高考数学【理科】真题分类详细解析版专题4 数列（解析版） 73页

专题04 数列 ‎【2013高考试题】‎ ‎（2013·新课标I理）14、若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【答案】；‎ ‎（2013·新课标I理）12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…‎ 若b1＞c1，b1＋c1＝‎2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )‎ A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 ‎ C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 ‎ D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】因为，不妨设，；故 ‎；，，， ；显然；同理，，，，，显然.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，考查学生特殊到一般的数学思想.‎ ‎（2013·新课标I理）7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( )‎ A、3 B、‎4‎ C、5 D、6‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】，故；因为，故，故，因为，故，即.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查等差数列的基本公式，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （ ）‎ ‎（A） （B）- ‎ ‎（C） （D）- ‎ ‎【答案】C ‎（2013·上海理）17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）‎ ‎(A)18 (B)28 (C)48 (D)63‎ ‎【答案】A ‎【解析】，而 ‎，故不同数值个数为18个，选A．‎ ‎【学科网考点定位】考查数列的运算及综合分析问题的能力，属中档题。‎ ‎（2013·辽宁理）（14）‎ ‎ .‎ ‎（2013·辽宁理）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】若等差数列的公差为正数，则这个等差数列为递增数列；正确；数列也是递增数列，故是递增数列，正确，故选D ‎【学科网考点定位】本题考查等差数列的性质及递增数列的定义。‎ ‎（2013·江西理）3.等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于 （ ）‎ A.-24 B.0 C.12 D.24‎ ‎【答案】A ‎【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得 选A.‎ ‎【学科网考点定位】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.‎ ‎（2013·大纲理）6. 已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎（2013·新课标Ⅱ理）（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：，解得，，所以 ‎=，即nSn =，令，则有，令得，，令得，，又因为n为正整数，所以当时，所以取得最小值，即nSn 的最小值为.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查等差数列的前n项和公式的应用、导数求数列这一特殊函数的最值，要注意n取正整数这一条件，考查同学们分析问题、解决问题的能力.‎ ‎（2013·北京理）10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .‎ ‎【答案】2，‎ ‎【解析】公比，，解得，故该等比数列的前项和为.‎ ‎（2013·安徽理）（14）如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等。设若则数列的通项公式是____________。‎ ‎【答案】‎ 由相似可知：‎ 所以 ‎【学科网考点定位】考查对图形的认识，数列通项公式的求法，三角形相似等知识.‎ ‎（2013·北京理）20. (本小题共13分)‎ 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn.‎ ‎(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；‎ ‎(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.‎ ‎【解析】 充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述.‎ ‎【答案】 (I) ，.‎ ‎(II) 充分性：因为是公差为的等差数列，且，所以，‎ 因此，.‎ 必要性：因为，所以.‎ 所以对于任意，都有，即非负整数数列的各项只能为1或2,.‎ 因为对任意，，‎ 所以.‎ 故 因此，对于任意正整数，存在满足，且，即数列{an}有无穷多项为1.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查了数列的周期性，等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题，考查了学生对知识的迁移能力.‎ ‎（2013·大纲理）17．（本小题满分10分）‎ 等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.‎ ‎【解析】解答本题的关键是利用基本量思想和方程思想将题设两个条件结合在一起，得到数列的首项和等差.解答时需注意解方程时需注意公差d得零的情况的排除.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查等差数列的通项公式、求和公式和等比中项等综合知识，考查学生的计算能力和转化分析能力.‎ ‎（2013·福建理）9. 已知等比数列的公比为，记 ‎，，，则以下结论一定正确的是（　　）‎ A. 数列为等差数列，公差为 　B. 数列为等比数列，公比为 ‎ C. 数列为等比数列，公比为 　D. 数列为等比数列，公比为 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，‎ 故，所以为等比数列，公比为，所以AB错；，故 ‎，所以等比，且以为公比。‎ ‎【学科网考点定位】对等比，等差数列的判断，对于学生来说计算有一定的难度。不过可以尝试用特例。如给m取值。‎ ‎（2013·广东理）19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎ 故数列是首项为,公差为的等差数列,‎ 所以,所以.‎ ‎ (Ⅲ) 当时,；当时,；‎ ‎ 当时,,此时 ‎ ‎ 综上,对一切正整数,有.‎ ‎【解析】(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是 ‎ ‎【学科网考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.‎ ‎ （2013·湖南理）15．设为数列的前n项和，则 ‎（1）_____；‎ ‎（2）___________。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查数列的递推公式，考查学生的基本运算能力以及逻辑推理能力.‎ ‎（2013·江西理）17．（本小题满分12分）‎ 正项数列{an}的前n项和Sn满足：‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n N*，都有Tn＜‎ ‎【答案】2n ‎【解析】（1）‎ 形如已知an和Sn大小关系的问题一般都要此解法完成，这是对概念的理解和把握，求解过程要注意项数n的取值与通项的统一性.‎ 17. 由（1）代入得 本题用裂项法求和的最大障碍是裂项的技巧，注意学习和积累.‎ ‎【学科网考点定位】本题主要考查数列的概念、通项、前n项的和的基础知识，考查数列求通项、求和的思想和方法，考查分析问题解答问题的能力.‎ ‎（2013·山东理）20.（本小题满分12分）‎ 设等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，且 (为常数)，令，求数列的前项和。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则 当时，‎ 化简得 ‎【学科网考点定位】本题从等差数列的基本问题（首项、公差、通项公式）入手，通过新数列的构造考查了与的关系、错位相减法求和等，涉及等比数列的求和公式的应用、代数式的化简等，是对运算能力的有力考查.‎ ‎（2013·陕西理）17. (本小题满分12分) 设是公比为q的等比数列. ‎ ‎ (Ⅰ) 推导的前n项和公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为q，其前n项和为 ………. （1）‎ 将（1）式两边分别乘以q得 ‎ ………………… ……（2）‎ ‎（1）-（2）得 ‎ 当 时或 当时，，所以 ‎（Ⅱ）方法一：‎ 均与题设矛盾，故数列不可能为等比数列。‎ 方法二：‎ 均与题设矛盾，故数列不可能为等比数列。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式推导和有关等比数列的证明. 突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材.属于容易题。‎ ‎（2013·上海理）23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数 ‎，数列满足.‎ ‎（1）若，求及；（2）求证：对任意，；‎ ‎（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】本题形式新颖，但整体难度适中。 第二题的证明对第三题有指向性作用，从此时，‎ 即 故，‎ ‎（2013·天津理）(19) (本小题满分14分)‎ 已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为，因为S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列，所以 S5 + a5- S3 - a3=S4 + a4- S5 - a5，即，于是，又不是递减数列且=，所以 ‎，故等比数列的通项公式为=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得，‎ 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，故；‎ 当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，故 ‎，‎ 综上，对于总有，‎ 所以数列的最大项的值为，最小项的值为.‎ ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列可以求出公和解决问题的能力.‎ ‎（2013·浙江理）18.在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求;‎ ‎（Ⅱ）若，求 ‎【解析】此题的第（Ⅰ）问根据题目的已知条件成等比数列得到，然后在根据等差数列的通项公式和已知首项代入上式，列出两个关于的方程，求出后利用等差数列的通项公式即可求解；（Ⅱ）此题中的数列是等差数列的每一项都取了绝对值，所以等差数列中大于零的项和中的项相同，等差数列中小于零的项取绝对值后和中的项相同，所以要分析等差数列中哪些项大于零，从多少项后小于零，然后利用等差数列求和公式计算；‎ 的前11项大于等于零，从第12项开始往后都小于零；注意分类讨论思想在解决此题中的应用；注意第一问一定要计算正确否则直接影响第二问的得分；‎ ‎（Ⅰ）由已知得到：‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，，‎ ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ 所以，综上所述：；‎ ‎【2012高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和 ‎。‎ ‎2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。‎ ‎3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤‎ ‎≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，，答案为B ‎6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，不是的倍数，‎ ‎.‎ ‎，故选D.‎ ‎7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎【答案】C ‎8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】由等差中项的性质知，又.‎ ‎9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎，又 ‎，选A.‎ ‎11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2，S4=‎3a4+2，则q=______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.‎ ‎13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【答案】1830‎ ‎【解析】由得，‎ ‎，‎ 即，也有，两式相加得，设为整数，‎ 则，‎ 于是 ‎14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎，即，所以，‎ 所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。‎ ‎18.【2012高考真题重庆理12】 .‎ ‎19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴++…+==，∴。‎ ‎20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.‎ ‎【答案】3018．‎ ‎【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.‎ ‎21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎∴。（﹡）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎∴ 。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎ 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎23.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；‎ ‎（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。‎ 当时，与同号，‎ 由，‎ ‎。‎ 当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾，‎ 得：当时，数列是单调递增数列。‎ ‎24. 【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则 ‎　　　，‎ 于是得即 ‎　　　‎ 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【2011年高考试题】‎ ‎1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 ‎ .若则，，则( )‎ ‎（A）0 （B）3 （C）8 （D）11‎ ‎2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D。‎ ‎3. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题得 ‎4. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为 升 ‎【答案】2000‎ ‎【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为 ‎=即时.‎ ‎6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则 ‎ 解析：74. ，故 ‎7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。由题意：，‎ ‎，而的最小值分别为1，2，3；。‎ ‎8. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）因为 所以 ‎ 所以 当n为偶数时，‎ ‎9.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ 则 ，‎ ‎（Ⅱ） ‎ 因为，所以 数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①×②并利用等比数列性质得 ‎，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又 所以数列的前项和为 ‎11. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ 证明：．‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎（Ⅰ）解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 将④代入①,可得即(),又,‎ 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎12. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，‎ ‎，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，‎ ‎，故，），则（1） ；（2） .‎ 答案：2; 1093‎ 从而 ‎.‎ ‎13. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ 求数列的通项公式；‎ 证明：对于一切正整数n,‎ ‎【解析】（1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎14. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）‎ 已知数列的前n项和为，且满足：‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，‎ 是否成等差数列，并证明你的结论.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.‎ 解析：‎ 综上，数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ 当r=0时，由（Ⅰ）知，‎ ‎∴对于任意的，且成等差数列；‎ 当时，‎ 若存在，使得成等差数列，则 ‎，‎ 即，‎ 由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，‎ 即成等差数列.‎ 综上，对于任意的，且成等差数列.‎ ‎15.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列的前n项和满足 ‎（Ⅰ）若成等比数列，求和 ‎（Ⅱ）求证：对有。‎ 解析：（Ⅰ）由题意，得，‎ 由是等比中项知，因此，‎ 由，解得，‎ ‎ （Ⅱ）证明：有题设条件有，‎ 故，且 从而对有 ①‎ 因，且，‎ 要证，由①，只要证 即证，即，此式明显成立，‎ 因此。‎ 最后证，，若不然，，‎ 又因，故，即。矛盾 ‎16．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) ‎ ‎ 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).‎ 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 解析：（1）‎ ‎17.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设 ‎【解析】（Ⅰ）由得，‎ 前项为，‎ ‎18.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立 ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；‎ ‎（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式 ‎【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。‎ ‎（1）即：‎ 所以，n>1时，成等差，而，‎ ‎（2）由题意：‎ ‎，‎ 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,‎ 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：‎ ‎19．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎（1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。‎ ‎（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎（2）设，则 对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；‎ ‎20． (2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）‎ 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ 解：（I）由 解得 所以 ‎（II）由（I）可知 因为函数的最大值为3，所以A=3。‎ 因为当时取得最大值，‎ 所以 又 所以函数的解析式为 ‎21．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 ‎② 假设（矛盾），∴ ‎ ‎∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶ ，‎ ‎，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 当时，依次有，……‎ ‎∴ 。‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎1.（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，，则 ‎（A）11 （B）5 （C） （D）‎ 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D。 ‎ ‎2.（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么 ‎（A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ ‎3.（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a‎2a4=1, ,则 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a‎2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。‎ ‎4.（2010江西理数）5.等比数列中，，=4，函数，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎5.（2010江西理数）4. （ ）‎ A. B. C. 2 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。‎ ‎6.（2010重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 8 ‎ 解析： ‎ ‎7.（2010四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 ‎（A）0 （B） （C） 1 （D）2‎ ‎8.（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。‎ 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.‎ ‎9.（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B‎.33 C.31 D.29‎ 答案：．C．‎ ‎10.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。‎ ‎11.（2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。‎ ‎12.（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。‎ 又因为，，所以，的最小值为 ‎13.（2010福建理数）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．‎ ‎【答案】‎ 所以。‎ ‎15.（2010江西理数）22. （本小题满分14分高☆考♂资♀源*网）‎ 证明以下命题：‎ 对任一正整a,都存在整数b,c(b1)。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n ‎ ‎ (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ ‎(2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；‎ ‎(3) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎(Ⅰ)解：由题设，可得 所以， ‎ ‎(Ⅱ)证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ 式加上②式，得 ‎ ③‎ 式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 当同理可得，因此 综上，‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎1.(2008·广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A．16 B．‎24 ‎‎ ‎ C．36 D．48‎ 答案：D 解析：，，故 ‎3.(2008·江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎ ‎ 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 ．‎ 答案：‎ 解析：前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为．‎ ‎4.(2008·海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。‎ ‎(1)求的通项；‎ ‎(2)求前n项和的最大值。‎ ‎5.(2008·山东理19文20)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：‎ a1‎ a‎2 a3‎ a‎4 a5 a6‎ a‎7 a8 a9 a10‎ ‎……‎ 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=(n≥2).‎ ‎(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.‎ ‎(Ⅰ)证明：由已知，‎ ‎，‎ 则(k≥3).‎ ‎6.(2008·江苏卷19).(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：‎ ‎①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎(Ⅱ)求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列．‎ 解析：本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．‎ ‎(Ⅰ)①当n＝4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．‎ 化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；‎ 若删去，则有＝，即．故得= 2 ．‎ 当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0 矛盾；同样若删去也有＝，这与d≠0 矛盾；若删去，…， 中任意一个，则必有＝，这与d≠0 矛盾．综上所述，n∈{4，5}．‎ ‎7.(2008·广东卷21)设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，(…)．(1)证明：，；(2)求数列的通项公式；‎ ‎(3)若，，求的前项和．‎ 解析：(1)由求根公式，不妨设，得 ‎，‎ ‎(2)设，则，由得，‎ 消去，得，是方程的根，由题意可知，‎ 即，得，不妨设，由①可知 ‎，，‎ 即，等式两边同时除以，得，即