高考数学人教A版（理）一轮复习：第二篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性 6页

第3讲 函数的奇偶性与周期性 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于 (　　)．‎ A．－5 B．－6 C．－ D．－ 解析　f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．‎ ‎∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，‎ ‎∴f(log6)＝－.‎ 答案　D ‎2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 (　　)．‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.‎ 答案　A ‎3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 (　　)．‎ A．f>f B．f(sin 1)f(sin 2)‎ 解析　当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，‎ 显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.‎ 答案　A ‎4．(2013·连云港一模)已知函数f(x)＝则该函数是 (　　)．‎ A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析　当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.‎ 解析　由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.‎ 答案　0‎ ‎6．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.‎ 解析　因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.‎ 答案　－1‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．‎ ‎(1)求f(1)，f(－1)的值；‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性．‎ 解　(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.‎ ‎(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．‎ ‎8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ 当a>0时，由f′(x)＝>0，‎ 解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ 可知 ≤2.解得0