2019年高考真题——理科数学（天津卷）原卷版 6页

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题。 参考公式： ·如果事件 、 互斥，那么 . ·如果事件 、 相互独立，那么 . ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3.设 ，则“ ”是“ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B   A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B V Sh S h 1 3V Sh S h  1,1,2,3,5A    2,3,4B  { |1 3}C x R x  „ ( )A C B   ,x y 2 0, 2 0, 1, 1, x y x y x y           … … 4z x y   x R 2 5 0x x  | 1| 1x   S A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 5.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于 点 A 和点 B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 6.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A B. C. D. 7.已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ， 则 （ ） A. B. C. D. 8.已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取 2 4y x F l 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    | | 4 | |AB OF O 2 3 5 5log 2a  0.5log 0.2b  0.20.5c  , ,a b c . a c b  a b c  b c a  c a b  ( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x A          y f x  g x  g x 2π 24g      3 8f      2 2 2 2 a R 2 2 2 , 1,( ) ln , 1, x ax a xf x x a x x       „ x ( ) 0f x … R a 值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共 6 小题. 9. 是虚数单位，则 值为__________. 10. 是展开式中的常数项为________. 11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____. 13.设 ，则 的最小值为______. 14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 延长线上， 且 ，则 __________. 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 所对 边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响， 且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天 数恰好多 2”，求事件 发生的概率. 17.如图， 平面 ， ， .  0,1  0,2  0,e  1,e i 5 1 i i   的 8 3 12 8x x     2 5 a R 2 0ax y   2 2cos , 1 2sin x y         a 0, 0, 2 5x y x y    ( 1)(2 1)x y xy   ABCD AD BC∥ 2 3AB  5AD  30A   E CB 的 AE BE BD AE   VABC A B C， ， 的 , ,a b c 2b c a  3 sin 4 sinc B a C cos B sin 2 6B     2 3 X X M M AE  ABCD ,CF AE AD BC∥ ∥ , 1, 2AD AB AB AD AE BC     （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴 上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率. 19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 . （i）求数列 的通项公式； （ii）求 . 20.设函数 为 的导函数. （Ⅰ）求 单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 BF∥ ADE CE BDE E BD F  1 3 CF 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    F B 5 5 P M PB x N y | | | |ON OF O OP MN PB  na  nb 1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4a b b a b a     ，  na  nb  nc 1 1 1, 2 2 ,1, , 2 , k k n k k nc c b n       *k N   2 2 1n na c   2 * 1 n i i i a c n   N ( ) e cos , ( )xf x x g x  f x  f x 的 ,4 2x      ( ) ( ) 02f x g x x     … nx ( ) ( ) 1u x f x  2 ,24 2m m      n N . 2 0 0 2 2 sin cos n nn x x e x      