2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（理）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先将抛物线方程整理成标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p的值，进而求得焦点坐标.‎ 详解：由可以求得，所以焦点在y轴上，且，所以其焦点坐标为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点坐标的问题，在解题的过程中，需要先将抛物线的方程化成标准式，之后借助于有关规律求得结果.‎ ‎2．命题“对任意的”的否定是 A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.‎ 详解：原命题为：对任意的，因为原命题为全称命题，所以其否定为存在性命题，且不等号需改变，所以原命题的否定为：存在，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关全称命题的否定问题，在解题的过程中，需要注意全称命题的否定为特称命题，以及其对应的形式如何书写即可得结果.‎ ‎3．命题“若是偶数，则都是偶数”的否命题是 A. 若不是偶数，则都不是偶数 B. 若不是偶数，则不都是偶数 C. 若是偶数，则不都是偶数 D. 若是偶数，则都不是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先要明确否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，之后结合命题的条件和结论求得结果.‎ 详解：根据命题的否命题的形式，可得其否命题是：若不是偶数，则不都是偶数，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关命题的否命题的问题，在解题的过程中，根据命题的否命题与原命题的关系，即可求得结果.‎ ‎4．如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据双曲线的标准方程中的系数的关系，得到题中方程表示双曲线的条件，从而求得结果.‎ 详解：根据双曲线的标准方程的形式，可知该曲线要表示双曲线，则有，求得，所以实数的取值范围是，故选C. ‎ 点睛：该题考查的是有关一个方程表示双曲线的条件，根据双曲线的标准方程中，的系数是异号的，列出不等关系式，解不等式求得结果.‎ ‎5．已知 ，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论，这里就需要对不等式的性质灵活应用.‎ 详解：若，一定有，但是，不一定，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关充分条件、必要条件的判断，在解题的过程中，需要对不等式的性质灵活掌握，一定要注意其中的条件.‎ ‎6．在正方体中，点，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先结合正方体的特征，建立适当的空间直角坐标系，设出正方体的棱长，得到相应点的坐标，利用终点坐标减起点坐标，求得向量的坐标，应用向量数量积的坐标公式求得其对应向量的数量积等于零，从而判断出向量是垂直的，从而得到相应的一组异面直线所成角的大小为，从而求得结果.‎ 详解：以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则有，则，而，所以，所以则异面直线与 所成角的大小是，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关异面直线所成角的大小问题，解决方法是通过向量所成角的大小来衡量，在解题的过程中，利用向量所成角的余弦公式求得结果，只是该题比较特殊，是垂直的，从而求得角为直角，再者可以通过空间关系的判断，结合垂直的有关结论证得结果.‎ ‎7．如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.‎ 详解：由题意可得 ‎ ‎，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.‎ ‎8．圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直切线的距离等于半径，列出相应的等量关系式，从而求得，一定要注意结合双曲线方程中对应的几何量是谁，利用离心率公式求得结果.‎ 详解：双曲线的渐近线方程为，根据圆的圆心 到切线的距离等于半径，可得，解得，从而求得双曲线的方程为，故此双曲线的离心率为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要抓住题中的条件圆与双曲线的渐近线是相切的，之后利用圆心到直线的距离等于半径，建立相应的等量关系式，求得对应的参数的值，之后需要分析双曲线中的的值分别是多少，利用公式求得结果.‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的中点到轴的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先利用抛物线的焦点弦长公式，求得该焦点弦长，之后借助于抛物线的定义以及梯形的中位线的长度，求得弦的中点到准线的距离，借助于抛物线的性质，求得其到y轴的距离.‎ 详解：根据题意有焦点弦，所以该弦的中点到准线的距离为，所以线段AB的中点到y轴的距离为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，以及抛物线的定义和性质以及梯形中位线的有关长度关系，在解题的过程中，求焦点弦长的时候，也可以联立方程组，利用求得结果.‎ ‎10．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点, 为坐标 原点,则等于 A. 2 B. 4 C. 7 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据椭圆的定义求得，进一步利用三角形的中位线求得结果，在求解的过程中，需要注意椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.‎ 详解：根据椭圆的定义得，由于中，是的中点，根据中位线定理得，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的定义的问题，在解题的过程中，就咬住两条，一是椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a，再者就是三角形中位线定理.‎ ‎11．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，使点是线段的中点,那么直线的方程为 A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先利用直线所过的点将直线方程设出来，要分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立消元，化为关于x的一元二次方程，通过有两个交点，得到判别式大于零，求得斜率的取值范围，再借助于中点坐标，结合韦达定理，得到斜率所满足的等量关系式，求得结果后要判断是否在相应的范围内，从而求得结果.‎ 详解：根据题意，设过点的直线方程为或，当存在时，有，得（），当直线与双曲线有两个不同交点时，必有，解得，‎ 又方程（）的两个不同的根是两交点的横坐标，所以，又为线段AB的中点，所以，即，解得，不满足，当直线为时不满足条件，所以符合条件的直线不存在，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关双曲线的中点弦所在直线方程的求解问题，在解题的的过程中，需要先设直线方程，要分斜率存在与否两种情况，再者就是应用中点坐标求得的结果需要验证，还有就是可以利用结论直接出结果，但是也需要验证，容易丢掉.‎ ‎12．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据三角形面积的关系，‎ 确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果.‎ 详解：设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小.‎ 二、填空题 ‎13．命题“若或，则”的逆命题是 ___________命题（填“真”或“假”）.‎ ‎【答案】真 ‎【解析】分析：利用原命题和逆否命题是等价的，通过判断命题的逆否命题的真假来达到判断原命题的真假的目的.‎ 详解：命题“若或，则”等价于“且，则”，且，则是真命题，所以该题的答案是“真”.‎ 点睛：该题考查的是判断命题的真假问题，在解题的过程中，利用原命题和逆否命题等价，所以通过判断其逆否命题的真假来达到判断该命题的真假.‎ ‎14．已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以，为邻边的平行四边形的面积.‎ 详解：由题意可得，，所以，所以，所以以，为邻边的平行四边形的面积为，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.‎ ‎15．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：设点P在准线上的投影为N，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为的最小值，进而推断得出三点共线时满足取得最小，答案可得. ‎ 详解：如图所示，过点P作于点N，(为抛物线的准线)，连接，作于点B，则，当点P为AB与抛物线的交点时，取等号，所以.‎ 点睛：该题考查的是抛物线上的动点到抛物线内一个定点到焦点的距离和的最小值问题，在解题的过程中，利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，结合图形，可以断定当三点共线时满足条件，最小值为定点到准线的距离，利用公式求得结果.‎ ‎16．已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先画出对应的图，利用线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，得到动点P所满足的条件，结合椭圆的定义，求得对应的轨迹方程.‎ 详解：根据题意，有，所以，所以点P的轨迹为以A,F为焦点，为长轴长的椭圆，且，从而求得，所以其方程为.‎ 点睛：‎ 该题考查的是有关动点轨迹方程的求解问题，在解题的过程中，需要借助于线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，将得到动点到两个顶点的距离是相等的，等于圆的半径，从而利用定义得到动点的轨迹为椭圆，利用相关的量求得椭圆的方程.‎ 三、解答题 ‎17．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为．‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|．‎ ‎【答案】（1）；（2）16或4‎ ‎【解析】分析：第一问根据条件实轴长为6，求得的值，结合条件离心率为，再求得的值，利用双曲线中的关系，求得的值，从而得到双曲线的方程；第二问结合双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离差的绝对值为，分两种情况，在左支还是右支来讨论，最后求得结果.‎ 详解：（1）由题易知，，，解得，‎ 故所以双曲线的标准方程为 ‎ ‎（2）因为，，所以点可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上 ‎①若点在双曲线的左支上，则，∴； ‎ ‎②若点在双曲线的右支上，则，∴. ‎ 综上，|PF2|＝16或4. ‎ 点睛：该题考查的是有关双曲线的标准方程以及利益定义求双曲线上的点到焦点的距离问题，在求解的时候，要注意对题中的条件的转化和有效利用，尤其在第二问求解时，可以直接出一个绝对值的式子，求解即可，此时需要注意双曲线上的点到焦点的距离的范围问题.‎ ‎18．已知命题函数在上是减函数，命题 ，．‎ ‎（1）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“或”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.‎ 详解：（1）因为命题 ，‎ 所以： ，，‎ 当为假命题时，等价于为真命题， ‎ 即在上恒成立，‎ 故，解得 所以为假命题时，实数的取值范围为.‎ ‎（2）函数的对称轴方程为，‎ 当函数在上是减函数时，则有 即为真时，实数的取值范围为 ‎“或”为假命题，故与同时为假，‎ 则 ，‎ 综上可知，当 “或”为假命题时，实数的取值范围为 点睛：该题考查的是有关利用命题的真假判断来求有关参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确复合命题的真值表，以及二次函数的图像和性质要非常熟悉.‎ ‎19．如图，四面体中，△是边长为的等边三角形，平面平面，，点、分别是、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问要证的是线面垂直，需要利用题中的条件，结合面面垂直的性质定理和判定定理，得到相关的条件，证得结果；第二问求的是点到面的距离，应用向量在平面的法向量上的投影的绝对值来解决，即可求得结果.‎ 详解：(1)证明：∵，为的中点，∴， ‎ 又平面平面，平面平面 ‎∴平面 ‎ ‎(2) ∵为的中点，△为等边三角形，∴‎ 以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，‎ 所以 设 为平面的法向量，‎ 则 ， ，‎ 不妨设，则 ‎ 故可取 ， ，‎ 则点到平面的距离为 点睛：该题考查的是有关面面垂直的判定和性质定理的应用以及点到平面的距离的求解问题，在证明空间的垂直关系的时候，需要明确线线垂直、线面垂直之间的关系，在求有关点到平面的距离时，可以应用等级法来求，也可以应用向量在平面的法向量上的投影的绝对值来求解.‎ ‎20．已知椭圆，四点，，，中恰有两个点为椭圆的顶点，一个点为椭圆的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：第一问首先根据椭圆方程中的系数的大小，来断定四个点中哪两个点是椭圆的顶点，从而求得的值，结合系数之间的关系，求得的值，从而确定出椭圆的方程；第二问设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式求得相应的参数的值，最后求得结果.‎ 详解：（1）椭圆表示焦点在轴上的椭圆，‎ 故为椭圆的焦点，所以为椭圆长轴的端点，‎ 为椭圆短轴的端点， ‎ 故，，所以椭圆的方程为 ‎ ‎ (2)设直线的方程为，‎ 由 化简得:， ‎ 因为直线与椭圆交于两点 所以，解得 ‎ 设，， ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎∴直线的方程为或 点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求解以及直线被椭圆截得的弦长公式的问题，在解题的过程中，需要时刻把握题的条件，轻松得出椭圆方程中的相关的系数的值，求得方程，再者就是有关直线被椭圆截得弦长公式的求解步骤以及公式要明确.‎ ‎21．如图，四边形是矩形，四边形是梯形, ，平面平面， ， 点是的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问首先应用三角形的中位线的平行性质找到线线平行的关系，之后借助于线面平行的判定定理证得结果；第二问建立适当的空间直角坐标系，借助于平面的法向量所成角的余弦值，求得二面角的余弦值，在最后确定结果时需要判断法向量的方向，是其补角还是其本身.‎ 详解：（1）证明：连结，交于点，∴点是的中点.‎ ‎∵点是的中点，∴是△的中位线. ∴ ‎ ‎∵平面，平面，∴平面 ‎（2）四边形 是梯形，，‎ 又四边形是矩形，，‎ ‎∵平面平面，平面平面 ‎∴平面 ‎ 以为原点，以、、分别为、、 ‎ 轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设平面的法向量 ， ‎ ‎∴ ， .‎ 即 令，则，.∴可取 .‎ 又是平面的法向量，‎ ‎∴ 由图可知，二面角为锐角.‎ ‎∴二面角的余弦值是 点睛：该题考查的是有关空间关系的证明以及二面角的余弦值的求解问题，在解题的过程中，需要把握线面平行的判定定理的内容，任务是寻求平行线，利用三角形的中位线达到目的；再者就是借助于空间向量求得二面角的余弦值，用面的法向量所成角来衡量，在解题的过程中，一定要确保法向量的正确性.‎ ‎22．已知抛物线的准线方程为，点为坐标原点，不过点的直线与抛物线交于不同的两点．‎ ‎（1）如果直线过点，求证： ；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）过定点 ‎【解析】分析：第一问首先根据抛物线的准线，求得抛物线的方程，根据直线过的顶点，结合抛物线的对称性，得到直线的斜率一定不等于零，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，之后应用向量的数量积坐标公式求得其为零，从而断定；第二问先设出直线的方程，然后与椭圆方程联立，利用数量积等于零，结合韦达定理得到其满足的关系，从而证得对应的直线过定点.‎ 详解：（1）抛物线的准线方程为，‎ 所以抛物线的方程为 ‎ 因为直线过点，故可设直线的方程为，代入抛物线中 得， ‎ 设 则，‎ ‎，‎ 所以 所以 ‎ 即 ‎ ‎（2）设直线的方程为 ‎ 代入到抛物线方程整理得 ‎ 设 根据韦达定理，， ‎ 因为 ‎ 即 ‎ 解得， （舍去） ‎ 所以直线的方程为 所以不论为何值，直线恒过定点．‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，写出两根和与两根积，之后借助于向量垂直的条件为向量的数量积等于零来体现，得到相应的等量关系式，从而求得结果.‎