【数学】2018届一轮复习人教A版简单的三角恒等变换学案 20页

专题21简单的三角恒等变换 ‎1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．‎ ‎2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ ‎ ‎ ‎1．公式的常见变形 ‎(1)1＋cosα＝2cos2；‎ ‎1－cosα＝2sin2；‎ ‎(2)1＋sinα＝(sin＋cos)2；‎ ‎1－sinα＝(sin－cos)2.‎ ‎(3)tan＝＝.‎ ‎2．辅助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，‎ 其中sinφ＝，cosφ＝.‎ 高频考点一　三角函数式的化简与求值 例1、(1)化简：＝________.‎ ‎(2)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝______________________________________________________________.‎ 答案　(1)cos2x　(2) 解析　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝cos2x.‎ ‎【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎【变式探究】(1)cos·cos·cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)若＝，则tan2α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)原式＝cos·cosπ·cos(－3π＋π)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎(2)＝＝＝，‎ ‎∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－.‎ 高频考点二　三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β等于(　　)‎ A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z)‎ ‎(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈，则α＋β等于(　　)‎ A. B．－ C.或－ D.或－ 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由sinα＝，cosβ＝且α，β为锐角，‎ 可知cosα＝，sinβ＝，‎ 故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝，‎ 又0<α＋β<π，故α＋β＝.‎ ‎【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：‎ ‎(1)已知正切函数值，则选正切函数． ‎ ‎(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．‎ ‎【变式探究】 (1)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ 又sinα＝，∴cosα＝，‎ ‎∴sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×(－)＝.‎ ‎∴β＝.‎ ‎(2)由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，‎ ‎∴tan(A＋B)＝＝－，‎ 又0