广东省茂名市五校2020届高三上学期10月月考数学（文）试题 23页

茂名市2020届五校联盟高三第一次联考 数学（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合，再求.‎ ‎【详解】或，.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先，然后化简求虚部.‎ ‎【详解】 ，虚部为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.‎ ‎3.设实数，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 和中间值和1比较，得到大小关系.‎ ‎【详解】 ， ，‎ ‎，且 ， ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数化简，以及比较大小，一般指对幂函数比较大小，可以根据单调性比较，也可以根据中间值比较大小.‎ ‎4.下列命题是真命题的是（ ）.‎ A. 命题 ， 则；‎ B. 若平面，满足则；‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；‎ D. “命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】A.全称命题的否定，故A不正确；‎ B. 若平面，满足则或与相交，故B不正确；‎ C.根据逆否命题的形式，可知C正确；‎ D.命题为真，不能推出是真，反过来是真时，为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故D不正确.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查命题的相关知识，意在考查命题的简单应用，属于基础题型.‎ ‎5.已知两个向量满足且与的夹角为，则（ ）.‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，代入求.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，意在考查公式的转化与计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）.‎ A. 48里 B. 189里 C. 288里 D. 336里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记每天走的路程里数为，是等比数列，根据等比数列公式求解 ‎【详解】记每天走的路程里数为，是等比数列， ‎ 设第一天行走里程数是 ， ，，，‎ ‎，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型.‎ ‎7.某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，.‎ ‎【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为的等边三角形，，‎ 高为3， ，‎ 故选C .‎ ‎【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型.‎ ‎8.函数的图象可能是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.‎ ‎【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ‎ ，当时，，‎ ‎，排除C.‎ 故选D .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.‎ ‎9.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.‎ A. B. 9 C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】定点为,‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即时取得最小值.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.‎ ‎10.已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）.‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简函数 ，需满足，根据函数在区间单调递减，所以求的范围，且是的子集，最后求的范围.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在区间上单调递减，‎ ‎ ,即 ‎ ‎ ，‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 综上可知.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如，或，的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.‎ ‎11.在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿 翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.‎ ‎【详解】中，易知， ‎ 翻折后,‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 设外接圆的半径为，‎ ‎ ， ，‎ 如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，‎ ‎ ，‎ ‎ 四面体的外接球的表面积为.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.‎ ‎12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足是偶函数，，则不等式的解集为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造函数 ，根据导数判断函数是单调递增函数， 将不等式转化为即，利用单调性解不等式.‎ ‎【详解】设 ， 在上单调递增.‎ ‎ ‎ 即，‎ 在上单调递增 ‎，答案，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查根据导数判断函数的单调性，根据单调性解抽象不等式，意在考查转化与变形，利用导数构造函数，首先要熟悉导数运算法则，其次要熟悉一些常见的函数的导数，比如， ，.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求.‎ ‎【详解】 ‎ ‎.‎ 故答案为-2‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.‎ ‎14.已知动点满足，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先做出可行域，表示与连线的斜率，根据数形结合求的范围.‎ ‎【详解】作出可行域如图，‎ 表示与连线的斜率，当直线过点时，最大，此时，当直线过点时，最小，此时 的最小值为， ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.‎ ‎15.已知点是角终边上任一点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求得 再利用齐次式进行化简计算即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数定义和恒等变形，用表示和的齐次式子，意在考查变形和计算能力.‎ ‎16.设正项等差数列的前项和为，和是函数的极值点，则数列的前项和为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先求函数的导数，得到，所以，根据等差数列的性质和求和公式得到，再代入，利用并项求和.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ ‎，，，‎ 数列的前项和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知向量，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用向量数量积得到，利用三角函数恒等变形得到 ，然后利用周期公式求周期；（2）由（1）可知 ‎，求值，然后利用求解.‎ ‎【详解】（1），‎ 函数的最小正周期.‎ ‎（2），‎ ‎ ， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基础题型.‎ ‎18.在数列中，为的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据已知得到，然后两式相减得到，构造是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1），再利用裂项相消法求和，证明.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 两式相减得 ，‎ ‎ ，‎ 又，‎ 数列是以3为首项， 3为公比的等比数列，‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.‎ ‎19.的内角，，的对边分别为，，，已知 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若是边的中点，.求的长；‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或7；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理边角互化，得到，由，代入化简，最后得到求角；（2）首先在中，根据余弦定理求，然后在中再利用余弦定理求边.‎ ‎【详解】（1），‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎，‎ 或，‎ 当时，‎ 中，由余弦定理得 ‎，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，侧面底面，，，，满足，，底面是直角梯形，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎【答案】（1）证明见解析；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，所以在上取点，使得，连结，证明；（2）根据体积转化，，再利用比例关系，，这样.‎ ‎【详解】证明（1）在上取点，使得，连结 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，且，‎ 四边形为平行四边形 ‎ ‎ 又平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）平面平面，‎ ‎，平面平面，‎ 平面，‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判断定理，以及几何体的体积，意在考查转化与推理能力，和计算能力，证明线面平行的方法：1.一般可根据判定定理证明线线平行，证明线面平行，2.转化为证明面面平行，可得线面平行.‎ ‎21.已知任意三次函数都有对称中心，且的对称中心为，‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三次函数对称中心的定义先求，得，利用导数的几何意义求切线方程；（2）由（1）知， 恒成立，转化为恒成立，设，转化为利用导数求函数的最大值.‎ ‎【详解】（1）由已知得 ‎， ‎ 当时，， ‎ ‎，，‎ 曲线在点处的切线方程是 ， ‎ 即， ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 时，恒成立，‎ 即恒成立，‎ 即，‎ 令，‎ ‎ ‎ 令，，‎ 时，‎ 在单调递减，‎ ‎ ，，‎ ‎ ， 单调递增；‎ 单调递减；‎ ‎ ，‎ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数证明不等式，证明不等式恒成立是导数常考题型，一般可根据参变分离的方法转化为求最值，或是根据不等式直接设函数，讨论参数求函数的最值.‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）讨论在上的单调性.‎ ‎（2）当时，若在上的最大值为，证明：函数在内有且仅有2个零点.‎ ‎【答案】（1），在单调递减；时，在单调递增；‎ ‎（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），分和，讨论函数单调性；（2）根据（1）的结论和最值求，，因为函数单调递增， ，可知上有一个零点，设，再求，当时，从而得到含的单调性和零点，再判断函数的单调性和零点.‎ ‎【详解】（1），‎ 当，时，， 单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 综上得当，在单调递减；‎ 时，在单调递增；‎ ‎（2）由（1）知时 的最大值为 由得，‎ 在上单调递增；‎ 且，，‎ 在内有且仅有1个零点.‎ 当时 令，‎ ‎，‎ 在内单调递减，‎ 且，，‎ 存在，使得，‎ 时，‎ 在单调递增 时，‎ 在上无零点，‎ 当时，‎ 在内单调递减；‎ 又 在内有且仅有1个零点，‎ 综上所述，在内有且仅有2个零点.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.‎ ‎ ‎