江西省吉安市吉水县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

www.ks5u.com 数学试卷 一．选择题．‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据交集的定义即可求出A∩B．‎ ‎【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}． 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，是基础题.‎ ‎2.函数 的定义域为， 的定义域为，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出的范围，再求交集。‎ ‎【详解】要使函数有意义，则，解得 ‎ 所以 ‎ 要使函数有意义，则，解得 ‎ 所以 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的定义域以及交集，属于简单题。‎ ‎3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域和值域，以及函数的图象之间的关系，分别进行判定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，对于A中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ 对于B中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；‎ 对于C中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ 对于D中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.函数恒过定点，则( )‎ A. B. C. -2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令解析式中的指数2x+b＝0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标，结合条件列出关于b的方程，解之即得．‎ ‎【详解】令2x+b＝0解得，x，代入y＝a2x+b+1得，y＝2，‎ ‎∴函数图象过定点（，2），‎ 又函数y＝a2x+b+1（a＞0且a≠1，b为实数）的图象恒过定点（1，2），‎ ‎∴1，‎ ‎∴b＝﹣2‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的单调性与特殊点、指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0求出对应的x和y的值．‎ ‎5.已知函数，若，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数为增函数，再根据，，的大小关系比较的大小关系.‎ ‎【详解】函数为增函数，‎ ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，比较大小，利用函数的单调性可以简化运算.‎ ‎6.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。‎ ‎7.函数f（x）=值域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出指数的范围，结合指数函数单调性求出值域.‎ ‎【详解】令，为减函数，所以，结合可得C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合型函数的值域问题.主要思路是利用换元法把复合函数拆分为简单的初等函数，各个击破.‎ ‎8.若函数且在R上为减函数，则函数的图象可以是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为减函数，得，又由当时，函数，在根据图象的变换和函数的奇偶性，即可得到函数图象，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数 且在R上为减函数，可得，‎ 又由函数的定义域为或，‎ 当时，函数，‎ 将函数的图象向右平移1个单位，即可得到函数的图象，‎ 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若，则可化为：，即，解得，若，则可化为：，即，解得，综上实数的取值范围是，故选C.‎ ‎10.关于的方程至少有一个正的实根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析方程没有正实数根时a的取值范围，然后求解其补集即可.‎ ‎【详解】首先分析方程没有正实数根时a的取值范围：‎ 当时，方程为，方程没有正实数根；‎ 当时，若，即或时，方程没有实数根，‎ 当方程有两个非正实数根时：，据此可得：，‎ 综上可得，方程没有正实数根时a的取值范围是或，‎ 则满足题意的的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎11.甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（　　）‎ A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.‎ ‎【详解】设两人步行、跑步速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．‎ 则甲所用的时间为：．‎ 乙所用的时间，满足+，解得．‎ 则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎12.函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数是偶函数可得函数图像关于对称，利用对称性将数值转化到内比较大小.‎ ‎【详解】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于 对称，则，，函数在上单调递增，则有 ‎，所以.选.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的性质.由的奇偶性得到的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系.‎ 二．填空题．‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．‎ ‎【详解】解：幂函数的图象过点，‎ 则2m，m．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的图象的应用问题，是基础题．‎ ‎14.已知集合，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的值域求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】根据指数函数的性质可知，，所以，有解得，即，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的运算，考查指数型函数值域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎15.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费_________．‎ ‎【答案】元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得秒对应的分钟数，再按照收费标准，求得应支付电话费.‎ ‎【详解】秒，为分钟秒，其中前分钟收费，后面的时间增加费用，故总的费用为元.‎ 故答案为：元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段计费的方法，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题.‎ ‎16.设函数，若函数有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，转化为两个函数图像有个交点，画出图像，结合交点的情况，求得三个零点之和的取值范围.‎ ‎【详解】令，的，即.构造函数，则，画出图像、的图像如下图所示，设个零点为，根据二次函数图像的对称性可知.当时，，令，解得，故，所以 ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三．解答题 ‎17.（Ⅰ）； ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【答案】（Ⅰ）99 （Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用指数幂的运算先化简再求解即可；（Ⅱ）先把含根号的式子利用完全平方公式化简，然后对整个式子利用对数式的性质化简求值即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）原式 ‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎ ‎【点睛】本题考查了有理指数幂的运算性质，及对数的运算性质，属于基础题。‎ ‎18.已知集合，集合或.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简集合，再根据交集的概念，即可求出结果；‎ ‎（2）根据，列出不等式组，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为，或，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，且，‎ 所以，解得.‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，以及由集合间的包含关系求参数，熟记交集的概念，以及子集的概念即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知函数的定义域为 ‎（1）求函数在的单调区间．‎ ‎（2）求函数在的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）减区间，增区间；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二次函数的性质，结合复合函数单调性同增异减，判断出函数在的单调区间.‎ ‎（2）根据函数的单调性，结合区间端点的函数值，求得函数在的最大值和最小值．‎ 详解】依题意.‎ ‎（1）令，故，对称轴为，由于，所以，根据复合函数单调性可知，函数在，即上递减，在，即上递增.‎ ‎（1）由（1）知，当时函数有最小值为.当时，.当时，，所以函数最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数与二次函数的性质，考查复合函数单调性和值域的求法，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）用定义证明在上是增函数；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义证明函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）知，在单调递增，从而可得值域.‎ ‎【详解】(1)证明：‎ 任取，且 即 在单调递增 ‎（2）由（1）知，在单调递增 在上的值域是 ‎【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎21.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将 ‎（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．‎ ‎（1）写出关于的函数表达式；‎ ‎（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出函数的解析式；‎ ‎（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，‎ y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+， ‎ 当8＜x≤14时，‎ y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2， ‎ 即y=  ‎ ‎（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，‎ 所以 当x=4时，ymax=．  当8＜x≤14时，y=x+2，‎ 所以当x=14时，ymax=．因为 ＞，所以当x=4时，ymax=．‎ 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．‎ ‎【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22.已知函数，（，且）.‎ ‎（1）求的定义域，井判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，由，‎ 可得或，即定义域为；‎ 由，‎ 即有，可得为奇函数；‎ ‎2对于，恒成立，‎ 可得当时，，由可得的最小值，‎ 由，可得时，y取得最小值8，则，‎ 当时，，由可得的最大值，‎ 由，可得时，y取得最大值，则，‎ 综上可得，时，；时，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎