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- 2021-06-15 发布
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第三节 三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),
π
2
,1 ,(π,0),
3π
2
,-1 ,(2π,0).
余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),
π
2
,0 ,(π,-
1),
3π
2
,0 ,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R x|x≠kπ+π
2
,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性
递增区间:
2kπ-π
2
,2kπ+π
2
k∈Z,
递减区间:
2kπ+π
2
,2kπ+3π
2
k∈Z
递增区间:
[2kπ-π,2kπ]
k∈Z,
递减区间:
[2kπ,2kπ+π]
k∈Z
递增区间
kπ-π
2
,kπ+π
2
(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0)k∈Z
对称中心
kπ+π
2
,0 k∈Z
对称中心
kπ
2
,0 k∈Z
对称轴 x=kπ+π
2(k∈Z)
对称轴 x=kπ(k∈
Z)
周期性 2π 2π π
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( )
(2)函数 y=sin x 的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( )
(4)y=sin |x|是偶函数.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.函数 f(x)=cos 2x+5π
2 的图象关于( )
A.原点对称 B.y 轴对称
C.直线 x=5π
2
对称 D.直线 x=-5π
2
对称
A [函数 f(x)=cos 2x+5π
2 =-sin 2x 是奇函数,则图象关于原点对称,故
选 A.]
3.函数 y=tan 2x 的定义域是( )
A. x|x≠kπ+π
4
,k∈Z B. x|x≠kπ
2
+π
8
,k∈Z
C. x|x≠kπ+π
8
,k∈Z D. x|x≠kπ
2
+π
4
,k∈Z
D [由 2x≠kπ+π
2
,k∈Z,得 x≠kπ
2
+π
4
,k∈Z,
∴y=tan 2x 的定义域为 x|x≠kπ
2
+π
4
,k∈Z .]
4.(2017·绍兴模拟(一))函数 y=sin
1
2x+π
3 ,x∈[-2π,2π]的单调递增区间
是( )
A.
-2π,-5π
3 B.
-2π,-5π
3 和
π
3
,2π
C.
-5π
3
,π
3 D.
π
3
,2π
C [令 z=1
2x+π
3
,函数 y=sin z 的单调递增区间为 2kπ-π
2
,2kπ+π
2 (k∈Z),
由 2kπ-π
2
≤1
2x+π
3
≤2kπ+π
2
得 4kπ-5π
3
≤x≤4kπ+π
3
,而 x∈[-2π,2π],故其单
调递增区间是 -5π
3
,π
3 ,故选 C.]
5.(教材改编)函数 f(x)=4-2cos 1
3x 的最小值是________,取得最小值时,x
的取值集合为________.
2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此时,1
3x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k
∈Z),所以 x 的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.]
三角函数的定义域与值域
(1)函数 f(x)=cos 2x+6cos
π
2
-x 的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x2的定义域为________. 【导学号:51062103】
(1)B (2)
-3,-π
2 ∪ 0,π
2 [(1)∵f(x)=cos 2x+6cos
π
2
-x =cos 2x+6sin
x
=1-2sin2x+6sin x=-2 sin x-3
2 2+11
2
,
又 sin x∈[-1,1],∴当 sin x=1 时,f(x)取得最大值 5.故选 B.
(2)由 sin 2x>0,
9-x2≥0,
得
kπ<x<kπ+π
2
,k∈Z,
-3≤x≤3,
∴-3≤x<-π
2
或 0<x<π
2
,
∴函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x2的定义域为 -3,-π
2 ∪ 0,π
2 .]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线
或三角函数图象来求解.
2.求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法:直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解.
(2)化一法:把所给三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,由正弦函数单
调性写出函数的值域.
(3)换元法:把 sin x,cos x,sin xcos x 或 sin x±cos x 换成 t,转化为二次函数
求解.
[变式训练 1] (1)已知函数 y=2cos x 的定义域为
π
3
,π ,值域为[a,b],则
b-a 的值是( )
A.2 B.3
C. 3+2 D.2- 3
(2)求函数 y=cos2x+sin x |x|≤π
4 的最大值与最小值.
(1)B [∵x∈
π
3
,π ,∴cos x∈ -1,1
2 ,故 y=2cos x 的值域为[-2,1],
∴b-a=3.]
(2)令 t=sin x,∵|x|≤π
4
,∴t∈ - 2
2
, 2
2 ,3 分
∴y=-t2+t+1=- t-1
2 2+5
4
,
∴当 t=1
2
时,ymax=5
4
,当 t=- 2
2
时,ymin=1- 2
2
,7 分
∴函数 y=cos2x+sin x |x|≤π
4 的最大值为5
4
,最小值为1- 2
2 .12 分
三角函数的单调性
(1)(2017·杭州学军中学)已知ω>0,函数 f(x)=sin ωx+π
4 在
π
2
,π 上
单调递减,则ω的取值范围是( )
A.
1
2
,5
4 B.
1
2
,3
4
C. 0,1
2 D.(0,2]
(2)函数 f(x)=sin
-2x+π
3 的单调减区间为________.
(1)A (2) kπ- π
12
,kπ+5π
12 (k∈Z) [(1)由π
2
<x<π得π
2ω+π
4
<ωx+π
4
<πω+
π
4
,由题意知
π
2ω+π
4
,πω+π
4 ⊆
π
2
,3π
2 ,
所以
π
2ω+π
4
≥π
2
,
πω+π
4
≤3π
2
,
解得1
2
≤ω≤5
4.
(2)由已知函数为 y=-sin 2x-π
3 ,欲求函数的单调减区间,只需求 y=
sin 2x-π
3 的单调增区间即可.
由 2kπ-π
2
≤2x-π
3
≤2kπ+π
2
,k∈Z,
得 kπ- π
12
≤x≤kπ+5π
12
,k∈Z.
故所求函数的单调减区间为 kπ- π
12
,kπ+5π
12 (k∈Z).]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数
单调性规律“同增异减”.
(2)求形如 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,
通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化 x 的系数为正数,以防止把单
调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集
合间的关系求解.
[变式训练 2] (1)函数 f(x)=tan 2x-π
3 的单调递增区间是________.
(2)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 0,π
3 上单调递增,在区间
π
3
,π
2 上单调
递减,则ω=________. 【导学号:51062104】
(1)
kπ
2
- π
12
,kπ
2
+5π
12 (k∈Z) (2)3
2 [(1)由-π
2
+kπ<2x-π
3
<π
2
+kπ(k∈Z),
得kπ
2
- π
12
<x<kπ
2
+5π
12(k∈Z).
(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
∴当 0≤ωx≤π
2
,即 0≤x≤ π
2ω
时,y=sin ωx 是增函数;
当π
2
≤ωx≤3π
2
,即 π
2ω
≤x≤3π
2ω
时,y=sin ωx 是减函数.
由 f(x)=sin ωx(ω>0)在 0,π
3 上单调递增,
在
π
3
,π
2 上单调递减知, π
2ω
=π
3
,∴ω=3
2.]
三角函数的奇偶性、周期
性、对称性
☞角度 1 奇偶性与周期性的判断
(1)在函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+π
6
,④y=
tan 2x-π
4 中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.②④ B.①③④
C.①②③ D.①③
(2)函数 y=1-2sin2 x-3π
4 是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π
2
的奇函数
D.最小正周期为π
2
的偶函数
(1)C (2)A [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π.
②由图象知,函数的周期 T=π.
③T=π.
④T=π
2.
综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③.
(2)y=1-2sin2 x-3π
4 =cos 2 x-3π
4 =-sin 2x,所以 f(x)是最小正周期为π
的奇函数.]
☞角度 2 求三角函数的对称轴、对称中心
(2017·金华十校 3 月联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π
2
的最小正周期为 4π,且对任意 x∈R,都有 f(x)≤f
π
3 成立,则 f(x)图象的一个对
称中心的坐标是( )
A.
-2π
3
,0 B.
-π
3
,0
C.
2π
3
,0 D.
5π
3
,0
A [由 f(x)=sin (ωx+φ)的最小正周期为 4π,得ω=1
2.因为 f(x)≤f
π
3 恒成立,
所以 f(x)max=f
π
3 ,
即1
2
×π
3
+φ=π
2
+2kπ(k∈Z),
∴φ=π
3
+2kπ(k∈Z),由|φ|<π
2
,
得φ=π
3
,故 f(x)=sin
1
2x+π
3 .
令 1
2x+π
3
=kπ(k∈Z),
得 x=2kπ-2π
3 (k∈Z),故 f(x)图象的对称中心为 2kπ-2π
3
,0 (k∈Z),当 k=
0 时,f(x)图象的一个对称中心的坐标为 -2π
3
,0 ,故选 A.]
☞角度 3 三角函数对称性的应用
(1)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点
4π
3
,0 中心对称,那么|φ|
的最小值为( )
A.π
6 B.π
4
C.π
3 D.π
2
(2)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象关于直线 x=5π
3
对称,则实数 a 的值
为( )
A.- 3 B.- 3
3
C. 2 D. 2
2
(1)A (2)B [(1)由题意得 3cos 2×4π
3
+φ
=3cos
2π
3
+φ+2π =3cos
2π
3
+φ =0,
∴2π
3
+φ=kπ+π
2
,k∈Z,
∴φ=kπ-π
6
,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为π
6.
(2)由 x=5π
3
是 f(x)图象的对称轴,
可得 f(0)=f
10π
3 ,
即 sin 0+acos 0=sin10π
3
+acos10π
3
,
解得 a=- 3
3 .]
[规律方法] 1.对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点
或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是不是
函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断.
2.求三角函数周期的方法:
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π
|ω|
,y=
tan(ωx+φ)的最小正周期为 π
|ω|.
(3)借助函数的图象.
[思想与方法]
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,
再用换元法令 t=ωx+φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质.
2.求三角函数值域(最值)的常用方法:
(1)将函数变形化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,逐步分析ωx+φ的范围,根
据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).
(2)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求二次函数在区间上的值
域(最值)问题.
3.若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π
2
+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
[易错与防范]
1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数
的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
2.求 y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间,要注意ω的正负,只有当ω>0 时,
才能将“ωx+φ”整体代入相应单调区间.
3.利用换元法求三角函数最值时,注意 cos x(或 sin x)的有界性.
4.正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形且最值点在对
称轴上;正切函数的图象只是中心对称图形.
课时分层训练(十七)
三角函数的图象与性质
A 组 基础达标
(建议用时:30 分钟)
一、选择题
1.函数 y= cos x- 3
2
的定义域为( )
A.
-π
6
,π
6
B. kπ-π
6
,kπ+π
6 (k∈Z)
C. 2kπ-π
6
,2kπ+π
6 (k∈Z)
D.R
C [由 cos x- 3
2
≥0,得 cos x≥ 3
2
,∴2kπ-π
6
≤x≤2kπ+π
6
,k∈Z.]
2.已知函数 f(x)=sin ωx+π
4 (ω>0)的最小正周期为π,则 f
π
8 =( )
A.1 B.1
2
C.-1 D.-1
2
A [由题设知2π
ω
=π,所以ω=2,f(x)=sin 2x+π
4 ,所以 f
π
8 =sin 2×π
8
+π
4
=sin π
2
=1.]
3.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
A.y=sin 2x+π
2
B.y=cos 2x+π
2
C.y=sin 2x+cos 2x
D.y=sin x+cos x
B [A 项,y=sin 2x+π
2 =cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,不符合
题意;
B 项,y=cos 2x+π
2 =-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合题意;
C 项,y=sin 2x+cos 2x= 2sin 2x+π
4 ,最小正周期为π,为非奇非偶函数,
不符合题意;
D 项,y=sin x+cos x= 2sin x+π
4 ,最小正周期为 2π,为非奇非偶函数,
不符合题意.]
4.若函数 y=cos ωx+π
6 (ω∈N*)图象的一个对称中心是
π
6
,0 ,则ω的最小
值为( ) 【导学号:51062105】
A.1 B.2
C.4 D.8
B [由题意知πω
6
+π
6
=kπ+π
2(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2,
故选 B.]
5.(2017·台州二次适应性测试)若函数 f(x)=sin ωx+π
6 -cos ωx(ω>0)的图
象相邻两个对称中心之间的距离为π
2
,则 f(x)的一个单调递增区间为( )
A.
-π
6
,π
3 B.
-π
3
,π
6
C.
π
6
,2π
3 D.
π
3
,5π
6
A [依题意得 f(x)= 3
2 sin ωx-1
2cos ωx=sin ωx-π
6 的图象相邻两个对称中
心之间的距离为π
2
,于是有 T=2π
ω
=2×π
2
=π,ω=2,f(x)=sin 2x-π
6 .当 2kπ-π
2
≤2x
-π
6
≤2kπ+π
2
,即 kπ-π
6
≤x≤kπ+π
3
,k∈Z 时,f(x)=sin 2x-π
6 单调递增.因此
结合各选项知 f(x)=sin 2x-π
6 的一个单调递增区间为 -π
6
,π
3 ,故选 A.]
二、填空题
6.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是________.
kπ+π
4
,kπ+3π
4 (k∈Z) [由 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,2kπ+π
2
≤2x≤2kπ+3π
2
得 kπ+π
4
≤x≤kπ+3π
4 (k∈Z).]
7.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意 x 都有 f
π
6
+x =f
π
6
-x ,则 f
π
6 的
值为________. 【导学号:51062106】
2 或-2 [∵f
π
6
+x =f
π
6
-x ,
∴x=π
6
是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴,
∴f
π
6 =±2.]
8.函数 y=tan 2x+π
4 的图象与 x 轴交点的坐标是________.
kπ
2
-π
8
,0 ,k∈Z [由 2x+π
4
=kπ(k∈Z)得,x=kπ
2
-π
8(k∈Z),
∴函数 y=tan 2x+π
4 的图象与 x 轴交点的坐标是
kπ
2
-π
8
,0 ,k∈Z.]
三、解答题
9.已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间. 【导学号:51062107】
[解] (1)因为 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx= 2sin 2ωx+π
4 ,
所以 f(x)的最小正周期 T=2π
2ω
=π
ω.4 分
依题意,得π
ω
=π,解得ω=1.7 分
(2)由(1)知 f(x)= 2sin 2x+π
4 .
函数 y=sin x 的单调递增区间为 2kπ-π
2
,2kπ+π
2 (k∈Z).10 分
由 2kπ-π
2
≤2x+π
4
≤2kπ+π
2(k∈Z),
得 kπ-3π
8
≤x≤kπ+π
8(k∈Z).
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ-3π
8
,kπ+π
8 (k∈Z).14 分
10.已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)在区间 0,π
2 上的最大值和最小值.
[解] (1)因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sin x·cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=
2sin 2x+π
4 +1,3 分
所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π.7 分
(2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin 2x+π
4 +1.10 分
当 x∈ 0,π
2 时,2x+π
4
∈
π
4
,5π
4 ,由正弦函数 y=sin x 在
π
4
,5π
4 上的图象
知,当 2x+π
4
=π
2
,即 x=π
8
时,f(x)取最大值 2+1;12 分
当 2x+π
4
=5π
4
,即 x=π
2
时,f(x)取最小值 0.综上,f(x)在 0,π
2 上的最大值为 2
+1,最小值为 0.15 分
B 组 能力提升
(建议用时:15 分钟)
1.(2017·台州二次质量预测)将函数 f(x)=-cos 2x 的图象向右平移π
4
个单位
后得到函数 g(x),则 g(x)具有性质( )
A.最大值为 1,图象关于直线 x=π
2
对称
B.在 0,π
4 上单调递减,为奇函数
C.在 -3π
8
,π
8 上单调递增,为偶函数
D.周期为π,图象关于点
3π
8
,0 对称
B [由题意得函数 g(x)=-cos 2x-2×π
4 =-sin 2x,易知其为奇函数,由
-π
2
+2kπ<2x<π
2
+2kπ,k∈Z 得-π
4
+kπ<x<π
4
+kπ,k∈Z,所以函数 g(x)=-
sin 2x 的单调递减区间为 -π
4
+kπ,π
4
+kπ ,k∈Z,所以函数 g(x)=-sin 2x 在
0,π
4 上单调递减,故选 B.]
2.设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取
值范围是________. 【导学号:51062108】
[2,+∞) [∵f(x)= 3sin 3x+cos 3x=2sin 3x+π
6 ∈[-2,2].又∵|f(x)|≤a
恒成立,∴a≥|f(x)|max,∴a≥2.]
3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 0<φ<2π
3 的最小正周期为π.
(1)求当 f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若 f(x)的图象过点
π
6
, 3
2 ,求 f(x)的单调递增区间.
[解] ∵f(x)的最小正周期为π,则 T=2π
ω
=π,∴ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ).2 分
(1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),
∴sin(-2x+φ)=sin(2x+φ),
将上式展开整理得 sin 2xcos φ=0,
由已知上式对∀x∈R 都成立,
∴cos φ=0.∵0<φ<2π
3
,∴φ=π
2.7 分
(2)f(x)的图象过点
π
6
, 3
2 时,sin 2×π
6
+φ = 3
2
,
即 sin
π
3
+φ = 3
2 .10 分
又∵0<φ<2π
3
,∴π
3
<π
3
+φ<π,
∴π
3
+φ=2π
3
,φ=π
3
,
∴f(x)=sin 2x+π
3 .13 分
令 2kπ-π
2
≤2x+π
3
≤2kπ+π
2
,k∈Z,
得 kπ-5π
12
≤x≤kπ+ π
12
,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为 kπ-5π
12
,kπ+ π
12 ,k∈Z.15 分