【数学】2018届一轮复习人教A版第53讲异面直线所成的角的求法学案 7页

【知识要点】 一、异面直线的定义：直线 是异面直线，经过空间任意一点 ，分别引直线 ∥ , ∥ , 我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 和 所成的角. 二、异面直线所成的角的范围： 三、异面直线所成的角的求法 方法一：（几何法）找 作（平移法、补形法） 证（定义） 指 求（解三角形） 方法二：（向量法） ，其中 是异面直线 所成的角， 分别是 直线 的方向向量. 四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再 利用解三角形的知识解答. 五、温馨提示 如果你解三角形得到的角 的余弦是一个负值，如 ，你不能说两条异面直 线所成的角为 ，你应该说两条异面直线所成的角为 ，因为两条异面 直线所成的角的范围为 . 【方法讲评】 方法一 几何法 使用情景 图形中两条异面直线所成的角本身就存在或很方便就能作出. 解题步骤 找 作（平移法、补形法） 证（定义） 指 求（解三角形） 【例 1】 如下左图，在 中， ， ， 是 上的 高，沿 将 折成 的二面角 ，如下右图. ,a b O 1a a 1b b 1a 1b a b (0, ]2 πα ∈ → → → → cos m n m n α • =     α ,m n ,m n  ,m n α 1cos 2 α = − 0120 0 0 0180 120 60− = (0, ]2 πα ∈ → → → → Rt ABC∆ 060ABC∠ = 090BAC∠ = AD BC AD ABC∆ 060 B AD C− − （1）证明：平面 平面 ； （2）设 为 的中点， ，求异面直线 和 所成的角的大小. 【解析】（1）因为折起前 是 边上的高，则当 折起后， ， ，又 ，则 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 . 【点评】（1）本题中异面直线 与 所成的角可以通过平移的方法作出， 为异面直线 与 所成的角.再利用余弦定理解 即得. （2）利用几何法求异面直 线所成的角，经常要解直角三角形或斜三角形，所以要用到直角三角函数或正余弦定理. 【反馈检测 1】如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， 底面 ， ， 为 的中点． （1）求异面直线 与 所成的角； P ABCD− PD ⊥ ABCD PD CD= E PB PA DE ABD ⊥ BCD E BC 2BD = AE BD AD BC ABD∆ AD CD⊥ AD BD⊥ CD BD D= AD ⊥ BCD AD ⊂ ABD ABD ⊥ BCD AE BD AEF∠ AE BD AEF∆ （2）在底边 上是否存在一点 ，使 平面 ？证明你的结论． 方法二 向量法 使用情景 图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求两条直线 对应的的向量 的坐标 代 入公式 写出两条异面直线所成角 的大小. 学 【例 2】如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，侧面 是边长为 的等边三角形，点 是 的中点，且平面 平面 ． （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）若点 在线段 上移动，是否存在点 使平面 与平面 所成的角为 ？若存在，指出点 的位置，否则说明理由． （Ⅰ） ， ， 则 ， ， 设异面直线 与 所成角为 , 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 AD F EF ⊥ PBC ( 3,2, 3)PD = − (0,1, 3)AC = − 3 4 3 10PD = + + = 1 3 2AC = + = 2 3 1PD AC⋅ = − = −  θ 1 10cos 202 10 PD AC PD AC θ ⋅ −= = =     10 20 → ,m n ,m n  → cos m n m n α • =     → α P ABCD− ABCD 60ABC∠ =  PBC 2 E PC PBC ⊥ ABCD PD AC F PC F BFD APC 90 F PD AC PD AC 故 ，即 ，此时 ，点 在 延长线上，所以，在 边上 不存在点 使平面 与平面 所成的角为 【点评】（1）异面直线 与 所成角要作出不是很方便，所以可以建立空间直角坐 标系借助向量法解答.(2)对于异面直线所成的角的求法并不是绝对的，是相对的.只是简单 和复杂的问题，所以我们要提高自己的选择能力,提高解题效率. 【反馈检测 2】四棱锥 中，侧棱 ，底面 是直角 梯形， ，且 ， 是 的中点． （Ⅰ）求异面直线 与 所成的角； 1 01 λ λ + =− 1λ = − ( 2 3, 1, 0)E − F CP F BFD PC APC 90 PD AC P ABCD− PD ABCD⊥ 底面 ABCD // ,AB DC AD DC⊥ 1, 2AB AD PD DC= = = = E CD AE PC （Ⅱ）线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由． PB Q PC ADQ⊥ 平面 QB PB 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 53 讲： 异面直线所成的角的求法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1） ；（2）存在点 为 的中点，使 平面 ，理由见 解析． （2）存在点 为 的中点，使 平面 ， 证明：取 的中点 ，连结 ． 因为 ，则 ．① 因为 底面 ，则 ． 因为底面 为正方形，则 ． 所以 平面 ，从而 ．② 结合①②知 平面 ． 因为 分别是 的中点，则 ， 从而 ，四边形 为平行四边形，所以 ．故 平面 ． F AD EF ⊥ PBC F AD EF ⊥ PBC PC H ,DH EH PD CD= DH PC⊥ PD ⊥ ABCD PD BC⊥ ABCD CD BC⊥ BC ⊥ PCD BC DH⊥ DH ⊥ PBC E F、 PB AD、 1 1/ / , / /2 2FD BC EH BC / /FD EH EFDH / /EF DH EF ⊥ PBC 90 【反馈检测 2 答案】（Ⅰ） （Ⅱ） . 【反馈检测 2 详细解析】 以 为坐标原点，分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 . 060 3= QB PB D 1, ,DA DC DD   x y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 0,1,0D A B C P E