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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年河北省武邑中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

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河北省武邑中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 命题“若a>b,则a‎2‎‎>‎b‎2‎”的逆否命题是‎(‎  ‎‎)‎ A. 若a‎2‎‎>‎b‎2‎,则a>b, B. 若a≤b,则a‎2‎‎≤‎b‎2‎ C. 若a‎2‎‎≤‎b‎2‎,则a≤b D. 若a>b,则a‎2‎‎≤‎b‎2‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:命题“若a>b,则a‎2‎‎>‎b‎2‎”, 它的逆否命题是“若a‎2‎‎≤‎b‎2‎,则a≤b”. 故选:C. 根据命题“若p,则q”的逆否命题是“若‎¬q,则‎¬p”,写出即可. 本题考查了四种命题之间的关系与应用问题,是基础题. ‎ 2. 已知随机变量ξ的分布列如下,则E(ξ)‎的最大值是‎(‎  ‎‎)‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ a P ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎2‎‎+a ‎1‎‎4‎‎-b A. ‎-‎‎5‎‎8‎ B. ‎-‎‎15‎‎64‎ C. ‎-‎‎1‎‎4‎ D. ‎‎-‎‎19‎‎64‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:由题意可知:‎1‎‎4‎‎+‎1‎‎2‎+a+‎1‎b-b=1‎,即a-b=0‎ E(ξ)=-‎1‎‎4‎+a(‎1‎‎4‎-b)=-‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎b-b‎2‎=-(b-‎1‎‎8‎‎)‎‎2‎-‎15‎‎64‎≤-‎‎15‎‎64‎. 故选:B. 利用已知条件,求出期望的表达式,然后求解最大值. 本题考查离散型随机变量的期望的求法,考查转化思想以及计算能力. ‎ 3. 如果随机变量X~N(μ,σ‎2‎)‎,且EX=3‎,DX=1‎,则P(00,b>0)‎左支上的一点,其右焦点为F(c,0)‎,若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为‎1‎‎8‎c,则双曲线的离心率e范围是‎(‎  ‎‎)‎ A. ‎(1,8]‎ B. ‎(1,‎4‎‎3‎]‎ C. ‎(‎4‎‎3‎,‎5‎‎3‎)‎ D. ‎‎(2,3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:设双曲线的左焦点为F‎1‎,因为点P是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎左支上的一点, 其右焦点为F(c,0)‎,若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为‎1‎‎8‎c, 由三角形中位线定理可知:OM=‎1‎‎2‎PF‎1‎,PF‎1‎=PF-2a,PF≥a+c. 所以‎1‎‎4‎c+2a≥a+c,‎1 , ‎∴‎该正圆锥面和底面的交线是双曲线弧; 同理可知,P点在平面的交线是双曲线弧, 故选:C. 以A点为坐标原点建立空间直角坐标系,可求得A,C'‎,M等点的坐标,从而可求得cos∠MAC'‎,设设AC'‎与底面A'B'C'D'‎所成的角为θ,继而可求得cosθ,比较θ与‎∠MAC'‎的大小,利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线,即可得到答案. 本题考查了圆锥曲线的几何定义应用,综合性较强,难度较大. ‎ 1. 直线y=x+b与抛物线x‎2‎‎=2y交于A、B两点‎(‎异于坐标原点O)‎,且OA⊥OB,则b的值为‎(‎  ‎‎)‎ A. 2 B. ‎-2‎ C. 1 D. ‎‎-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:联立x‎2‎‎=2yy=x+b,得:x‎2‎‎-2x-2b=0‎. 因为直线y=x+b与抛物线x‎2‎‎=2y交于A、B两点, 则‎(-2‎)‎‎2‎-4×(-2b)=4+8b>0‎. 且x‎1‎‎+x‎2‎=2‎,x‎1‎x‎2‎‎=-2b. y‎1‎y‎2‎‎=(x‎1‎+b)(x‎2‎+b)=x‎1‎x‎2‎+b(x‎1‎+x‎2‎)+b‎2‎ =-2b+2b+b‎2‎=‎b‎2‎. 由OA⊥OB,得OA‎⋅OB=0‎. 即x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎,‎-2b+b‎2‎=0‎,因为b≠0‎,所以b=2‎. 满足‎△=4+8×2=20>0‎. 故选:A. 联立直线和抛物线方程,化为关于x 的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积,由OA⊥OB转化为其数量积等于0,代入坐标的乘积后求解b的值. 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了利用数量及判断两个向量的垂直关系,训练了一元二次方程的根与系数的关系,是中档题. ‎ 1. 已知抛物线C:y‎2‎‎=2px(p>0)‎的准线为l,过M(1,0)‎且斜率为‎3‎的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.‎若AM‎=‎MB,则P的值为‎(‎  ‎‎)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:由题意可得,抛物线C:y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点为‎(p‎2‎,0)‎,准线为l:x=-‎p‎2‎. ‎∵AM=‎MB,‎∴M为AB的中点‎.‎直线方程为y=‎3‎(x-1)‎,由题意可得A(-p‎2‎,-‎3‎‎2‎p-‎3‎)‎, 故由中点公式可得B(p‎2‎+2,‎3‎‎2‎p +‎3‎)‎,把点B的坐标代入抛物线C:y‎2‎‎=2px(p>0)‎可得‎3‎‎4‎p‎2‎‎+3p+3=p‎2‎+4p,  解得  p=2‎, 故选:B. 先求出焦点的坐标和准线方程,判断M为AB的中点,根据A的坐标求出点B的坐标,代入抛物线C的方程,可求出p的值. 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,判断M为AB的中点,并据中点公式求得点B的坐标,是解题的难点. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 2. 将一颗质地均匀的骰子‎(‎一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具‎)‎先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是______.‎ ‎【答案】‎‎5‎‎6‎ ‎【解析】解:将一颗质地均匀的骰子‎(‎一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具‎)‎先后抛掷2次, 基本事件总数为n=6×6=36‎, 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10, 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有: ‎(4,6)‎,‎(6,4)‎,‎(5,5)‎,‎(5,6)‎,‎(6,5)‎,‎(6,6)‎,共6个, ‎∴‎出现向上的点数之和小于10的概率: p=1-‎6‎‎36‎=‎‎5‎‎6‎. 故答案为:‎5‎‎6‎. 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10,由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率. 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用. ‎ 1. 若椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎m=1‎的离心率为‎1‎‎2‎,则m=‎______.‎ ‎【答案】‎‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ ‎【解析】解:由椭圆标准方程得: ‎(1)‎当‎02‎时,得到b=‎‎2‎,a=‎m, 则c=‎‎-2+m,所以椭圆的离心率e=ca=‎-2+m‎2‎=‎‎1‎‎2‎. 得m=‎‎8‎‎3‎; 综上所述则m=‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ 故答案为:‎3‎‎2‎或‎8‎‎3‎ 根据椭圆的标准方程,找出a与b的值,然后根据a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎求出c的值,利用离心率公式e=‎ca,列出关于m的方程即可求出m值. 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法,灵活运用椭圆的简单性质化简求值,注意分类讨论,是一道基础题. ‎ 2. 双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的焦点F‎1‎、F‎2‎,P为双曲线上的一点,且PF‎1‎⊥PF‎2‎,则点P到x轴的距离为______.‎ ‎【答案】‎‎9‎‎5‎ ‎【解析】解:双曲线x‎2‎‎16‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的a=4‎,b=3‎,c=5‎, 设P为双曲线右支上的点,‎|PF‎1‎|=m,‎|PF‎2‎|=n, 由双曲线的定义可得m-n=2a=8‎, PF‎1‎⊥PF‎2‎,可得m‎2‎‎+n‎2‎=4c‎2‎=100‎, 由‎(m-n‎)‎‎2‎=m‎2‎+n‎2‎-2mn=100-2mn=64‎, 即mn=18‎, 由S‎△PF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎mn=‎1‎‎2‎⋅2c⋅h(h为P到x轴的距离‎)‎, 可得h=‎‎9‎‎5‎. 故答案为:‎9‎‎5‎. 求得双曲线的a,b,c,设P为双曲线右支上的点,‎|PF‎1‎|=m,‎|PF‎2‎|=n,由双曲线的定义和勾股定理,结合三角形的面积公式,解方程可得所求距离. 本题考查双曲线的定义和方程,考查三角形的勾股定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于基础题. ‎ 1. 已知正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA‎1‎,C‎1‎D‎1‎的中点‎.‎下列结论中,正 确结论的序号是______. ‎①‎过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形; ‎②B‎1‎D‎1‎//‎平面EFG; ‎③BD‎1‎⊥‎平面ACB‎1‎; ‎④‎异面直线EF与BD‎1‎所成角的正切值为‎2‎‎2‎; ‎⑤‎四面体ACB‎1‎D‎1‎的体积等于‎1‎‎2‎a‎3‎ ‎【答案】‎‎①③④‎ ‎【解析】解:延长EF分别与B‎1‎A‎1‎,B‎1‎B的延长线交于N,Q,连接GN交A‎1‎D‎1‎于H,设HG与B‎1‎C‎1‎的延长线交于P,连接PQ交CC‎1‎于I,交BC于M,连FH,HG,GI,IM,ME,则截面六边形EFHGIM为正六边形,故‎①‎正确; B‎1‎D‎1‎与HG相交,故B‎ ‎‎1‎D‎1‎与平面EFG相交,所以‎②‎不正确; ‎∵BD‎1‎⊥AC,BD‎1‎⊥B‎1‎C,且AC与B‎1‎C相交,所以BD‎1‎⊥‎平面ACB‎1‎,故‎③‎正确; 以D为原点,DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF与BD‎1‎的夹角的正切值为‎2‎‎2‎,故‎④‎正确; 四面体ACB‎1‎D‎1‎的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为a‎3‎‎-4×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎a‎3‎=‎‎1‎‎3‎a‎3‎,故‎⑤‎不正确. 故答案为:‎①③④‎ 根据公里3,作截面可知‎①‎正确;根据直线与平面的位置关系可知‎②‎不正确;根据线面垂直的判定定理可知‎③‎正确;根据空间向量夹角的坐标公式可知‎④‎正确;用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知‎⑤‎不正确. 本题考查了命题的真假判断与应用,属难题. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ 2. 已知二项式‎(x‎2‎+‎1‎‎2‎x‎)‎n(n∈N*)‎展开式中,前三项的二项式系数和是56,求: ‎(‎Ⅰ‎)n的值; ‎(‎Ⅱ‎)‎展开式中的常数项.‎ ‎【答案】解:‎(‎Ⅰ‎)Cn‎0‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎=56…2‎分 ‎⇒1+n+n(n-1)‎‎2‎=56⇒n‎2‎+n-110=0⇒n=10‎,n=-11(‎舍去‎).…5‎分 ‎(‎Ⅱ‎)(x‎2‎+‎‎1‎‎2‎x‎)‎‎10‎展开式的第r+1‎项是 C‎10‎r‎(x‎2‎‎)‎‎10-r(‎1‎‎2‎x‎)‎r=C‎10‎r(‎‎1‎‎2‎‎)‎rx‎20-‎‎5r‎2‎,‎20-‎5r‎2‎=0⇒r=8‎,‎…10‎分 故展开式中的常数项是C‎10‎‎8‎‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎8‎=‎45‎‎256‎.…12‎分.‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎利用已知条件列出方程,即可求解n的值; ‎(‎Ⅱ‎)‎利用展开式,通过x的幂指数为0,转化求解即可. 本题考查二项式定理的应用,二项式定理系数的性质的应用,考查计算能力. ‎ 1. 在锐角‎△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且‎3‎a=2csinA ‎(1)‎确定角C的大小; ‎(2)‎若c=‎‎7‎,且‎△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎2‎,求a+b的值.‎ ‎【答案】解:‎(1)∵‎3‎a=2csinA ‎∴‎正弦定理得‎3‎sinA=2sinCsinA, ‎∵A锐角, ‎∴sinA>0‎, ‎∴sinC=‎‎3‎‎2‎, 又‎∵C锐角, ‎∴C=π‎3‎ (2)‎三角形ABC中,由余弦定理得c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-2abcosC 即‎7=a‎2‎+b‎2‎-ab, 又由‎△ABC的面积得S=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎ab‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎. 即ab=6‎, ‎∴(a+b‎)‎‎2‎=a‎2‎+b‎2‎+2ab=25 ‎由于a+b为正,所以a+b=5‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦,整理可求得sinC,进而求得C. ‎(2)‎利用三角形面积求得ab的值,利用余弦定理求得a‎2‎‎+‎b‎2‎的值,最后求得a+b的值. 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用‎.‎考查了学生对三角函数基础知识的综合运用. ‎ 2. 已知f(x)=xlnx,g(x)=-x‎2‎+ax-3‎. ‎(1)‎求函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值; ‎(2)‎对一切x∈(0,+∞)‎,‎2f(x)≥g(x)‎恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】解:‎(1)∵f(x)=xlnx, ,‎…(1‎分‎)‎ 当x∈(0,‎1‎e),f'(x)<0,f(x)‎单调递减, 当x∈(‎1‎e,+∞),f'(x)>0,f(x)‎单调递增,‎…(3‎分‎)‎ ‎①00)‎, 则h'(x)=‎‎(x+3)(x-1)‎x‎2‎,‎…(10‎分‎)‎ ‎①x∈(0,1)‎,,h(x)‎单调递减, ‎②x∈(1,+∞)‎, 0'/>,h(x)‎单调递增, 所以h(x‎)‎min=h(1)=4‎, 对一切x∈(0,+∞)‎,‎2f(x)≥g(x)‎恒成立, ‎∵g(x)=-x‎2‎+ax-3.‎所以a≤h(x‎)‎min=4‎;‎…(13‎分‎)‎ ‎【解析】,当x∈(0,‎1‎e),f'(x)<0,f(x)‎单调递减,当x∈(‎1‎e,+∞),f'(x)>0,f(x)‎单调递增,由此进行分类讨论,能求出函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值. ‎(2)‎由‎2xlnx≥-x‎2‎+ax-3‎,知a≤2lnx+x+‎‎3‎x,设h(x)=2lnx+x+‎3‎x(x>0)‎,则h'(x)=‎‎(x+3)(x-1)‎x‎2‎,由此入手能够求出实数a的取值范围. 本题考查求函数f(x)‎在‎[t,t+2](t>0)‎上的最小值;对一切x∈(0,+∞)‎,‎2f(x)≥g(x)‎恒成立,求实数a的取值范围‎.‎解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用. ‎ 1. 如图,已知三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的侧棱与底面垂直,AA‎1‎=AB=AC=1‎,且AB⊥AC,M是CC‎1‎的中点,N是BC的中点,点P在直线A‎1‎B‎1‎上,且满足A‎1‎P‎=λA‎1‎B‎1‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎证明:PN⊥AM ‎(‎Ⅱ‎)‎当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎时,试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小.‎ ‎【答案】证明:‎(‎Ⅰ‎)‎三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的侧棱与底面垂直,AA‎1‎=AB=AC=1‎,且AB⊥AC, M是CC‎1‎的中点,N是BC的中点,点P在直线A‎1‎B‎1‎上,且满足A‎1‎P‎=λA‎1‎B‎1‎ 以AB‎,AC,‎AA‎1‎分别作为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz,如图, 则A(0,‎0,‎0)‎,B(1,‎0,‎0)‎,C(0,‎1,‎0)‎,A‎1‎‎(0,‎0,‎1)‎,B‎1‎‎(1,‎0‎ ‎,‎1)‎, ‎∵M是CC‎1‎的中点,N是BC的中点,‎∴M(0,‎1,‎1‎‎2‎‎)‎,N(‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎,0)‎, ‎∵A‎1‎P=λA‎1‎B‎1‎,‎∴P(λ,‎0,‎1)‎, PN‎=(‎1‎‎2‎-λ,‎1‎‎2‎,-1)‎,AM‎=(0,‎1,‎1‎‎2‎‎)‎, PN‎⋅AM=0+‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎=0‎, ‎∴PN⊥AM. 解:‎(‎Ⅱ‎)MP=(λ,-1,‎1‎‎2‎)‎,MN‎=(‎1‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎, 设平面PMN的一个法向量为n‎=(x,‎y,z)‎, 则n‎⋅MP=0‎n‎⋅MN=0‎,即λx-y+‎1‎‎2‎z=0‎‎1‎‎2‎x-‎1‎‎2‎y+‎1‎‎2‎z=0‎, 令z=2‎,则n‎=(‎1‎λ-1‎,‎2λ-1‎λ-1‎,2)‎, 又平面ABC的一个法向量为m‎=(0,‎0,‎1)‎,平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎, ‎∴cosπ‎4‎=‎‎|n⋅m|‎‎|n|⋅|m|‎,‎∴‎[2(λ-1)‎‎]‎‎2‎‎1+(2λ-1‎)‎‎2‎+(2λ-2‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎, 解得λ=-‎‎1‎‎2‎,此时P(-‎1‎‎2‎,0,1)‎, ‎∴MP=(-‎1‎‎2‎,-1,‎1‎‎2‎)‎,cos=‎1‎‎2‎‎1‎‎4‎‎+1+‎1‎‎4‎×1‎=‎‎6‎‎6‎. ‎∴‎直线PM与平面ABC所成角的正弦值为‎6‎‎6‎.‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎以AB‎,AC,‎AA‎1‎分别作为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能证明PN⊥AM. ‎(‎Ⅱ‎)‎求出平面PMN的一个法向量和平面ABC的一个法向量,由平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为π‎4‎,得λ=-‎‎1‎‎2‎,从而P(-‎1‎‎2‎,0,1)‎,利用向量法能求出直线PM与平面ABC所成角的正弦值. 本题考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. ‎ 1. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥‎平面CBD,AE⊥‎平面ABD,且AE=‎‎2‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎求证:DE⊥AC; ‎(‎Ⅱ‎)‎求DE与平面BEC所成角的正弦值; ‎(‎Ⅲ‎)‎直线BE上是否存在一点M,使得CM//‎平面ADE,若存在,求点M的位置,不存在请说明理由.‎ ‎【答案】解:‎(‎Ⅰ‎)‎以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则E(0,‎0,‎2‎‎)‎,B(2,‎0,‎0)D(0‎,2,‎0)‎, 做BD的中点F并连接CF,AF;由题意可得CF⊥BD且AF=CF=‎‎2‎ 又‎∵‎平面BDA⊥‎平面BDC,‎∴CF⊥‎平面BDA, 所以C的坐标为C(1,‎1,‎2‎‎)‎ ‎∴DE=(0,-2,‎2‎)‎,AC‎=(1,‎1,‎2‎‎)‎ ‎∴DE⋅AC=(0,-2,‎2‎)⋅(1,‎1,‎2‎‎)=0‎ 故DE‎⊥AC ‎(‎Ⅱ‎)‎设平面BCE的法向量为n‎=(x,‎y,z)‎ 则 n‎⋅EB=0‎N‎⋅CB=0‎,即‎2x-‎2‎z=0‎x-y-‎2‎z=0‎‎∴‎z=‎‎2‎y=-x 令x=1‎得n‎=(1,-1,‎2‎)‎    又DE‎=(0,-2,‎2‎)‎ 设平面DE与平面BCE所成角为θ,则 sinθ=|cos<‎n,DE‎>|=‎|n⋅DE|‎‎|n|‎|‎DE|‎=‎‎6‎‎3‎ ‎(III)‎假设存在点M使得CM//‎面ADE,则EM‎=λEB EB‎=(2,‎0,‎-‎2‎)‎,‎∴EM=(2λ,‎0,‎-‎2‎λ)‎  得M(2λ,‎0,‎2‎‎-‎2‎λ)‎ 又因为AE⊥‎平面ABD,AB⊥AD  所以AB⊥‎平面ADE 因为CM//‎面ADE,则CM‎⊥‎AB 即CM‎⋅AB=0‎ 得‎2λ-1=0∴λ=‎‎1‎‎2‎ 故点M为BE的中点时CM//‎面ADE.‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎借助空间向量来证 DE⊥AC,只需在空间直角坐标系下,证明DE‎⋅AC=0‎ 即可‎.‎以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再写出定点E,A,B,D的坐标,求出C点坐标,向量DE,AC坐标,再计算‎(‎Ⅱ‎)DE⋅‎AC,看是否为0. ‎(‎Ⅱ‎)DE与平面BEC所成角,也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角,设平面BCE的法向量为n‎=(x,‎y,z)‎ 则 根据法向量与平面内任意向量垂直,即可求出平面BCE的法向量坐标,再求平面BCE的法向量与DE所成角,最后求出该角的余角即可. ‎(III)‎先假设直线BE上存在一点M,使得CM//‎平面ADE,向量CM垂直于平面ADE的法向量,再利用垂直时数量积为0来计算‎.‎如能计算出参数λ的值,则存在,否则,不存在. ‎ 夲题考查了用空间向量求证线线垂直,线面平行,以及线面角,属于常规题,需掌握. ‎ 1. 已知P(-2‎2‎,0),Q(2‎2‎,0)‎,动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎,设动点M的轨迹为曲线C. ‎(1)‎求曲线C的方程; ‎(2)‎已知直线y=k(x-1)‎与曲线C交于A、B两点,若点N(‎11‎‎4‎,0)‎,求证:NA‎⋅‎NB为定值.‎ ‎【答案】‎(‎本题满分‎(14‎分‎)‎;第‎(1)‎小题‎(6‎分‎)‎,第‎(2)‎小题8分‎)‎ 解:‎(1)‎设动点M(x,y)‎,P(-2‎2‎,0),Q(2‎2‎,0)‎,动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎, 可得:yx+2‎‎2‎‎⋅yx-2‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎,即x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎. 曲线C的方程:x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎. ‎(2)‎由y=k(x-1)‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎,得‎(2k‎2‎+1)x‎2‎-4k‎2‎x+2k‎2‎-8=0‎, 设A(x‎1‎,y‎1‎)‎,B(x‎2‎,y‎2‎)‎, 由韦达定理得:x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎, ‎∴NA⋅NB=(x‎1‎-‎11‎‎4‎,y‎1‎)⋅(x‎2‎-‎11‎‎4‎,y‎2‎)‎, ‎=x‎1‎x‎2‎-‎11‎‎4‎(x‎1‎+x‎2‎)+‎121‎‎16‎+k‎2‎(x‎1‎-1)(x‎2‎-1) ‎‎=(k‎2‎+1)x‎1‎x‎2‎-(‎11‎‎4‎+k‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎)+x‎2‎+‎121‎‎16‎ ‎‎=(k‎2‎+1)‎2k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎-(‎11‎‎4‎+k‎2‎)‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎+k‎2‎+‎121‎‎16‎ =‎-16k‎2‎-8‎‎2k‎2‎+1‎+‎121‎‎16‎=-‎‎7‎‎16‎, ‎∴NA⋅‎NB为定值‎-‎‎7‎‎16‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎设出M的坐标,利用动点M满足kMP‎⋅kMQ=-‎‎1‎‎2‎,列出方程求解即可. ‎(2)‎联立直线与曲线方程,设A(x‎1‎,y‎1‎)‎,B(x‎2‎,y‎2‎)‎,利用韦达定理结合已知条件能证明NA‎⋅‎NB为定值. 本题考查轨迹方程的求法,考查向量的数量积为定值的证明,解题时要认真审题,注意椭圆的简单性质的合理运用. ‎

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