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  • 2021-06-15 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版(理)4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案

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‎§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 考纲展示► ‎ ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.‎ 考点1 三角函数公式的基本应用 ‎                ‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=________________;‎ cos(α∓β)=________________;‎ tan(α±β)=.‎ 答案:sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=________________;‎ cos 2α=______________=______________=______________;‎ tan 2α=.‎ 答案:2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 ‎ ‎1-2sin2α ‎(1)[教材习题改编]计算:sin 108°cos 42°-cos 72°sin 42°=________.‎ 答案: ‎(2)[教材习题改编]已知cos α=-,α∈,则sin的值是________.‎ 答案: 解析:因为cos α=-,α∈,所以sin α=,所以sin=sin αcos+cos αsin=×+×=.‎ 公式使用中的误区:角的范围;公式的结构.‎ ‎(1)若函数f(α)=,则α满足2tan α≠1,且α≠________.‎ 答案:kπ+(k∈Z)‎ 解析:要使函数f(α)=有意义,则1-2tan α≠0,tan α有意义,所以2tan α≠1,则α≠kπ+(k∈Z).‎ ‎(2)化简:sin x-cos x=________.‎ 答案:sin 解析:sin x-cos x=cos sin x-sin cos x=sin.‎ ‎[典题1] (1)[2017·江西新余三校联考]已知cos=-,则sin的值为(  )‎ A. B. C.± D.± ‎[答案] C ‎[解析] 因为cos ‎=cos=,‎ 所以有sin2=×=,‎ 从而求得sin的值为±,故选C.‎ ‎(2)已知cos θ=-,θ∈,则sin的值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由cos θ=-,θ∈得 sin θ=-=-,‎ 故sin=sin θcos -cos θsin ‎=-×-× ‎=.‎ ‎(3)设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,‎ ‎∴cos α=-.‎ 又α∈,∴sin α=,tan α=-,‎ ‎∴tan 2α==-=.‎ ‎[点石成金] 三角函数公式的应用策略 ‎(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ 考点2 三角函数公式的逆用与变形应用 公式的常用变形 ‎(1)tan α±tan β=tan(α±β)(________);‎ ‎(2)________=,________=;‎ ‎(3)1+sin 2α=(________)2,1-sin 2α=(________)2,________=sin.‎ 答案:(1)1∓tan αtan β (2)cos2α sin2α ‎(3)sin α+cos α sin α-cos α sin α±cos α ‎(1)[教材习题改编]计算:sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°=________.‎ 答案: 解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°=.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为________.‎ 答案:- 解析:∵sin θ=,θ为第二象限角,‎ ‎∴cos θ=-,‎ ‎∴sin 2θ=2sin θcos θ=2××=-.‎ 辅助角公式.‎ ‎(1)函数f(x)=sin x+cos x的最大值为________.‎ 答案: 解析:sin x+cos x= ‎=sin≤ .‎ ‎(2)一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=________或f(α)=________.‎ 答案:sin(α+φ) cos(α-φ)‎ 解析:一般地,函数f(x)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).‎ ‎[典题2] (1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin+sin α=,则sin的值是(  )‎ A.- B. C. D.- ‎[答案] D ‎[解析] ∵sin+sin α=,‎ ‎∴sin cos α+cos sin α+sin α=,‎ ‎∴sin α+cos α=,‎ 即sin α+cos α=.‎ 故sin=sin αcos +cos αsin ‎=-=-.‎ ‎(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(  )‎ A.- B. C. D.- ‎[答案] B ‎[解析] 由tan Atan B=tan A+tan B+1,‎ 可得=-1,‎ 即tan(A+B)=-1,‎ 又A+B∈(0,π),‎ 所以A+B=,‎ 则C=,cos C=.‎ ‎(3)[2017·陕西西安模拟]计算:-sin 10°·=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 原式=-sin 10°·‎ ‎=- ‎= ‎= ‎= ‎=.‎ ‎[点石成金] 三角函数公式活用的技巧 ‎(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.‎ ‎(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.‎ ‎(3)注意切化弦思想的运用.‎ ‎1.已知sin=,则cos的值是(  )‎ A. B. C.- D.- 答案:D 解析:∵sin=,‎ ‎∴cos=cos ‎=1-2sin2=,‎ ‎∴cos=cos ‎=cos ‎=-cos=-.‎ ‎2.化简:(0<α<π)=________.‎ 答案:cos α 解析:原式=‎ ‎= ‎=.‎ 因为0<α<π,所以0<<,‎ 所以cos >0,所以原式=cos α.‎ 考点3 角的变换 ‎                 ‎ 角的变换技巧 ‎2α=(α+β)+(α-________);‎ α=(α+________)-β;β=________;‎ =________.‎ 答案:β β - -‎ ‎[典题3] 已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.‎ ‎(1)求sin(α-β)的值;‎ ‎(2)求cos β的值.‎ ‎[解] (1)∵α,β∈,‎ ‎∴-<α-β<.‎ 又tan(α-β)=-<0,‎ ‎∴-<α-β <0.‎ ‎∴sin(α-β)=-.‎ ‎(2)由(1)可得,cos(α-β)=.‎ ‎∵α为锐角,且sin α=,‎ ‎∴cos α=.‎ ‎∴cos β=cos [α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=×+× ‎= .‎ ‎[题点发散1] 在本例条件下,求sin(α-2β)的值.‎ 解:∵sin(α-β)=-,cos(α-β)=,‎ cos β=,sin β=.‎ ‎∴sin(α-2β)=sin [(α-β)-β]‎ ‎=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β ‎=-.‎ ‎[题点发散2] 若本例中“sin α=”变为“tan α=”,其他条件不变,求tan(2α-β)的值.‎ 解:∵tan α=,tan(α-β)=-,‎ ‎∴tan(2α-β)=tan ‎= ==.‎ ‎[点石成金] 利用角的变换求三角函数值的策略 ‎(1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;‎ ‎(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ 已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.‎ 解:∵0<β <<α<π,‎ ‎∴<α-<π,‎ ‎-<-β<,‎ ‎∴sin==,‎ cos==,‎ ‎∴cos =cos ‎=coscos+sinsin ‎=×+×=,‎ 则由二倍角公式,可得 cos(α+β)=2cos2-1=-.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1.[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案:D 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°·cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.‎ ‎2.[2016·四川卷]cos2-sin2=________.‎ 答案: 解析:由二倍角公式,得 cos2 -sin2 =cos=.‎ ‎3.[2015·四川卷]sin 15°+sin 75°的值是________.‎ 答案: 解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°‎ ‎= ‎=(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)‎ ‎=sin 60°=×=.‎ ‎4.[2015·江苏卷]已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为________.‎ 答案:3‎ 解析:tan β=tan[(α+β)-α]= ‎==3.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 三角恒等变换的综合问题 ‎1.三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再求其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点.‎ ‎[典例1] [改编题]已知函数f(x)=2sin ωx-4sin2+2+a(其中ω>0,α∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4,求a的值.‎ ‎[解] (1)f(x)=2sin ωx-4sin2+2+a=2sin+a,‎ 由题意,知2ω+=,得ω=.‎ 所以最小正周期T==16.‎ ‎(2)f(x)=2sin+a,‎ 因为x∈[6,16],所以x+∈.‎ 由图象可知(图略),当x+=,‎ 即当x=16时, f(x)的最大值,‎ 由2sin +a=4,得a=2.‎ ‎2.三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中,与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等,是高考热点内容.‎ 根据所给条件解三角形时,主要有两种途径:‎ ‎(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于π,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解;‎ ‎(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解.‎ ‎[典例2] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.‎ ‎[解] (1)因为a2+b2+ab=c2,‎ 由余弦定理,得cos C===-.故C=.‎ ‎(2)由题意,得 =,‎ 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,‎ tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,‎ tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①‎ 因为C=,A+B=,‎ 所以sin(A+B)=.‎ 因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,‎ 即-sin Asin B=,‎ 解得sin Asin B=-=.‎ 由①得tan2α-5tan α+4=0,‎ 解得tan α=1或tan α=4.‎ ‎3.三角恒等变换与向量的综合 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,a∥b⇔x1y2=x2y1,a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,把向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.‎ ‎[典例3] 已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A),是共线向量.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)求函数y=2sin2B+cos 的最大值.‎ ‎[思路分析] (1)→ → ‎(2)→ ‎[解] (1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),‎ 则sin‎2A=.‎ 又A为锐角,所以sin A=,则A=.‎ ‎(2)y=2sin2B+cos ‎=2sin2B+cos ‎=2sin2B+cos ‎=1-cos 2B+cos 2B+sin 2B ‎=sin 2B-cos 2B+1‎ ‎=sin+1.‎ 因为B∈,所以2B-∈,‎ 所以当2B-=时,函数y取得最大值,‎ 解得B=,ymax=2.‎

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