2018-2019学年河北省武邑中学高二下学期第一次月考数学（理）试题(解析版) 13页

河北省武邑中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 命题“若a>b，则a‎2‎‎>‎b‎2‎”的逆否命题是‎(‎　　‎‎)‎ A. 若a‎2‎‎>‎b‎2‎，则a>b， B. 若a≤b，则a‎2‎‎≤‎b‎2‎ C. 若a‎2‎‎≤‎b‎2‎，则a≤b D. 若a>b，则a‎2‎‎≤‎b‎2‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：命题“若a>b，则a‎2‎‎>‎b‎2‎”， 它的逆否命题是“若a‎2‎‎≤‎b‎2‎，则a≤b”． 故选：C． 根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若‎￢q，则‎￢p”，写出即可． 本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题． ‎ 2. 已知随机变量ξ的分布列如下，则E(ξ)‎的最大值是‎(‎　　‎‎)‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ a P ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎2‎‎+a ‎1‎‎4‎‎-b A. ‎-‎‎5‎‎8‎ B. ‎-‎‎15‎‎64‎ C. ‎-‎‎1‎‎4‎ D. ‎‎-‎‎19‎‎64‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可知：‎1‎‎4‎‎+‎1‎‎2‎+a+‎1‎b-b=1‎，即a-b=0‎ E(ξ)=-‎1‎‎4‎+a(‎1‎‎4‎-b)=-‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎b-b‎2‎=-(b-‎1‎‎8‎‎)‎‎2‎-‎15‎‎64‎≤-‎‎15‎‎64‎． 故选：B． 利用已知条件，求出期望的表达式，然后求解最大值． 本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查转化思想以及计算能力． ‎ 3. 如果随机变量X～N(μ,σ‎2‎)‎，且EX=3‎，DX=1‎，则P(00,b>0)‎左支上的一点，其右焦点为F(c,0)‎，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为‎1‎‎8‎c，则双曲线的离心率e范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(1,8]‎ B. ‎(1,‎4‎‎3‎]‎ C. ‎(‎4‎‎3‎,‎5‎‎3‎)‎ D. ‎‎(2,3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：设双曲线的左焦点为F‎1‎，因为点P是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎左支上的一点， 其右焦点为F(c,0)‎，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为‎1‎‎8‎c， 由三角形中位线定理可知：OM=‎1‎‎2‎PF‎1‎，PF‎1‎=PF-2a，PF≥a+c． 所以‎1‎‎4‎c+2a≥a+c，‎1 ， ‎∴‎该正圆锥面和底面的交线是双曲线弧； 同理可知，P点在平面的交线是双曲线弧， 故选：C． 以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C'‎，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC'‎，设设AC'‎与底面A'B'C'D'‎所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与‎∠MAC'‎的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案． 本题考查了圆锥曲线的几何定义应用，综合性较强，难度较大． ‎ 1. 直线y=x+b与抛物线x‎2‎‎=2y交于A、B两点‎(‎异于坐标原点O)‎，且OA⊥OB，则b的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 2 B. ‎-2‎ C. 1 D. ‎‎-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：联立x‎2‎‎=2yy=x+b，得：x‎2‎‎-2x-2b=0‎． 因为直线y=x+b与抛物线x‎2‎‎=2y交于A、B两点， 则‎(-2‎)‎‎2‎-4×(-2b)=4+8b>0‎． 且x‎1‎‎+x‎2‎=2‎，x‎1‎x‎2‎‎=-2b． y‎1‎y‎2‎‎=(x‎1‎+b)(x‎2‎+b)=x‎1‎x‎2‎+b(x‎1‎+x‎2‎)+b‎2‎ =-2b+2b+b‎2‎=‎b‎2‎． 由OA⊥OB，得OA‎⋅OB=0‎． 即x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎，‎-2b+b‎2‎=0‎，因为b≠0‎，所以b=2‎． 满足‎△=4+8×2=20>0‎． 故选：A． 联立直线和抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积，由OA⊥OB转化为其数量积等于0，代入坐标的乘积后求解b的值． 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用数量及判断两个向量的垂直关系，训练了一元二次方程的根与系数的关系，是中档题． ‎ 1. 已知抛物线C：y‎2‎‎=2px(p>0)‎的准线为l，过M(1,0)‎且斜率为‎3‎的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.‎若AM‎=‎MB，则P的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可得，抛物线C：y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点为‎(p‎2‎,0)‎，准线为l：x=-‎p‎2‎． ‎∵AM=‎MB，‎∴M为AB的中点‎.‎直线方程为y=‎3‎(x-1)‎，由题意可得A(-p‎2‎,-‎3‎‎2‎p-‎3‎)‎， 故由中点公式可得B(p‎2‎+2,‎3‎‎2‎p +‎3‎)‎，把点B的坐标代入抛物线C：y‎2‎‎=2px(p>0)‎可得‎3‎‎4‎p‎2‎‎+3p+3=p‎2‎+4p，  解得  p=2‎， 故选：B． 先求出焦点的坐标和准线方程，判断M为AB的中点，根据A的坐标求出点B的坐标，代入抛物线C的方程，可求出p的值． 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，判断M为AB的中点，并据中点公式求得点B的坐标，是解题的难点． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 将一颗质地均匀的骰子‎(‎一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具‎)‎先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．‎ ‎【答案】‎‎5‎‎6‎ ‎【解析】解：将一颗质地均匀的骰子‎(‎一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具‎)‎先后抛掷2次， 基本事件总数为n=6×6=36‎， 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10， 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有： ‎(4,6)‎，‎(6,4)‎，‎(5,5)‎，‎(5,6)‎，‎(6,5)‎，‎(6,6)‎，共6个， ‎∴‎出现向上的点数之和小于10的概率： p=1-‎6‎‎36‎=‎‎5‎‎6‎． 故答案为：‎5‎‎6‎． 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． ‎ 1. 若椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎m=1‎的离心率为‎1‎‎2‎，则m=‎______．‎ ‎【答案】‎‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ ‎【解析】解：由椭圆标准方程得： ‎(1)‎当‎02‎时，得到b=‎‎2‎，a=‎m， 则c=‎‎-2+m，所以椭圆的离心率e=ca=‎-2+m‎2‎=‎‎1‎‎2‎． 得m=‎‎8‎‎3‎； 综上所述则m=‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ 故答案为：‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ 根据椭圆的标准方程，找出a与b的值，然后根据a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎求出c的值，利用离心率公式e=‎ca，列出关于m的方程即可求出m值． 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，注意分类讨论，是一道基础题． ‎ 2. 双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的焦点F‎1‎、F‎2‎，P为双曲线上的一点，且PF‎1‎⊥PF‎2‎，则点P到x轴的距离为______．‎ ‎【答案】‎‎9‎‎5‎ ‎【解析】解：双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的a=4‎，b=3‎，c=5‎， 设P为双曲线右支上的点，‎|PF‎1‎|=m，‎|PF‎2‎|=n， 由双曲线的定义可得m-n=2a=8‎， PF‎1‎⊥PF‎2‎，可得m‎2‎‎+n‎2‎=4c‎2‎=100‎， 由‎(m-n‎)‎‎2‎=m‎2‎+n‎2‎-2mn=100-2mn=64‎， 即mn=18‎， 由S‎△PF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎mn=‎1‎‎2‎⋅2c⋅h(h为P到x轴的距离‎)‎， 可得h=‎‎9‎‎5‎． 故答案为：‎9‎‎5‎． 求得双曲线的a，b，c，设P为双曲线右支上的点，‎|PF‎1‎|=m，‎|PF‎2‎|=n，由双曲线的定义和勾股定理，结合三角形的面积公式，解方程可得所求距离． 本题考查双曲线的定义和方程，考查三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． ‎ 1. 已知正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA‎1‎，C‎1‎D‎1‎的中点‎.‎下列结论中，正 确结论的序号是______． ‎①‎过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ‎②B‎1‎D‎1‎//‎平面EFG； ‎③BD‎1‎⊥‎平面ACB‎1‎； ‎④‎异面直线EF与BD‎1‎所成角的正切值为‎2‎‎2‎； ‎⑤‎四面体ACB‎1‎D‎1‎的体积等于‎1‎‎2‎a‎3‎ ‎【答案】‎‎①③④‎ ‎【解析】解：延长EF分别与B‎1‎A‎1‎，B‎1‎B的延长线交于N，Q，连接GN交A‎1‎D‎1‎于H，设HG与B‎1‎C‎1‎的延长线交于P，连接PQ交CC‎1‎于I，交BC于M，连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故‎①‎正确； B‎1‎D‎1‎与HG相交，故B‎ ‎‎1‎D‎1‎与平面EFG相交，所以‎②‎不正确； ‎∵BD‎1‎⊥AC，BD‎1‎⊥B‎1‎C，且AC与B‎1‎C相交，所以BD‎1‎⊥‎平面ACB‎1‎，故‎③‎正确； 以D为原点，DA，DC，DD‎1‎分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF与BD‎1‎的夹角的正切值为‎2‎‎2‎，故‎④‎正确； 四面体ACB‎1‎D‎1‎的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为a‎3‎‎-4×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎a‎3‎=‎‎1‎‎3‎a‎3‎，故‎⑤‎不正确． 故答案为：‎①③④‎ 根据公里3，作截面可知‎①‎正确；根据直线与平面的位置关系可知‎②‎不正确；根据线面垂直的判定定理可知‎③‎正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知‎④‎正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知‎⑤‎不正确． 本题考查了命题的真假判断与应用，属难题． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 2. 已知二项式‎(x‎2‎+‎1‎‎2‎x‎)‎n(n∈N*)‎展开式中，前三项的二项式系数和是56，求： ‎(‎Ⅰ‎)n的值； ‎(‎Ⅱ‎)‎展开式中的常数项．‎ ‎【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)Cn‎0‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎=56…2‎分 ‎⇒1+n+n(n-1)‎‎2‎=56⇒n‎2‎+n-110=0⇒n=10‎，n=-11(‎舍去‎).…5‎分 ‎(‎Ⅱ‎)(x‎2‎+‎‎1‎‎2‎x‎)‎‎10‎展开式的第r+1‎项是 C‎10‎r‎(x‎2‎‎)‎‎10-r(‎1‎‎2‎x‎)‎r=C‎10‎r(‎‎1‎‎2‎‎)‎rx‎20-‎‎5r‎2‎，‎20-‎5r‎2‎=0⇒r=8‎，‎…10‎分 故展开式中的常数项是C‎10‎‎8‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎8‎=‎45‎‎256‎.…12‎分．‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎利用已知条件列出方程，即可求解n的值； ‎(‎Ⅱ‎)‎利用展开式，通过x的幂指数为0，转化求解即可． 本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质的应用，考查计算能力． ‎ 1. 在锐角‎△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且‎3‎a=2csinA ‎(1)‎确定角C的大小； ‎(2)‎若c=‎‎7‎，且‎△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎2‎，求a+b的值．‎ ‎【答案】解：‎(1)∵‎3‎a=2csinA ‎∴‎正弦定理得‎3‎sinA=2sinCsinA， ‎∵A锐角， ‎∴sinA>0‎， ‎∴sinC=‎‎3‎‎2‎， 又‎∵C锐角， ‎∴C=π‎3‎ (2)‎三角形ABC中，由余弦定理得c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-2abcosC 即‎7=a‎2‎+b‎2‎-ab， 又由‎△ABC的面积得S=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎ab‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎． 即ab=6‎， ‎∴(a+b‎)‎‎2‎=a‎2‎+b‎2‎+2ab=25 ‎由于a+b为正，所以a+b=5‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C． ‎(2)‎利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a‎2‎‎+‎b‎2‎的值，最后求得a+b的值． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用‎.‎考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． ‎ 2. 已知f(x)=xlnx，g(x)=-x‎2‎+ax-3‎． ‎(1)‎求函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值； ‎(2)‎对一切x∈(0,+∞)‎，‎2f(x)≥g(x)‎恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：‎(1)∵f(x)=xlnx， ，‎…(1‎分‎)‎ 当x∈(0,‎1‎e),f'(x)<0,f(x)‎单调递减， 当x∈(‎1‎e,+∞),f'(x)>0,f(x)‎单调递增，‎…(3‎分‎)‎ ‎①00)‎， 则h'(x)=‎‎(x+3)(x-1)‎x‎2‎，‎…(10‎分‎)‎ ‎①x∈(0,1)‎，，h(x)‎单调递减， ‎②x∈(1,+∞)‎， 0'/>，h(x)‎单调递增， 所以h(x‎)‎min=h(1)=4‎， 对一切x∈(0,+∞)‎，‎2f(x)≥g(x)‎恒成立， ‎∵g(x)=-x‎2‎+ax-3.‎所以a≤h(x‎)‎min=4‎；‎…(13‎分‎)‎ ‎【解析】，当x∈(0,‎1‎e),f'(x)<0,f(x)‎单调递减，当x∈(‎1‎e,+∞),f'(x)>0,f(x)‎单调递增，由此进行分类讨论，能求出函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值． ‎(2)‎由‎2xlnx≥-x‎2‎+ax-3‎，知a≤2lnx+x+‎‎3‎x，设h(x)=2lnx+x+‎3‎x(x>0)‎，则h'(x)=‎‎(x+3)(x-1)‎x‎2‎，由此入手能够求出实数a的取值范围． 本题考查求函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值；对一切x∈(0,+∞)‎，‎2f(x)≥g(x)‎恒成立，求实数a的取值范围‎.‎解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． ‎ 1. 如图，已知三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的侧棱与底面垂直，AA‎1‎=AB=AC=1‎，且AB⊥AC，M是CC‎1‎的中点，N是BC的中点，点P在直线A‎1‎B‎1‎上，且满足A‎1‎P‎=λA‎1‎B‎1‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎证明：PN⊥AM ‎(‎Ⅱ‎)‎当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎时，试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小．‎ ‎【答案】证明：‎(‎Ⅰ‎)‎三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的侧棱与底面垂直，AA‎1‎=AB=AC=1‎，且AB⊥AC， M是CC‎1‎的中点，N是BC的中点，点P在直线A‎1‎B‎1‎上，且满足A‎1‎P‎=λA‎1‎B‎1‎ 以AB‎,AC,‎AA‎1‎分别作为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，如图， 则A(0,‎0，‎0)‎，B(1,‎0，‎0)‎，C(0,‎1，‎0)‎，A‎1‎‎(0,‎0，‎1)‎，B‎1‎‎(1,‎0‎ ‎，‎1)‎， ‎∵M是CC‎1‎的中点，N是BC的中点，‎∴M(0,‎1，‎1‎‎2‎‎)‎，N(‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎,0)‎， ‎∵A‎1‎P=λA‎1‎B‎1‎，‎∴P(λ,‎0，‎1)‎， PN‎=(‎1‎‎2‎-λ,‎1‎‎2‎,-1)‎，AM‎=(0,‎1，‎1‎‎2‎‎)‎， PN‎⋅AM=0+‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎=0‎， ‎∴PN⊥AM． 解：‎(‎Ⅱ‎)MP=(λ,-1,‎1‎‎2‎)‎，MN‎=(‎1‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎， 设平面PMN的一个法向量为n‎=(x,‎y，z)‎， 则n‎⋅MP=0‎n‎⋅MN=0‎，即λx-y+‎1‎‎2‎z=0‎‎1‎‎2‎x-‎1‎‎2‎y+‎1‎‎2‎z=0‎， 令z=2‎，则n‎=(‎1‎λ-1‎,‎2λ-1‎λ-1‎,2)‎， 又平面ABC的一个法向量为m‎=(0,‎0，‎1)‎，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎， ‎∴cosπ‎4‎=‎‎|n⋅m|‎‎|n|⋅|m|‎，‎∴‎[2(λ-1)‎‎]‎‎2‎‎1+(2λ-1‎)‎‎2‎+(2λ-2‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎， 解得λ=-‎‎1‎‎2‎，此时P(-‎1‎‎2‎,0,1)‎， ‎∴MP=(-‎1‎‎2‎,-1,‎1‎‎2‎)‎，cos=‎1‎‎2‎‎1‎‎4‎‎+1+‎1‎‎4‎×1‎=‎‎6‎‎6‎． ‎∴‎直线PM与平面ABC所成角的正弦值为‎6‎‎6‎．‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎以AB‎,AC,‎AA‎1‎分别作为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明PN⊥AM． ‎(‎Ⅱ‎)‎求出平面PMN的一个法向量和平面ABC的一个法向量，由平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎，得λ=-‎‎1‎‎2‎，从而P(-‎1‎‎2‎,0,1)‎，利用向量法能求出直线PM与平面ABC所成角的正弦值． 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． ‎ 1. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥‎平面CBD，AE⊥‎平面ABD，且AE=‎‎2‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎求证：DE⊥AC； ‎(‎Ⅱ‎)‎求DE与平面BEC所成角的正弦值； ‎(‎Ⅲ‎)‎直线BE上是否存在一点M，使得CM//‎平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．‎ ‎【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则E(0,‎0，‎2‎‎)‎，B(2,‎0，‎0)D(0‎，2，‎0)‎， 做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=‎‎2‎ 又‎∵‎平面BDA⊥‎平面BDC，‎∴CF⊥‎平面BDA， 所以C的坐标为C(1,‎1，‎2‎‎)‎ ‎∴DE=(0,-2,‎2‎)‎，AC‎=(1,‎1，‎2‎‎)‎ ‎∴DE⋅AC=(0,-2,‎2‎)⋅(1,‎1，‎2‎‎)=0‎ 故DE‎⊥AC ‎(‎Ⅱ‎)‎设平面BCE的法向量为n‎=(x,‎y，z)‎ 则 n‎⋅EB=0‎N‎⋅CB=0‎，即‎2x-‎2‎z=0‎x-y-‎2‎z=0‎‎∴‎z=‎‎2‎y=-x 令x=1‎得n‎=(1,-1,‎2‎)‎    又DE‎=(0,-2,‎2‎)‎ 设平面DE与平面BCE所成角为θ，则 sinθ=|cos<‎n，DE‎>|=‎|n⋅DE|‎‎|n|‎|‎DE|‎=‎‎6‎‎3‎ ‎(III)‎假设存在点M使得CM//‎面ADE，则EM‎=λEB EB‎=(2,‎0，‎-‎2‎)‎，‎∴EM=(2λ,‎0，‎-‎2‎λ)‎  得M(2λ,‎0，‎2‎‎-‎2‎λ)‎ 又因为AE⊥‎平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥‎平面ADE 因为CM//‎面ADE，则CM‎⊥‎AB 即CM‎⋅AB=0‎ 得‎2λ-1=0∴λ=‎‎1‎‎2‎ 故点M为BE的中点时CM//‎面ADE．‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎借助空间向量来证 DE⊥AC，只需在空间直角坐标系下，证明DE‎⋅AC=0‎ 即可‎.‎以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再写出定点E，A，B，D的坐标，求出C点坐标，向量DE，AC坐标，再计算‎(‎Ⅱ‎)DE⋅‎AC，看是否为0． ‎(‎Ⅱ‎)DE与平面BEC所成角，也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角，设平面BCE的法向量为n‎=(x,‎y，z)‎ 则 根据法向量与平面内任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐标，再求平面BCE的法向量与DE所成角，最后求出该角的余角即可． ‎(III)‎先假设直线BE上存在一点M，使得CM//‎平面ADE，向量CM垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算‎.‎如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在． ‎ 夲题考查了用空间向量求证线线垂直，线面平行，以及线面角，属于常规题，需掌握． ‎ 1. 已知P(-2‎2‎,0),Q(2‎2‎,0)‎，动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎，设动点M的轨迹为曲线C． ‎(1)‎求曲线C的方程； ‎(2)‎已知直线y=k(x-1)‎与曲线C交于A、B两点，若点N(‎11‎‎4‎,0)‎，求证：NA‎⋅‎NB为定值．‎ ‎【答案】‎(‎本题满分‎(14‎分‎)‎；第‎(1)‎小题‎(6‎分‎)‎，第‎(2)‎小题8分‎)‎ 解：‎(1)‎设动点M(x,y)‎，P(-2‎2‎,0),Q(2‎2‎,0)‎，动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎， 可得：yx+2‎‎2‎‎⋅yx-2‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，即x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎． 曲线C的方程：x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎． ‎(2)‎由y=k(x-1)‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎，得‎(2k‎2‎+1)x‎2‎-4k‎2‎x+2k‎2‎-8=0‎， 设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎， 由韦达定理得：x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎， ‎∴NA⋅NB=(x‎1‎-‎11‎‎4‎,y‎1‎)⋅(x‎2‎-‎11‎‎4‎,y‎2‎)‎， ‎=x‎1‎x‎2‎-‎11‎‎4‎(x‎1‎+x‎2‎)+‎121‎‎16‎+k‎2‎(x‎1‎-1)(x‎2‎-1) ‎‎=(k‎2‎+1)x‎1‎x‎2‎-(‎11‎‎4‎+k‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎)+x‎2‎+‎121‎‎16‎ ‎‎=(k‎2‎+1)‎2k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎-(‎11‎‎4‎+k‎2‎)‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎+k‎2‎+‎121‎‎16‎ =‎-16k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎+‎121‎‎16‎=-‎‎7‎‎16‎， ‎∴NA⋅‎NB为定值‎-‎‎7‎‎16‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎设出M的坐标，利用动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎，列出方程求解即可． ‎(2)‎联立直线与曲线方程，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，利用韦达定理结合已知条件能证明NA‎⋅‎NB为定值． 本题考查轨迹方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用． ‎