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  • 2021-06-15 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第53讲异面直线所成的角的求法学案

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【知识要点】 一、异面直线的定义:直线 是异面直线,经过空间任意一点 ,分别引直线 ∥ , ∥ , 我们把直线 和 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 和 所成的角. 二、异面直线所成的角的范围: 三、异面直线所成的角的求法 方法一:(几何法)找 作(平移法、补形法) 证(定义) 指 求(解三角形) 方法二:(向量法) ,其中 是异面直线 所成的角, 分别是 直线 的方向向量. 四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想,就是把空间的角转化为平面的角,再 利用解三角形的知识解答. 五、温馨提示 如果你解三角形得到的角 的余弦是一个负值,如 ,你不能说两条异面直 线所成的角为 ,你应该说两条异面直线所成的角为 ,因为两条异面 直线所成的角的范围为 . 【方法讲评】 方法一 几何法 使用情景 图形中两条异面直线所成的角本身就存在或很方便就能作出. 解题步骤 找 作(平移法、补形法) 证(定义) 指 求(解三角形) 【例 1】 如下左图,在 中, , , 是 上的 高,沿 将 折成 的二面角 ,如下右图. ,a b O 1a a 1b b 1a 1b a b (0, ]2 πα ∈ → → → → cos m n m n α • =     α ,m n ,m n  ,m n α 1cos 2 α = − 0120 0 0 0180 120 60− = (0, ]2 πα ∈ → → → → Rt ABC∆ 060ABC∠ = 090BAC∠ = AD BC AD ABC∆ 060 B AD C− − (1)证明:平面 平面 ; (2)设 为 的中点, ,求异面直线 和 所成的角的大小. 【解析】(1)因为折起前 是 边上的高,则当 折起后, , ,又 ,则 平面 .因为 平面 ,所以平面 平面 . 【点评】(1)本题中异面直线 与 所成的角可以通过平移的方法作出, 为异面直线 与 所成的角.再利用余弦定理解 即得. (2)利用几何法求异面直 线所成的角,经常要解直角三角形或斜三角形,所以要用到直角三角函数或正余弦定理. 【反馈检测 1】如图,四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形, 底面 , , 为 的中点. (1)求异面直线 与 所成的角; P ABCD− PD ⊥ ABCD PD CD= E PB PA DE ABD ⊥ BCD E BC 2BD = AE BD AD BC ABD∆ AD CD⊥ AD BD⊥ CD BD D= AD ⊥ BCD AD ⊂ ABD ABD ⊥ BCD AE BD AEF∠ AE BD AEF∆ (2)在底边 上是否存在一点 ,使 平面 ?证明你的结论. 方法二 向量法 使用情景 图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求两条直线 对应的的向量 的坐标 代 入公式 写出两条异面直线所成角 的大小. 学 【例 2】如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, ,侧面 是边长为 的等边三角形,点 是 的中点,且平面 平面 . (Ⅰ)求异面直线 与 所成角的余弦值; (Ⅱ)若点 在线段 上移动,是否存在点 使平面 与平面 所成的角为 ?若存在,指出点 的位置,否则说明理由. (Ⅰ) , , 则 , , 设异面直线 与 所成角为 , 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 AD F EF ⊥ PBC ( 3,2, 3)PD = − (0,1, 3)AC = − 3 4 3 10PD = + + = 1 3 2AC = + = 2 3 1PD AC⋅ = − = −  θ 1 10cos 202 10 PD AC PD AC θ ⋅ −= = =     10 20 → ,m n ,m n  → cos m n m n α • =     → α P ABCD− ABCD 60ABC∠ =  PBC 2 E PC PBC ⊥ ABCD PD AC F PC F BFD APC 90 F PD AC PD AC 故 ,即 ,此时 ,点 在 延长线上,所以,在 边上 不存在点 使平面 与平面 所成的角为 【点评】(1)异面直线 与 所成角要作出不是很方便,所以可以建立空间直角坐 标系借助向量法解答.(2)对于异面直线所成的角的求法并不是绝对的,是相对的.只是简单 和复杂的问题,所以我们要提高自己的选择能力,提高解题效率. 【反馈检测 2】四棱锥 中,侧棱 ,底面 是直角 梯形, ,且 , 是 的中点. (Ⅰ)求异面直线 与 所成的角; 1 01 λ λ + =− 1λ = − ( 2 3, 1, 0)E − F CP F BFD PC APC 90 PD AC P ABCD− PD ABCD⊥ 底面 ABCD // ,AB DC AD DC⊥ 1, 2AB AD PD DC= = = = E CD AE PC (Ⅱ)线段 上是否存在一点 ,使得 ?若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由. PB Q PC ADQ⊥ 平面 QB PB 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 53 讲: 异面直线所成的角的求法参考答案 【反馈检测 1 答案】(1) ;(2)存在点 为 的中点,使 平面 ,理由见 解析. (2)存在点 为 的中点,使 平面 , 证明:取 的中点 ,连结 . 因为 ,则 .① 因为 底面 ,则 . 因为底面 为正方形,则 . 所以 平面 ,从而 .② 结合①②知 平面 . 因为 分别是 的中点,则 , 从而 ,四边形 为平行四边形,所以 .故 平面 . F AD EF ⊥ PBC F AD EF ⊥ PBC PC H ,DH EH PD CD= DH PC⊥ PD ⊥ ABCD PD BC⊥ ABCD CD BC⊥ BC ⊥ PCD BC DH⊥ DH ⊥ PBC E F、 PB AD、 1 1/ / , / /2 2FD BC EH BC / /FD EH EFDH / /EF DH EF ⊥ PBC 90 【反馈检测 2 答案】(Ⅰ) (Ⅱ) . 【反馈检测 2 详细解析】 以 为坐标原点,分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 . 060 3= QB PB D 1, ,DA DC DD   x y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 0,1,0D A B C P E

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