2018届二轮复习（文）专题四数列2 11页

4 . 2 . 2 　 数列中的证明及存在性问题 - 2 - 等差 ( 比 ) 数列的判断与 证明 例 1 已知数列 { a n } 满足 a n+ 1 = 2 a n +n- 1, 且 a 1 = 1 . (1) 求证 : 数列 { a n +n } 为等比数列 ; (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 所以数列 { a n +n } 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 . (2) 解 由 (1) 得 , a n +n= 2 × 2 n- 1 = 2 n , 所以 a n = 2 n -n. - 3 - 解题心得 1 . 判断和证明数列是等差 ( 比 ) 数列的三种方法 . (1) 定义法 : 对于 n ≥ 1 的任意自然数 , 验证 a n+ 1 -a n 为 同一常数 . (2) 通项公式法 : 若 a n =kn+b ( n ∈ N * ), 则 { a n } 为等差数列 ; 若 a n =pq kn+b ( n ∈ N * ), 则 { a n } 为等比数列 . (3) 中项公式法 : 若 2 a n =a n- 1 +a n+ 1 ( n ∈ N * , n ≥ 2), 则 { a n } 为等差数列 ; 若 = a n- 1 ·a n+ 1 ( n ∈ N * , n ≥ 2), 则 { a n } 为等比数列 . 2 . 对已知数列 a n 与 S n 的关系 , 证明 { a n } 为等差或等比数列的问题 , 解题思路是 : 由 a n 与 S n 的关系递推出 n+ 1 时的关系式 , 两个关系式相减后 , 进行化简、整理 , 最终化归为用定义法证明 . - 4 - 对点训练 1 (2017 全国 Ⅰ , 文 17) 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 S 2 = 2, S 3 =- 6 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 S n , 并判断 S n+ 1 , S n , S n+ 2 是否成等差数列 . 解得 q=- 2, a 1 =- 2 . 故 { a n } 的通项公式为 a n = ( - 2) n . 故 S n+ 1 , S n , S n+ 2 成等差数列 . - 5 - 数列型不等式的证明 例 2 设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 , a n > 0, 且 4 S n =a n ( a n + 2) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (1) 解 4 S n =a n ( a n + 2), ① 即 2( a n +a n- 1 ) = ( a n +a n- 1 )( a n -a n- 1 ) . ∵ a n > 0, ∴ a n -a n- 1 = 2, ∴ a n = 2 + 2( n- 1) = 2 n. - 6 - 解题心得 要证明关于一个数列的前 n 项和的不等式 , 一般有两种思路 : 一是先求和 , 再对和式放缩 ; 二是先对数列的通项放缩 , 再求数列的和 , 必要时对其和再放缩 . - 7 - 对点训练 2 已知数列 {log 2 ( a n - 1)}( n ∈ N * ) 为等差数列 , 且 a 1 = 3, a 3 = 9 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (1) 解 设等差数列 {log 2 ( a n - 1)} 的公差为 d. 由 a 1 = 3, a 3 = 9, 得 log 2 2 + 2 d= log 2 8, 即 d= 1 . ∴ log 2 ( a n - 1) = 1 + ( n- 1) × 1 =n , 即 a n = 2 n + 1 . - 8 - 数列中的存在性问题 例 3 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 1, a n ≠0, a n a n+ 1 = λ S n- 1 , 其中 λ 为常数 . (1) 证明 : a n+ 2 -a n = λ ; (2) 是否存在 λ , 使得 { a n } 为等差数列 ? 并说明理由 . (1) 证明 由题设 , a n a n+ 1 = λ S n - 1, a n+ 1 a n+ 2 = λ S n+ 1 - 1, 两式相减 , 得 a n+ 1 ( a n+ 2 -a n ) = λ a n+ 1 . 因为 a n+ 1 ≠0, 所以 a n+ 2 -a n = λ . - 9 - (2) 解 由题设 , a 1 = 1, a 1 a 2 = λ S 1 - 1, 可得 a 2 = λ - 1 . 由 (1) 知 , a 3 = λ + 1 . 令 2 a 2 =a 1 +a 3 , 解得 λ = 4 . 故 a n+ 2 -a n = 4 . 由此可得 { a 2 n- 1 } 是首项为 1, 公差为 4 的等差数列 , a 2 n- 1 = 4 n- 3;{ a 2 n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差数列 , a 2 n = 4 n- 1 . 所以 a n = 2 n- 1, a n+ 1 -a n = 2 . 因此存在 λ = 4, 使得数列 { a n } 为等差数列 . 解题心得 假设推理法 : 先假设所探求对象存在或结论成立 , 以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 , 若由此推出矛盾 , 则假设不成立 , 即不存在 . 若推不出矛盾 , 即得到存在的结果 . - 10 - 对点训练 3 (2017 云南昆明一中仿真 , 文 17 ) 已知数列 { a n } 和 { b n }, a 1 a 2 a 3 … a n = ( n ∈ N * ), 且 a 1 = 2, b 3 -b 2 = 3, 数列 { a n } 为等比数列 , 公比为 q. (1) 求 a 3 及数列 { b n } 的通项公式 ; (2) 令 c n = , 是否存在正整数 m , n ( m ≠ n ), 使 c 2 , c m , c n 成等差数列 ? 若存在 , 求出 m , n 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 11 - 所以存在正整数 m= 3, n= 6, 使 c 2 , c m , c n 成等差数列 .