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- 2021-06-15 发布
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第 2 讲 一元二次不等式的解法
一、知识梳理
1．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程 ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实根 x1，
x2(x10(a>0)
的解集
{x|x>x2 或 x0)
的解集
{x|x10 或(x－a)(x－b)<0 型不等式解法
解集
不等式
ab
(x－a) (x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a} {x|x>a 或 x0 对任意实数 x 恒成立⇔{a > 0，
b2－4ac < 0.
(2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a < 0，
b2－4ac < 0.
2．四类分式不等式
(1)f（x）
g（x）>0⇔f(x)g(x)>0.
(2)f（x）
g（x）<0⇔f(x)g(x)<0.
(3)f（x）
g（x）≥0⇔{f（x）g（x） ≥ 0，
g（x） ≠ 0.
(4)f（x）
g（x）≤0⇔{f（x）g（x） ≤ 0，
g（x） ≠ 0.
二、教材衍化
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|4－x
x＋1 ≤ 0}，那么集合 A∩(∁UB)＝
________．
解析：因为 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1 或 x≥4}，故∁ UB＝{x|－1≤x<4}，所以
A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．
答案：[－1，3]
2． y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________．
解析：由题意，得 3x2－2x－2>0，令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－ 7
3 ，x2＝1＋ 7
3 ，所以 3x2
－2x－2>0 的解集为(－∞，
1－ 7
3 )∪(1＋ 7
3 ，＋∞).
答案：(－∞，
1－ 7
3 )∪(1＋ 7
3 ，＋∞)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.( )
(2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两
个根是 x1 和 x2.( )
(3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( )
(4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是
空集．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ (1)解不等式时，变形必须等价；
(2)忽视二次项系数的符号；
(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为 0 的情况；
(4)解分式不等式时，忽视分母的符号．
1．不等式 2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得 x< 3
2或 x>7，所
以，原不等式的解集为{x|x < 3
2或x > 7}.
答案：{x|x < 3
2或x > 7}
2．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示)
解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0.
得－40⇒x>1 或 x<－1.
答案：{x|x>1 或 x<－1}
[学生用书 P112]
一元二次不等式的解法(多维探究)
角度一 不含参数的一元二次不等式
求不等式－x2＋8x－3>0 的解集．
【解】 因为 Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0 有两个不相等
的实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13.又二次函数 y＝－x2＋8x－3 的图象开口向下，所以原不等
式的解集为{x|4－ 131.
若 a<0，原不等式等价于(x－1
a )(x－1)>0，
解得 x<1
a或 x>1.
若 a>0，原不等式等价于(x－1
a )(x－1)<0.
①当 a＝1 时，1
a＝1，(x－1
a )(x－1)<0 无解；
②当 a>1 时，1
a<1，解(x－1
a )(x－1)<0，
得1
a1，解(x－1
a )(x－1)<0，
得 1 1}；
当 a＝0 时，解集为{x|x>1}；
当 01 时，解集为{x|1
a < x < 1}.
角度三 已知一元二次不等式的解集求参数
已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是{x|－1
2 < x < －1
3}，则不等式 x2－bx－a≥0
的解集是________．
【解析】 由题意，知－ 1
2，－ 1
3是方程 ax2 －bx －1 ＝0 的两个根，且 a<0 ，所以
{－1
2＋(－1
3 )＝b
a，
－1
2 × (－1
3 )＝－1
a ，
解得{a＝－6，
b＝5.
即不等式 x2－bx－a≥0 为 x2－5x＋6≥0，
解得 x≥3 或 x≤2.
【答案】 {x|x≥3 或 x≤2}
一元二次不等式的解法
(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况
单一．
(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分
类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等
式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方
程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况．
1．不等式 0 0，
x2－x－2 ≤ 4，即{x2－x－2 > 0，
x2－x－6 ≤ 0，
即{（x－2）（x＋1） > 0，
（x－3）（x＋2） ≤ 0，解得{x > 2或x < －1，
－2 ≤ x ≤ 3.
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1 或 25 或 x≤4
3.
所以原不等式的解集为{x|x ≤ 4
3或x > 5}.
答案：(－∞，
4
3]∪(5，＋∞)
3．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：因为 12x2－ax>a2，
所以 12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得 x1＝－a
4，x2＝a
3.
当 a>0 时，－a
4 a
3}；
当 a＝0 时，原不等式变形为 x2>0，解集为{x|x∈R 且 x≠0}；
当 a<0 时，－a
4>a
3，
解集为{x|x < a
3或x > －a
4}.
综上所述，当 a>0 时，不等式的解集为
{x|x < －a
4或x > a
3}；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}；
当 a<0 时，不等式的解集为{x|x < a
3或x > －a
4}.
一元二次不等式恒成立问题(多维探究)
角度一 在 R 上的恒成立问题
若不等式 2kx2＋kx－3
8<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0]
【解析】 当 k＝0 时，显然成立；当 k≠0 时，即一元二次不等式 2kx2＋kx－3
8<0 对一
切实数 x 都成立，则{k < 0，
k2－4 × 2k × (－3
8 ) < 0，解得－30 时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，
所以 m<6
7，
所以 00，
又因为 m(x2－x＋1)－6<0，
所以 m< 6
x2－x＋1.
因为函数 y＝ 6
x2－x＋1
＝ 6
(x－1
2 )2
＋3
4
在[1，3]上的最小值为6
7，
所以只需 m<6
7即可．
所以，m 的取值范围是{m|m < 6
7}.
角度三 给定参数范围的恒成立问题
对任意 m∈[－1，1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取
值范围．
【解】 由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在 m∈[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以{g（－1）＝（x－2） × （－1）＋x2－4x＋4 > 0，
g（1）＝（x－2）＋x2－4x＋4 > 0.
解得 x<1 或 x>3.
故当 x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1，1]，函数 f(x)的值恒
大于零．
形如 f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解策略
(1)对 x∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．
(2)对 x∈[a，b]的不等式确定参数的范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值
大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处
的取值特点确定不等式参数的取值范围．
(3)已知参数 m∈[a，b]的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范
围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
[提醒] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．
函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当 x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)当 x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(3)当 a∈[4，6]时，f(x)≥0 恒成立，求实数 x 的取值范围．
解：(1)因为当 x∈R 时，x2＋ax＋3－a≥0 恒成立，
需 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即 a2＋4a－12≤0，
所以实数 a 的取值范围是[－6，2]．
(2)当 x∈[－2，2]时，设 g(x)＝x 2＋ax＋3－a≥0 恒成立，分如下三种情况讨论(如图所
示)：
i 如图①，当 g(x)的图象恒在 x 轴或 x 轴上方且满足条件时，有 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即
－6≤a≤2.
ii 如图②，g(x)的图象与 x 轴有交点，
但当 x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即{Δ ≥ 0，
x＝－a
2 ≤ －2，
g（－2） ≥ 0，
即{a2－4（3－a） ≥ 0，
－a
2 ≤ －2，
4－2a＋3－a ≥ 0，
可得{a ≥ 2或a ≤ －6，
a ≥ 4，
a ≤
7
3，
解得 a∈∅.
iii 如图③，g(x)的图象与 x 轴有交点，
但当 x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即{Δ ≥ 0，
x＝－a
2 ≥ 2，
g（2） ≥ 0，
即{a2－4（3－a） ≥ 0，
－a
2 ≥ 2，
7＋a ≥ 0，
可得{a ≥ 2或a ≤ －6，
a ≤ －4，
a ≥ －7.
所以－7≤a≤－6，
综上，实数 a 的取值范围是[－7，2]．
(3)令 h(a)＝xa＋x2＋3，
当 a∈[4，6]时，h(a)≥0 恒成立．
只需{h（4） ≥ 0，
h（6） ≥ 0，即{x2＋4x＋3 ≥ 0，
x2＋6x＋3 ≥ 0，
解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
所以实数 x 的取值范围是
(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)．
[基础题组练]
1． 不等式(x－2)(2x－3)<0 的解集是( )
A.(－∞，
3
2)∪(2，＋∞) B．R
C.(3
2，2 ) D．∅
解析：选 C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，
解得3
20 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的
不等式(ax＋b)(x－2)<0 的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(1，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选 C.因为关于 x 的不等式 ax＋b>0 的解集是(1，＋∞)，所以 a>0，且－ b
a＝1，
所以关于 x 的不等式(ax＋b)(x－2)<0 可化为(x＋b
a )(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式
的解集为{x|11 时，
不等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，即 1 0或{x－2 > 0，
f（x） < 0，即
{x < 2，
－2x2＋4 > 0或{x > 2，
－2x2＋4 < 0，解得－ 22.
故原不等式的解集为(－ 2， 2)∪(2，＋∞)．故选 A.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即 x(x－2)<0 的解集，解得 00，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围．
解：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以
(1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，
可得{f（－1） > 0，
f（1） > 0， 即{x2－7x＋12 > 0，
x2－5x＋6 > 0， 解得 x<2 或 x>4.
则实数 x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
10．已知函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R.
(1)求 a 的取值范围；
(2)若函数 f(x)的最小值为 2
2 ，解关于 x 的不等式 x2－x－a2－a<0.
解：(1)因为函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，所以 ax2＋2ax＋1≥0 恒成立，
当 a＝0 时，1≥0 恒成立．
当 a≠0 时，则有{a > 0，
Δ＝（2a）2－4a ≤ 0，
解得 00，所以当 x＝－1 时，f(x)min＝ 1－a，
由题意得， 1－a＝ 2
2 ，所以 a＝1
2，
所以不等式 x2－x－a2－a<0 可化为 x2－x－3
4<0.
解得－1
21 时，不等式的解集为{x|10.
(1)求 f(x)在[0，1]内的值域；
(2)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
解：(1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
当 x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两个根，
所以{－3＋2＝8－b
a ，
－3 × 2＝－a－ab
a ，
所以 a＝－3，b＝5.
所以 f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3(x＋1
2 )2
＋75
4 .
因为函数图象关于 x＝－1
2对称且抛物线开口向下，
所以 f(x)在[0，1]上为减函数，
所以 f(x)max＝f(0)＝18，
f(x)min＝f(1)＝12，故 f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式 ax2＋bx＋c≤0 可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0 的解集
为 R，只需 Δ＝b2－4ac≤0，
即 25＋12c≤0，所以 c≤－25
12，
所以实数 c 的取值范围为(－∞，－25
12].
6．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m，n(m0 的解集；
(2)若 a>0，且 00，
即 a(x＋1)(x－2)>0.
当 a>0 时，不等式 F(x)>0 的解集为
{x|x<－1 或 x>2}；
当 a<0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|－10，且 00.
所以 f(x)－m<0，即 f(x)
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