海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题 20页

‎2020年海口市高考模拟演练 数学试卷 考生注意：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则其共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）‎ A．2566 B．2567 C．2568 D．2569‎ ‎5．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎6．已知直线与圆相交所得弦长为4，则（ ）‎ A．-9 B．1 C．1或-2 D．1或-9‎ ‎7．设p：“函数在上单调递减”，q：“，”，则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．若对任意，都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线的离心率，C上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ）‎ A．C的焦点坐标为 B．C的渐近线方程为 C．点在C上 D．直线与C恒有两个交点 ‎11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：‎ 所需时间（分钟）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 线路一 ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 线路二 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 则下列说法正确的是（ ）‎ A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04‎ ‎12．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）‎ A．平面 ‎ B．该三棱柱的外接球的表面积为 C．异面直线与所成角的正切值为 D．二面角的余弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_________种不同的选法．‎ ‎14．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点，则__________．‎ ‎15．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点．若，且的面积为，则__________．‎ ‎16．已知函数的图象关于点对称，则__________，若对于总有成立，则a的取值范围是__________．（本题第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 在①，，②，，③，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．‎ 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，__________，求b．‎ ‎18．（12分）‎ 已知等差数列的前n项和为，满足，．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，三棱锥中，，是正三角形，且平面平面ABC，，E，G分别为AB，BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）若F是线段DE的中点，求AC与平面FGC所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t（℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A组，第15～20组数据定为B组．‎ ‎（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y与t的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．‎ ‎（Ⅱ）若根据A组数据得到回归模型，根据B组数据得到回归模型，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．‎ ‎（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A组中活性指标值的平均数，方差；B组中活性指标值的平均数，方差 ‎．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数和方差．‎ ‎21．（12分）‎ 已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，，C的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知不经过点A的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的中点为B，若，求证：直线l过定点．‎ ‎22．（12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，讨论关于x的方程在区间上实根的个数．‎ ‎2020年海口市高考模拟演练 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．‎ ‎1．【答案】D ‎【命题意图】本题考查集合的表示及运算．‎ ‎【解析】依题意，，‎ 所以，所以．‎ ‎2．【答案】B ‎【命题意图】本题考查复数的基本运算和共轭复数的概念．‎ ‎【解析】因为，所以．‎ ‎3．【答案】A ‎【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算．‎ ‎【解析】因为，，‎ 所以，‎ 因为，所以，解得．‎ ‎4．【答案】B ‎【命题意图】本题考查对数的有关运算．‎ ‎【解析】由题可知，．‎ 因为，所以，所以的整数部分为2567．‎ ‎5．【答案】C ‎【命题意图】本题考查空间几何体的有关运算．‎ ‎【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为．‎ 因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，‎ 设正三棱锥的高为h，所以，解得．‎ ‎6．【答案】D ‎【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．‎ ‎【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为，‎ 直线与圆相交所得弦长为4，‎ 所以，所以，‎ 解得或．‎ ‎7．【答案】B ‎【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断．‎ ‎【解析】因为函数在上单调递减，所以，即．‎ 因为时，，‎ 所以“，”等价于，即，‎ 因为集合，所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎8．【答案】C ‎【命题意图】本题考查三角函数的性质．‎ ‎【解析】，‎ 由条件知．若，‎ 由且，得；‎ 若，，‎ 则，所以，‎ 又，则．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎9．【答案】ABD ‎【命题意图】本题考查等比数列的有关计算．‎ ‎【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；‎ ‎，选项B正确；‎ ‎，所以，选项C错误；‎ ‎，而，选项D正确．‎ ‎10．【答案】BC ‎【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质．‎ ‎【解析】由已知得所以所以，所以双曲线C的方程为．‎ 所以C的焦点为，A错误．‎ C的渐近线方程为，所以B正确．‎ 因为，所以点在C上，选项C正确．‎ 直线即，恒过点，‎ 当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．‎ ‎11．【答案】B ‎【命题意图】本题考查事件与概率的概念，及概率的应用．‎ ‎【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；‎ 线路一所需的平均时间为分钟，‎ 线路二所需的平均时间为分钟，‎ 所以线路一比线路二更节省时间，B正确；‎ 线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；‎ 所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，D正确．‎ ‎12．【答案】AD ‎【命题意图】本题考查立体几何中的关系和计算．‎ ‎【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，‎ 因为，所以，所以平面，A项正确．‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 易知是三棱柱外接球的直径，‎ 所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误．‎ 因为，所以异面直线与所成角为．‎ 在中，，，‎ 所以，所以C项错误．‎ 二面角即二面角，‎ 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 故二面角的余弦值为，所以D项正确．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】225‎ ‎【命题意图】本题考查排列组合的应用．‎ ‎【解析】不同的选法有种．‎ ‎14．【答案】-4‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换．‎ ‎【解析】因为角的终边上有一点，所以．‎ 所以 ‎．‎ ‎15．【答案】2‎ ‎【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质．‎ ‎【解析】由条件知，所以，所以，‎ 由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为，‎ 不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为，‎ 所以，解得．‎ ‎16．【答案】1；‎ ‎【命题意图】本题考查函数的性质与图象、导数的应用．‎ ‎【解析】由条件知的图象可由奇函数的图象上下平移得到，‎ 所以的图象关于点对称，所以．所以．‎ 当时，恒成立．‎ 当时，等价于．‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以．‎ 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用．‎ ‎【解析】（方法一）选①：，．‎ 因为，，‎ 所以．‎ 由，解得．‎ 由余弦定理得，‎ 所以．‎ ‎（方法二）选②：，．‎ 因为，，所以．‎ 因为，所以．‎ 所以，由正弦定理可得．‎ 所以，所以．‎ ‎（方法三）选③：，．‎ 因为，得．‎ 又因为，所以．‎ 因为，，‎ 所以，且．‎ 根据正弦定理，可得．‎ 所以，解得．‎ ‎18．【命题意图】本题考查等差数列的基本运算以及数列求和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d．‎ 由题意得 解得所以．‎ ‎（Ⅱ）由题意得 ‎，‎ ‎．‎ ‎19．【命题意图】本题考查线面垂直的证明及空间角的计算、空间向量的应用．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为E，G分别为AB，BC的中点，所以．‎ 因为，平面平面ABC，‎ 平面平面，‎ 所以平面ABD．‎ 所以平面ABD．‎ ‎（Ⅱ）因为是正三角形，所以．‎ 又由（Ⅰ）知平面ABD，即EG，AB，DE两两垂直，‎ 则以E为坐标原点，分别以，，的方向为 x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为，是正三角形，‎ 所以，，，‎ ‎，，．‎ 因为F是DE的中点，所以．‎ ‎，，．‎ 设平面FGC的一个法向量为，‎ 所以 令，则，，所以．‎ 设AC与平面FGC所成的角为，‎ 则．‎ ‎20．【命题意图】本题考查线性回归分析的基本思想和应用，以及平均数与方差的计算公式．‎ ‎【解析】（Ⅰ）不合理．‎ 从散点图上看：①A组数据呈正相关，B组数据呈负相关，‎ 两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．‎ ‎②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，‎ 故不适合用线性回归模型来拟合．‎ ‎（以上给出了2种理由，答出任意一种或其他合理理由均可得分）‎ ‎（Ⅱ）令，得；令，得．‎ 由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，‎ 到达一定温度后，开始随温度升高而降低，‎ 所以这种病毒适宜生存的温度范围是．‎ ‎（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为 ‎．‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以全部20组活性指标值的方差为 ‎．‎ ‎21．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，所以，‎ 设椭圆C的半焦距为c．‎ 因为，所以，所以，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知．联立 得．‎ 由题意知，‎ ‎．（*）‎ 设，，‎ 则，．‎ 因为，B为线段MN的中点，‎ 所以，‎ 所以．‎ 又，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以．‎ 整理得，‎ 得或．‎ 当时，l的方程为，‎ 过定点，不符合题意；‎ 当时，l的方程为，‎ 过定点，经检验，符合（*）式．‎ 综上所述，直线l过定点．‎ ‎22．【命题意图】本题考查导数在研究函数中的应用．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件，得 令，得．‎ 当时，由，得，‎ 由，得．‎ 所以的单调增区间是，单调减区间是．‎ 当时，由，得，‎ 由，得．‎ 所以的单调增区间是，单调减区间是．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以是方程的实根．‎ 当时，由（Ⅰ）知单调递增，‎ 所以．‎ 而，‎ 所以方程在区间上无实根．‎ 当时，．‎ 设，‎ 则．‎ 设，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增．‎ ‎①当，即时，在区间上，‎ 总有，从而，‎ 所以在上单调递增，，‎ 即原方程在上无实根．‎ ‎②当，即时，‎ 因为，‎ 所以存在，满足．‎ 所以在上，，单调递减，‎ 在上，，单调递增．‎ 又因为，，‎ 所以当，即时，‎ 原方程在上有唯一实根，‎ 当，即时，原方程在上无实根；‎ 综上所述，当或时，‎ 原方程在上仅有一个实根；‎ 当时，原方程在上有两个实根．‎