎ 若,求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知函数 判断函数在上的单调性;‎ 若,求证:当时,‎ ‎21. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上.‎ 若线段的中点坐标为,求直线的斜率;‎ 若三点共线,直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上。‎ 22. 选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;‎ 若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知.‎ 求证:.‎ 若,求证:.‎ 文科数学参考答案和评分标准 一、选择题 ‎1.【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意,,故,故选.‎ ‎2. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算,考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意,,则,故,则的元素个数为,故选 .‎ ‎3.【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查指对数的大小比较,考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意,故选.‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查推理与证明,考查推理论证能力以及分类讨论思想.‎ ‎【解析】依题意,三个人制作的所有情况如下所示:‎ 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路 小金 小红 小明 小金 小明 小红 若小明的说法正确,则均不满足;若小红的说法正确,则满足;若小金的说法正确,则满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红,故选.‎ ‎5. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查函数的图像与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意,,故函数为偶函数,‎ 图像关于轴对称,排除;而,排除,排除.故选.‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查系统抽样,考查数学建模能力以及必然与或然思想.‎ ‎【解析】依题意,将这人分为组,每组人,即分段间隔为;因为,故①正确;‎ 若号员工被抽到,则到号的员工中被抽取的号码为.共计人,故②错误;若号员工未被抽到,则号员工可能被抽到,故③错误.故选.‎ ‎7. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意,,而,即,解得,则,故选.‎ ‎8. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】,,故选.‎ ‎9. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】程序框图是为了计算个数的方差,即输出的,观察可知,选.‎ ‎10. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离,故,因为的面积是的倍,故,不妨设,则直线,故.而,则,则.即,故,故选.‎ ‎11. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查解三角形,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】因为,且,解得,,而,‎ ‎,所以,,故 因为,,故,故,故选.‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】设,由知,由在椭圆上,可知四边形为矩形,; 由,可得 由椭圆的定义可得,平方相减可得,‎ 所以,而,即,‎ 由,可得,由,‎ 可得.所以,所以,故选 二、填空题 ‎13. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意,,故.故所求切线方程为. ‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式.前项和公式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】记数列的公比为,显然,则,解得;而,故,故,解得,故 ‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质,考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意,,当时,‎ ‎ 故,故 ‎ ‎16. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查组合体与球,考查空间想象能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意,,将四棱锥补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为,且,由于,又,当且仅当时等号成立,此时,,要使得四棱锥的体积最大,只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点,又,故体积的最大值为.‎ 三、解答题 ‎17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征,考查运算求解能力以及必然与或然思想.‎ ‎【解析】依题意.,‎ 解得.‎ 由图可知,地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为,‎ 第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,‎ 故所求中位数在之间,故所求中位数为 ‎18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前项和公式、等比数列的前项和公式.考查运算求解能力以及函数与方程思想. ‎ ‎【解析】记数列的公差为,‎ 故, ‎ 故,‎ 依题意,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,,,所以 ‎19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】连接.‎ 因为,故 设,得 因为平面,平面平面平面,‎ 故,故 在平面内作于点,‎ 因为平面,所以,‎ 又,得平面 .‎ 因为平面,所以.‎ 又,所以平面.‎ 因为直线与平面所成角的余弦值为 即 又,故 则,而,得 ‎,即点到平面的距离为 ‎20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.‎ ‎【解析】依题意,‎ 令,则,‎ 故当时,,当时,‎ 故,故在上恒成立,‎ 故,‎ 即函数在上单调递减.‎ 依题意,‎ 下面证明:①当时,;②当时,;‎ 事实上,,则,所以在上单调递增,‎ 故,则,‎ 又,则 令,则 由,得的极小值点为.若.则 则,故,‎ 若,即,则在上单调递减.故.‎ 综上所述,当时,,‎ 则,‎ ‎21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式,考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】设.则,‎ 两式相减,可得 即 解得,即直线的斜率为 显然直线的斜率不为,设直线,‎ 联立,消去整理得,‎ 显然,故 故的面积 令,其中 ‎22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义,考查推理论证能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意,曲线即,‎ 故,即 因为,故,‎ 即,即.‎ 将,代入,得,‎ 将,代入,得,‎ 由,得.即 解得.则 又,故,‎ 故的面积 ‎23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】要证 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证,‎ 即证, ‎ 该式显然成立,当且仅当时等号成立,‎ 故 由基本不等式得 ‎,‎ 当且仅当时等号成立.‎ 将上面四式相加,可得,‎ 即.‎

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