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- 2021-06-15 发布
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天津市南开区2019~2020学年度高三年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁US）∩T等于（ ）
A．{2} B．{3} C．{4} D．{2，3，4}
2．命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0＝x0﹣1”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1
B．∀x∉（0，+∞），ln x＝x﹣1
C．∃x0∈（0，+∞），ln x0≠x0﹣1
D．∃x0∉（0，+∞），ln x0＝x0﹣1
3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x3 B．y＝﹣lgx2 C．y＝2x D．y
4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．设a＝1﹣20.2，b＝1og3，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．过点A（﹣1，0），斜率为k的直线，被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2，则k的值为（ ）
A．± B． C．± D．
7．函数y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．0 D．2
8．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（ ）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
9．四边形ABCD中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣3，﹣1） C．[﹣3，1] D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
10．复数的共轭复数是 ．
11．曲线y在点（1，1）处的切线方程为 ．
12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB＝2，则此球的表面积等于 ．
13．设双曲线C经过点（2，2），且与x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
14．已知正数x，y满足3，则当x 时，x+y的最小值是 ．
15．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数g（x）＝f（x）﹣mx2（m∈R）恰有三个零点x1，x2，x3，则m的取值范围是 ；x1x2x3的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积为2．
（Ⅰ）求a及sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A）的值．
17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AA1＝AB＝2BC＝2，3．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣A1的余弦值；
（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．
18．（15分）已知椭圆C的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+20的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与直线y＝kx+m相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．
（i）当k＞0，m≠0时，射线OE交直线x＝﹣3于点D（﹣3，n）（O为坐标原点），求k2+n2的最小值；
（i）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
19．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）令cn＝log2，证明：1（n∈N*，n≥2）；
（Ⅲ）求（n∈N*）．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤x2对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝1时，设g（x）＝xe﹣f（x）﹣x﹣1（e为自然对数的底）．若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2＝1，x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：g（λ1x1+λ2x2）＜λ1g（x1）+λ2g（x2）．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
2．A
3．A
4．C
5．A
6．A
7．D
8．C
9．C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
10．﹣i．
11． x+y﹣2＝0
12． 24π．
13． ，y＝±2x．
14．，9．
15． （0，）和（）．
三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，∴sinA，
∵△ABC的面积为bc•sinA•bc＝2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，
∴a3．
再根据正弦定理可得 ，即，∴sinC．
（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，
故 cos（2A）＝cos2Acossin2Asin••．
17．依题意，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
∵3，
∴，
（Ⅰ）证明：，
设平面A1BD的一个法向量为，则，令，则，
∴，即，
∴AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ），
设平面ABD的一个法向量为，则，令，则，
又平面A1BD的一个法向量为，
∴，即二面角A﹣BD﹣A1的余弦值为；
（Ⅲ）设点B1到平面A1BD的距离为d，则易知，而，
∴点B1到平面A1BD的距离为．
18．解（Ⅰ），设椭圆的右焦点（c，0），c＞0，由题意得：b＝1，3，a2＝b2+c2，解得：a2＝3，b2＝1，
所以椭圆的方程：；
（Ⅱ）i）设M（x，y），N（x'，y'），将直线与椭圆联立整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，即m2＜1+3k2，
且x+x'，∴y+y'＝k（x+x'）+2m，所以MN的中点E（，），所以射线OE：yx，与直线x＝﹣3的交点（﹣3，），所以n，所以n2+k2＝k22，当且仅当k2＝1，k＞0，
所以k＝1时n2+k2有最小值2．
ii）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，则AE⊥MN，所以kAE，即，∴2m＝1+3k2，∴2m＞m2，解得0＜m＜2，
所以m取值范围（0，2）．
19．（Ⅰ）设数列{an}是公比为q的等比数列，数列{bn}是公差为d的等差数列，
由a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4，可得b1+d＝3q，b1+4d＝3q2+3，b1+7d＝3q3，
解得q＝2，d＝3，b1＝3，
则an＝3•2n﹣1，bn＝3+3（n﹣1）＝3n；
（Ⅱ）证明：cn＝log2log22n﹣1＝n﹣1，
111；
（Ⅲ）由，
可设Tn，
Tn，
相减可得Tn
＝2•，
化简可得．
20．（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞0}，，
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）＞0解得，令f′（x）＜0解得，故此时函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ）f（x）≤x2对x∈（0，+∞）恒成立，即为对任意的x∈（0，+∞），都有，
设，则，令G（x）＝1﹣lnx﹣x2（x＞0），则，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递减，且G（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，G（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当x∈（1，+∞），G（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
∴F（x）max＝F（1）＝﹣1，
∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．
（Ⅲ）证明：当a＝1时，g（x）＝xe﹣（lnx﹣x）﹣x﹣1＝xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），不妨设0＜x1＜x2，
下先证：存在ξ∈（x1，x2），使得g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1），
构造函数，显然H（x1）＝H（x2），且，
则由导数的几何意义可知，存在ξ∈（x1，x2），使得，即存在ξ∈（x1，x2），使得g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1），
又g′（x）＝ex﹣1为增函数，
∴g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1）＞g′（x1）（x2﹣x1），即g（x2）＞g（x1）+g′（x1）（x2﹣x1），
设x3＝λ1x1+λ2x2（λ1+λ2＝0），则x1﹣x3＝（1﹣λ1）x1﹣λ2x2，x2﹣x3＝（1﹣λ2）x2﹣λ1x1，
∴g（x1）＞g（x3）+g′（x3）（x1﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ1）x1﹣λ2x2]①，
g（x2）＞g（x3）+g′（x3）（x2﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ2）x2﹣λ1x1]②，
由①×λ1+②×λ2得，λ1g（x1）+λ2g（x2）＞g（x3）＝g（λ1x1+λ2x2），
即g（λ1x1+λ2x2）＜λ1g（x1）+λ2g（x2）．
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