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  • 2021-06-15 发布

山东省章丘市第四中学2020届高三3月模拟考试数学试题

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‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷(3月份)‎ 一、选择题 ‎1.若集合,,则集合中的元素个数为( )‎ A. 9 B. ‎6 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的数对共9对,其中满足,所以集合中的元素个数共3个.‎ ‎2.若复数(是虚数单位,)是纯虚数,则复数的模等于( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,因为是纯虚数,所以 ,那么 ,所以模等于3,故选C.‎ ‎3.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性,将a,b,c分别与1和0比较,得到结论.‎ ‎【详解】因为 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎4.已知函数(为自然对数的底数),当时,的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得即为函数,排除,,显然存在使得,所以在上单调递增,在上单调递减.所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 对于函数图像选择题,一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质,从整体性质到局部性质,如本题先利用图像对称性,考虑奇偶性.再利用图像的单调性变化,从而讨论导数.‎ ‎5.已知,且,则的最小值为( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 且,可知,所以.‎ ‎,当且仅当 时等号成立.故选A.‎ ‎6.将函数(其中)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则不可能等于( )‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意,所以,因此,从而,可知不可能等于.‎ ‎7.设,是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,利用,可得,从而可得,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.‎ ‎【详解】取的中点,则,,.‎ ‎,是的中点,,,‎ ‎,,‎ ‎,,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率,确定是解题的关键,意在考查学生的计算能力和转化能力。‎ ‎8.已知不等式对一切都成立,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,求出导数,分类讨论,进而得到,可得,通过导数求出单调区间和极值、最值,进而得到的最小值.‎ ‎【详解】令,则,‎ 若,则恒成立,时函数递增,无最值.‎ 若,由得,‎ 当时,,函数递增;当时,,函数递减.‎ 则处取得极大值,也为最大值,‎ ‎,,,‎ 令,,上,,上,,‎ 时,,的最小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 二、多项选择题 ‎9.下列关于平面向量的说法中不正确的是( )‎ A. 已知,均为非零向量,则存在唯-的实数,使得 B. 若向量,共线,则点,,,必同一直线上 C. 若且,则 D. 若点为的重心,则 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的概念即可判断A正确,B错误;利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误,利用三角形重心的结论即可判断D正确,问题得解.‎ ‎【详解】对于选项A,由平面向量平行的推论可得其正确;‎ 对于选项B,向量,共线,只需两向量方向相同或相反即可,点,,,不必在同一直线上,故B错误;‎ 对于选项C,,则,不一定推出,故C错误;‎ 对于选项D,由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.‎ 故选BC ‎【点睛】本题主要考查了平面向量共线(平行)的定义,考查了平行向量垂直的数量积关系,还考查了平面向量中三角形重心的推论,属于中档题.‎ ‎10.对于二项式,以下判断正确的有( )‎ A. 存在,展开式中有常数项;‎ B. 对任意,展开式中没有常数项;‎ C. 对任意,展开式中没有的一次项;‎ D. 存在,展开式中有的一次项.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用展开式的通项公式依次对选项进行分析,得到答案.‎ ‎【详解】设二项式展开式的通项公式为,‎ 则,‎ 不妨令,则时,展开式中有常数项,故答案A正确,答案B错误;‎ 令,则时,展开式中有的一次项,故C答案错误,D答案正确.‎ 故答案选AD ‎【点睛】本题考查二项式定理,关键在于合理利用通项公式进行综合分析,考查学生分析问题解决问题能力,属于中档题.‎ ‎11.已知椭圆的左,右焦点是是椭圆上一点,若,则椭圆的离心率可以是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义和题设条件, 求得,再在中,结合三角形的性质,得到,求得离心率的范围,即可求解.‎ ‎【详解】由椭圆的定义,可得,又由, 解得,‎ 又由在中,,可得,所以,‎ 即椭圆的离心率的取值范围是.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟练椭圆的离心率的概念,合理应用椭圆的定义和三角形的性质,得到关于的不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则下列命题正确的是( )‎ A. 当时,‎ B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ,都有 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,则,则由题意得,根据奇函数即可求出解析式,即可判断A选项,再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项,对函数求导,得单调性,从而求出值域,进而判断D选项.‎ ‎【详解】解:(1)当时,,则由题意得,‎ ‎∵ 函数是奇函数,‎ ‎∴ ,且时,,A错;‎ ‎∴ ,‎ ‎(2)当时,由得,‎ 当时,由得,‎ ‎∴ 函数有3个零点,B对;‎ ‎(3)当时,由得,‎ 当时,由得,‎ ‎∴ 的解集为,C对;‎ ‎(4)当时,由得,‎ 由得,由得,‎ ‎∴ 函数在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴函数在上有最小值,且,‎ 又∵ 当时,时,函数在上只有一个零点,‎ ‎∴当时,函数的值域为,‎ 由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为,‎ ‎∴ 对,都有,D对;‎ 故选:BCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质,考查已知奇函数一区间上的解析式,求其对称区间上解析式的方法,考查函数零点的定义及求法,以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法,属于较难题.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若的展开式中第项为常数项,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用二项展开式的通项公式,求得,从而得到 的值.‎ ‎【详解】解:的展开式中第项为 ‎ ‎,再根据它为常数项, 可得,求得, 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.‎ ‎14.设是数列的前项和,且,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得,即是等比数列,然后求出的值 ‎【详解】,,,,‎ 是首项为1,公比为2的等比数列,则,.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列的前项的和,结合条件进行化简,构造出新的数列是等比数列,然后求出等比数列的通项公式,继而求出结果 ‎15.若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,则双曲线的离心率为_______,如果双曲线上存在一点到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,可知双曲线渐近线的倾斜角为,即 ‎,所以,因为,从而.所以虚轴长为.‎ ‎16.在中,为钝角,,且,函数的最小值为,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中,为钝角,,函数的最小值为.利用数量积的性质可得,进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.‎ ‎【详解】在中,为钝角,,函数的最小值为.‎ ‎∴函数 ‎,化为恒成立.‎ 当且仅当时等号成立,,.‎ ‎,当且仅当时,取得最小值,的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力,确定是解题的关键.‎ 四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知,‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)设△ABC内角A满足,而,求边BC的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 ‎ ‎(1)令,解不等式可得答案;(2)由 及0<A<π可得,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又△ABC中,从而可求 试题解析:(1)= ‎ 由得,‎ 故所求单调递增区间为.‎ ‎(2)由得,‎ ‎∵,即,∴bc=2,‎ 又△ABC中, =,当且仅当b=c=等号成立 ‎∴‎ ‎18.已知数列的前项和为,,(且),数列满足:,且(且).‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求证:数列为等比数列;‎ ‎(Ⅲ)求数列的前项和的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由得,所以.(2) () ()‎ 所以()且.所以得证.(3)‎ ‎(Ⅱ)得所以 ,所以是递增数列 和最小,即所有的负数项的和,只需求到.‎ 试题解析:(Ⅰ)由得 即(且)‎ 则数列为以为公差的等差数列 因此 ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为()‎ 所以()‎ ‎ ()‎ ‎ ()‎ 所以()‎ 因为 所以数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)得 所以 ‎ ‎ ()‎ 所以是递增数列.‎ 因为当时,,当时,‎ 当时,‎ 所以数列从第3项起的各项均大于0,故数列的前2项之和最小.‎ 记数列的前项和为,则 .‎ ‎19.如图,在三棱锥中,底面分别是的中点,在,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可; ‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,由,所以,求得平面的法向量为,平面的法向量为,由二面角的大小为,得,化简得,又,求得即.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由,‎ 是的中点,得,‎ 因为底面,所以,‎ 在中,,所以,‎ 因此,又因为,‎ 所以,‎ 则,即,因为底面,‎ 所以,又,‎ 又,所以平面.‎ ‎(2)假设满足条件的点,存在,‎ 并设,以为坐标原点,分别以为轴建立空间之间坐标系,‎ 则,‎ 由,所以,所以,‎ 设平面的法向量为,‎ 则 ,取,得,‎ 即,设平面的法向量为,‎ 则 ,取,得,‎ 即,‎ 由二面角的大小为,得,‎ 化简得,又,求得,于是满足条件的点存在,且.‎ 点睛:本题考查空间几何图形中线面关系平行或垂直的证明,考查空间想象能力,利用空间向量法求解空间角,注意计算的准确性.‎ ‎20.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,若椭圆经过点,且△PF‎1F2的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设斜率为1的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且(),当取得最小值时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据的面积求得的值,再利用椭圆过点及,求得的值,从而求得椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线的方程为,由直线和圆、椭圆都相交,求得,再利用弦长公式分别计算,,从而建立的函数关系式,当取得最小值时,可求得的值,从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】解:(1)由的面积可得,即,∴.①‎ 又椭圆过点,∴.②‎ 由①②解得,,故椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2)设直线的方程为,则原点到直线的距离,‎ 由弦长公式可得. ‎ 将代入椭圆方程,得,‎ 由判别式,解得.‎ 由直线和圆相交的条件可得,即,也即,‎ 设,,则,,‎ 由弦长公式,得.‎ 由,得. ‎ ‎∵,∴,则当时,取得最小值,‎ 此时直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用,求解时要注意坐标法思想的运用,即如何利用坐标将与建立联系,从而使问题得到解决.‎ ‎21.某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.‎ ‎(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20-40岁 大于40岁 合计 ‎(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求的分布列和数学期望.‎ 附:.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)列联表见解析;没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. (2)分布列见解析;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由茎叶图能完成列联表,由列联表求出,从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.‎ ‎(2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在20~40岁的抽取了2人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】(1)由茎叶图可得:‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20~40岁 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 大于40岁 ‎10‎ ‎12‎ ‎22‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由列联表可得:,‎ 所以没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.‎ ‎(2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在20~40岁的抽取了2‎ 人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为0,1,2,‎ ‎,,,‎ 所以分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22.设函数,其中为正实数.‎ ‎(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,证明.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)讨论研究函数的单调性,求出函数在上的最大值.要不等式恒成立,只需最大值小于零,即可求出.‎ ‎(2)将原不等式等价变形为,由(1)可知,试证在时恒成立,即可由不等式性质证出.‎ ‎【详解】(1)由题意得 设,则,‎ ‎①当时,即时, , ‎ 所以函数在上单调递增,,满足题意;‎ ‎②当时,即时,则的图象的对称轴 因,‎ 所以在上存在唯一实根,设为,则当时,,‎ 当时,,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 此时,不合题意.‎ 综上可得,实数的取值范围是.‎ ‎(2)等价于 因为,所以,所以原不等式等价于,‎ 由(1)知当时,在上恒成立,整理得 令,则,‎ 所以函数在区间上单调递增,‎ 所以,即在上恒成立.‎ 所以,当时,恒有,‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题,涉及分类讨论思想,转化思想的应用,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于较难题.‎

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