2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A。‎ ‎【考点】本题主要考查充要条件的概念，一元二次不等式的解法。‎ 点评：典型题，充要条件的判断问题，已是高考考查的保留题型之一，往往具有一定的综合性。充要条件的判断有：定义法、等价关系法、集合关系法。‎ ‎2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，‎ ‎∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，‎ 丙车间生产产品所占的比例，‎ 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，‎ 所以样本容量n=3÷=13．‎ ‎【考点】分层抽样方法 ‎3．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．‎ 较为合理的抽样方法是（ ）‎ A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 ‎【答案】A ‎【解析】①总体和样本容量都很小，用简单随机抽样；②容量较大，且有均衡的几部分构成，用系统抽样；③有差异较明显的三部分构成，用分层抽样。‎ ‎4．某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮，每人练习10组，每组投篮40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )‎ A．甲的极差是29 B．乙的众数是21‎ C．甲的命中率比乙高 D．甲的中位数是24‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题中茎叶图知甲的最大值是，最小值是，所以甲的极差是，故A对；乙的数据中出现次数最多的是，所以B对；甲的命中个数集中在，而乙的命中的命中个数集中在和，所以甲的平均数大，故C对；甲中间的两个数为，所以甲的中位数是，故D错误，所以选D.‎ ‎【考点】茎叶图.‎ ‎5．用计算器或计算机产生20个之间的随机数，但是基本事件都在区间上，则需要经过的线性变换是(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]‎ 上的数，设需要经过的线性变换为y＝kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），据此即可求得需要经过的线性变换．‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，‎ 设需要经过的线性变换为y＝kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），如图．‎ 从而有：∴，‎ 则需要经过的线性变换是y＝4x﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查模拟方法估计概率、直线的方程，考查了数形结合思想等基础知识．‎ ‎6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.‎ ‎7．在区间内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设这两个数分别为x,y，则,试验的区域面积为1.事件发生的区域的面积为 ‎8．用秦九韵算法计算多项式在时的值时，的值为　　‎ A．3 B．5 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：秦九韵算法计算多项式的特点是将多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5变为f（x）=3x5+2x3﹣8x+5=（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5以达到简化运算的目的，其中3x+0为V1，（3x+0）x+2为V2，（（3x+0）x+2）x+0为V3，代入x=1求出其值，选出正确选项 解：∵多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5=（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5‎ ‎∴V3=（（3x+0）x+2）x+0‎ ‎∴当x=1时，V3的值为（（3×1+0）×1+2）×1+0=5‎ 故选B．‎ 点评：本题考查大数分解和公开密约，解题的关键是熟练掌握理解秦九韶算法的运算规律，将多项式变形，求出V3，代入自变量求值．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输出的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 程序在运行过程中各变量值变化如下：‎ 第一次循环 是 第二次循环 是 第三次循环 是 第四次循环 是 第五次循环 否 故退出循环的条件应为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10．执行如图的程序框图，输出的S是（ ）‎ A.﹣378 B.378 C.﹣418 D.418‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是k≥﹣20就终止循环，因此累加变量累加到值40最后输出S=﹣2﹣0+2+4+…+40，于是计算得到结果．‎ 解：据题意输出S=﹣2﹣0+2+4+…+40，‎ 其表示一首项为﹣2，公差为2的等差数列前22项之和，‎ 故S=×22=418．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，还考查了对多个变量计数变量、累加变量的理解与应用，属于基础题．‎ ‎11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0‎ C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数、方差 ‎12．函数，则函数值在的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先分段求解不等式，易得不等式的解集为：（1，2），又函数的定义域区间长度为|4﹣（﹣3）|＝7，由几何概型中的线段型可得：P.‎ ‎【详解】‎ ‎①解不等式组，解得：无解，‎ ‎②，解得：1＜x＜2，‎ 综合①②可得：不等式的解集为：（1，2），‎ 由几何概型中的线段型可得：‎ 函数的定义域区间长度为|4﹣（﹣3）|＝7，满足题意的自变量所在区间长度为|2﹣1|＝1，‎ 故：P，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式及几何概型中的长度型，属简单题 二、填空题 ‎13．把二进制数化为十进制数是：______．‎ ‎【答案】51‎ ‎【解析】110011（2） ‎ ‎14．某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．‎ ‎【答案】0.52‎ ‎【解析】利用对立事件概率减法公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，‎ 命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，‎ ‎∴这人在一次射击中命中9环或10环的概率为：‎ p＝1﹣0.19﹣0.29＝0.52．‎ 故答案为：0.52．‎ ‎【点睛】‎ ‎“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.‎ ‎15．正方体的 棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥内的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，本题是几何概型，以体积为测度，求出三棱锥B1﹣A1BC1的体积、正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积，即可求得概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，本题是几何概型，以体积为测度．‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，‎ ‎∴三棱锥B1﹣A1BC1的体积，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为a3，‎ ‎∴在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1﹣A1BC1内的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，以体积为测度，考查了正方体的性质、锥体体积公式和几何概型及其应用等知识，属于中档题．‎ ‎16．已知F1、F2分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是__________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，根据双曲线的定义和题设条件，求得|PF1|=2a，|PF2|=4a，再由三角形的性质，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，∴|PF2|=|PF1|+2a ①，‎ 又=8a ②，‎ ‎∴由①②可得|PF1|=2a，|PF2|=4a．‎ ‎∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即，∴ ③，‎ 又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，∴＞1 ④．‎ 由③④可得1＜≤3．‎ 故双曲线的离心率的取值范围是(1，3]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求解双曲线的离心率的取值范围问题，其中求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得．同时注意区分双曲线离心率的范围，另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用．‎ 三、解答题 ‎17．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：‎ ‎(1) 取出的两球1个是白球，另1个是红球；‎ ‎(2) 取出的两球至少一个是白球。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）基本事件总数n，取出的两球1个是白球，另1个是红球包含的基本事件个数m8，由此能求出取出的两球1个是白球，另1个是红球的概率．‎ ‎（2）取出的两球至少一个是白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此能求出取出的两球至少一个是白球的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，‎ 基本事件总数n，‎ 取出的两球1个是白球，另1个是红球包含的基本事件个数m8，‎ ‎∴取出的两球1个是白球，另1个是红球的概率p．‎ ‎（2）取出的两球至少一个是白球的对立事件是取出的两个球都是红球，‎ ‎∴取出的两球至少一个是白球的概率p＝1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计总体中成绩落在[50，60)中的学生人数；‎ ‎(3)根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，平均数；‎ ‎【答案】(1)0.005 (2)2人 （3）75 分 ，76.5分 ‎【解析】（1）由频率分布直方图列方程能求出a；‎ ‎（2）由频率分布直方图得成绩落在[50，60）中的频率为0.1，由此能估计总体中成绩落在[50，60）中的学生人数；‎ ‎（3）根据频率分布直方图能估计20名学生数学考试成绩的众数和平均数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图得：‎ ‎（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，‎ 解得a＝0.005．‎ ‎（2）由频率分布直方图得成绩落在[50，60）中的频率为2a×10＝0.1，‎ ‎∴估计总体中成绩落在[50，60）中的学生人数为：‎ ‎20×0.1＝2人．‎ ‎（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：75，‎ 平均数为：2×0.005×10×55+3×0.005×10×65+7×0.005×10×75+6×0.005×10×85+2×0.005×10×95＝76.5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率、频数、众数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎19．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，从全班40名同学中随机抽取一个容量为6的样本进行分析．随机抽取6位同学的数学、物理分数对应如表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 数学分数x ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎80‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎95‎ ‎（1）根据上表数据用散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？‎ ‎（2）如果具有线性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.1)；如果不具有线性相关性，请说明理由．‎ ‎（3）如果班里的某位同学数学成绩为50，请预测这位同学的物理成绩。‎ ‎（附)‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） （3）67‎ ‎【解析】（1）画出散点图，结合图象判断即可；‎ ‎（2）求出相关系数，求出回归方程即可；‎ ‎（3）代入x的值，求出y的预报值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出散点图：‎ 通过图象物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关性；‎ ‎（2）（60+70+80+85+90+95）＝80，‎ ‎（72+80+88+90+85+95）＝85，‎ 故0.6，37，‎ 故回归方程是：y＝0.6x+37；‎ ‎（3）x＝50时，解得：y＝67，‎ 数学成绩为50，预测这位同学的物理成绩是67．‎ ‎【点睛】‎ 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】分析：(1)根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；‎ ‎(2)建立相应的空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的正弦值，从而求得角的大小.‎ 详解：（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.‎ ‎（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，.又，，∴.‎ 令，则，，∴.‎ 设与平面所成的角为.∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成角的大小为.‎ 点睛：该题所考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面角的大小的求解，在解题的过程中，需要把握线面垂直的判定定理的内容以及空间向量法求解线面角的思路与过程，建立适当的空间直角坐标系是解题的关键.‎ ‎21．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，‎ 求动圆圆心M的轨迹方程．‎ 求动圆圆心M的轨迹上的点到直线的最短距离．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，题目动点M（x，y）到C（0，﹣3）的距离等于点M到直线y＝3的距离，判断轨迹是抛物线方程，求解即可；‎ ‎（2）设直线方程为y＝x+m，，利用判别式为0，求出切线方程，利用平行线之间的距离求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设动圆圆心为，半径为r，‎ 由题意知动点到的距离等于点M到直线的距离，‎ 由抛物线的定义可知，动圆圆心M的轨迹是以为焦点，以为准线的一条抛物线，‎ 故所求动圆圆心M的轨迹方程为：.‎ ‎（2）设直线方程为y＝x+m，，‎ 可得x2+12x+12m＝0，由△＝122﹣4×12m＝0，‎ 解得m＝3，d．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．‎ ‎22．如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.‎ ‎（1）求曲线和的方程；‎ ‎（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为； （2）见解析。‎ ‎【解析】（1）因为在椭圆中2a＝|AF1|+|AF2|6，所以可求曲线C1方程．因为曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点．|AF1|，|AF2|，所以利用抛物线定义，可求曲线C2方程；‎ ‎（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F2作的与x轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求的值，看结果是否为定值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆方程为，则，得 ‎ 设，，则，，‎ 两式相减得，由抛物线定义可知，‎ 则，或，（舍去）‎ 所以椭圆方程为，抛物线方程为。‎ 另解：过作垂直于x轴的直线，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，‎ 作轴于，则由抛物线的定义得，‎ 所以 ‎，‎ ‎，得，所以c＝1，‎ ‎，‎ 所以椭圆方程为，抛物线方程为。‎ ‎（2）设，，，，‎ 直线，代入得，，即，‎ 则，‎ 同理，将代入得：，‎ 则，，‎ 所以 为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查了设而不求的思想方法，考查学生的计算能力，属于难题.‎