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- 2021-06-15 发布
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2020年高考模拟高考数学模拟试卷(3月份)
一、选择题
1.若集合,,则集合中的元素个数为( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
的数对共9对,其中满足,所以集合中的元素个数共3个.
2.若复数(是虚数单位,)是纯虚数,则复数的模等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
,因为是纯虚数,所以 ,那么 ,所以模等于3,故选C.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性,将a,b,c分别与1和0比较,得到结论.
【详解】因为
所以
故选:C
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.
4.已知函数(为自然对数的底数),当时,的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得即为函数,排除,,显然存在使得,所以在上单调递增,在上单调递减.所以选B.
【点睛】
对于函数图像选择题,一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质,从整体性质到局部性质,如本题先利用图像对称性,考虑奇偶性.再利用图像的单调性变化,从而讨论导数.
5.已知,且,则的最小值为( )
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】
且,可知,所以.
,当且仅当 时等号成立.故选A.
6.将函数(其中)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则不可能等于( )
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意,所以,因此,从而,可知不可能等于.
7.设,是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取的中点,利用,可得,从而可得,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.
【详解】取的中点,则,,.
,是的中点,,,
,,
,,.
故选:D.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率,确定是解题的关键,意在考查学生的计算能力和转化能力。
8.已知不等式对一切都成立,则的最小值是( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
令,求出导数,分类讨论,进而得到,可得,通过导数求出单调区间和极值、最值,进而得到的最小值.
【详解】令,则,
若,则恒成立,时函数递增,无最值.
若,由得,
当时,,函数递增;当时,,函数递减.
则处取得极大值,也为最大值,
,,,
令,,上,,上,,
时,,的最小值为.
故选:A.
【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、多项选择题
9.下列关于平面向量的说法中不正确的是( )
A. 已知,均为非零向量,则存在唯-的实数,使得
B. 若向量,共线,则点,,,必同一直线上
C. 若且,则
D. 若点为的重心,则
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用向量共线的概念即可判断A正确,B错误;利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误,利用三角形重心的结论即可判断D正确,问题得解.
【详解】对于选项A,由平面向量平行的推论可得其正确;
对于选项B,向量,共线,只需两向量方向相同或相反即可,点,,,不必在同一直线上,故B错误;
对于选项C,,则,不一定推出,故C错误;
对于选项D,由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选BC
【点睛】本题主要考查了平面向量共线(平行)的定义,考查了平行向量垂直的数量积关系,还考查了平面向量中三角形重心的推论,属于中档题.
10.对于二项式,以下判断正确的有( )
A. 存在,展开式中有常数项;
B. 对任意,展开式中没有常数项;
C. 对任意,展开式中没有的一次项;
D. 存在,展开式中有的一次项.
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用展开式的通项公式依次对选项进行分析,得到答案.
【详解】设二项式展开式的通项公式为,
则,
不妨令,则时,展开式中有常数项,故答案A正确,答案B错误;
令,则时,展开式中有的一次项,故C答案错误,D答案正确.
故答案选AD
【点睛】本题考查二项式定理,关键在于合理利用通项公式进行综合分析,考查学生分析问题解决问题能力,属于中档题.
11.已知椭圆的左,右焦点是是椭圆上一点,若,则椭圆的离心率可以是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由椭圆的定义和题设条件, 求得,再在中,结合三角形的性质,得到,求得离心率的范围,即可求解.
【详解】由椭圆的定义,可得,又由, 解得,
又由在中,,可得,所以,
即椭圆的离心率的取值范围是.
故选:.
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟练椭圆的离心率的概念,合理应用椭圆的定义和三角形的性质,得到关于的不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
12.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则下列命题正确的是( )
A. 当时,
B. 函数有3个零点
C. 的解集为
D. ,都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】
设,则,则由题意得,根据奇函数即可求出解析式,即可判断A选项,再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项,对函数求导,得单调性,从而求出值域,进而判断D选项.
【详解】解:(1)当时,,则由题意得,
∵ 函数是奇函数,
∴ ,且时,,A错;
∴ ,
(2)当时,由得,
当时,由得,
∴ 函数有3个零点,B对;
(3)当时,由得,
当时,由得,
∴ 的解集为,C对;
(4)当时,由得,
由得,由得,
∴ 函数在上单调递减,在上单调递增,
∴函数在上有最小值,且,
又∵ 当时,时,函数在上只有一个零点,
∴当时,函数的值域为,
由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为,
∴ 对,都有,D对;
故选:BCD.
【点睛】本题主要考查奇函数的性质,考查已知奇函数一区间上的解析式,求其对称区间上解析式的方法,考查函数零点的定义及求法,以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法,属于较难题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若的展开式中第项为常数项,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式,求得,从而得到 的值.
【详解】解:的展开式中第项为
,再根据它为常数项,
可得,求得,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
14.设是数列的前项和,且,,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简得,即是等比数列,然后求出的值
【详解】,,,,
是首项为1,公比为2的等比数列,则,.
【点睛】本题考查了求数列的前项的和,结合条件进行化简,构造出新的数列是等比数列,然后求出等比数列的通项公式,继而求出结果
15.若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,则双曲线的离心率为_______,如果双曲线上存在一点到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为______.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,可知双曲线渐近线的倾斜角为,即
,所以,因为,从而.所以虚轴长为.
16.在中,为钝角,,且,函数的最小值为,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
在中,为钝角,,函数的最小值为.利用数量积的性质可得,进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.
【详解】在中,为钝角,,函数的最小值为.
∴函数
,化为恒成立.
当且仅当时等号成立,,.
,当且仅当时,取得最小值,的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量模的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力,确定是解题的关键.
四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知,
(1)求函数的单调递增区间;
(2)设△ABC内角A满足,而,求边BC的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【详解】试题分析:利用和差角及二倍角公式对函数化简可得
(1)令,解不等式可得答案;(2)由
及0<A<π可得,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又△ABC中,从而可求
试题解析:(1)=
由得,
故所求单调递增区间为.
(2)由得,
∵,即,∴bc=2,
又△ABC中, =,当且仅当b=c=等号成立
∴
18.已知数列的前项和为,,(且),数列满足:,且(且).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列为等比数列;
(Ⅲ)求数列的前项和的最小值.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)由得,所以.(2) () ()
所以()且.所以得证.(3)
(Ⅱ)得所以 ,所以是递增数列
和最小,即所有的负数项的和,只需求到.
试题解析:(Ⅰ)由得
即(且)
则数列为以为公差的等差数列
因此
(Ⅱ)证明:因为()
所以()
()
()
所以()
因为
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得
所以
()
所以是递增数列.
因为当时,,当时,
当时,
所以数列从第3项起的各项均大于0,故数列的前2项之和最小.
记数列的前项和为,则 .
19.如图,在三棱锥中,底面分别是的中点,在,且.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;
若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在.
【解析】
【详解】试题分析:(1)通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可;
(2)建立空间直角坐标系,由,所以,求得平面的法向量为,平面的法向量为,由二面角的大小为,得,化简得,又,求得即.
试题解析:
(1)由,
是的中点,得,
因为底面,所以,
在中,,所以,
因此,又因为,
所以,
则,即,因为底面,
所以,又,
又,所以平面.
(2)假设满足条件的点,存在,
并设,以为坐标原点,分别以为轴建立空间之间坐标系,
则,
由,所以,所以,
设平面的法向量为,
则 ,取,得,
即,设平面的法向量为,
则 ,取,得,
即,
由二面角的大小为,得,
化简得,又,求得,于是满足条件的点存在,且.
点睛:本题考查空间几何图形中线面关系平行或垂直的证明,考查空间想象能力,利用空间向量法求解空间角,注意计算的准确性.
20.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,若椭圆经过点,且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为1的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且(),当取得最小值时,求直线的方程.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据的面积求得的值,再利用椭圆过点及,求得的值,从而求得椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,由直线和圆、椭圆都相交,求得,再利用弦长公式分别计算,,从而建立的函数关系式,当取得最小值时,可求得的值,从而得到直线的方程.
【详解】解:(1)由的面积可得,即,∴.①
又椭圆过点,∴.②
由①②解得,,故椭圆的标准方程为.
(2)设直线的方程为,则原点到直线的距离,
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程,得,
由判别式,解得.
由直线和圆相交的条件可得,即,也即,
设,,则,,
由弦长公式,得.
由,得.
∵,∴,则当时,取得最小值,
此时直线的方程为.
【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用,求解时要注意坐标法思想的运用,即如何利用坐标将与建立联系,从而使问题得到解决.
21.某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
购买意愿强
购买意愿弱
合计
20-40岁
大于40岁
合计
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求的分布列和数学期望.
附:.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)列联表见解析;没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. (2)分布列见解析;
【解析】
【分析】
(1)由茎叶图能完成列联表,由列联表求出,从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.
(2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在20~40岁的抽取了2人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.
【详解】(1)由茎叶图可得:
购买意愿强
购买意愿弱
合计
20~40岁
20
8
28
大于40岁
10
12
22
合计
30
20
50
由列联表可得:,
所以没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.
(2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在20~40岁的抽取了2
人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为0,1,2,
,,,
所以分布列为:
0
1
2
数学期望为.
【点睛】本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.
22.设函数,其中为正实数.
(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,证明.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)讨论研究函数的单调性,求出函数在上的最大值.要不等式恒成立,只需最大值小于零,即可求出.
(2)将原不等式等价变形为,由(1)可知,试证在时恒成立,即可由不等式性质证出.
【详解】(1)由题意得
设,则,
①当时,即时, ,
所以函数在上单调递增,,满足题意;
②当时,即时,则的图象的对称轴
因,
所以在上存在唯一实根,设为,则当时,,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
此时,不合题意.
综上可得,实数的取值范围是.
(2)等价于
因为,所以,所以原不等式等价于,
由(1)知当时,在上恒成立,整理得
令,则,
所以函数在区间上单调递增,
所以,即在上恒成立.
所以,当时,恒有,
【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题,涉及分类讨论思想,转化思想的应用,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于较难题.