2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十八抛物线理北师大版 10页

核心素养测评五十八 抛物线 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2020·汉中模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为 (　　)‎ A.y2=4x　　　　　 B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y ‎【解析】选D.因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.‎ ‎2.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为 ‎(　　)‎ A.±　　B.±　　C.±1　　D.±‎ ‎【解析】选D.抛物线的焦点为F,0,准线方程为x=-.因为点M到焦点F的距离等于2p,所以点M到准线x=-的距离等于2p,xM=p,代入抛物线方程解得yM=±p,所以kMF==±.‎ ‎3.(2020·聊城模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|= (　　)‎ A.　 B.　 C.　 D.‎ ‎【解析】选C.由抛物线方程y2=4x,知焦点F(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为K,过B 作BM⊥l,交l于M,则易知BM∥KF,‎ - 10 -‎ 所以△ABM∽△AFK,‎ 设|BF|=m,‎ 由=3,可知|AB|=2m,‎ 所以|KF|=|AF|=m,‎ 又由方程知|KF|=2,所以m=2,‎ 即m=,所以|AB|=2m=.‎ ‎4.(2020·上饶模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为 (　　)‎ A.3　 B.2　 C.4　 D.2‎ ‎【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).‎ ‎5.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为 (　　)‎ A.x2=y B.x2=6y ‎ C.x2=-3y D.x2=3y - 10 -‎ ‎【解析】选D.设点M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由消去y得x2-2ax+2a=0,‎ 所以==3,即a=3,所以所求的抛物线方程是x2=3y.‎ ‎6.已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为 (　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选D.F,0,那么M4-,4在抛物线上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|= (　　)‎ A.2 B. C.2 D.3‎ ‎【解析】选A.根据题意,如图所示:连接MF,QF,‎ 抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),‎ 准线为x=-1,则|FH|=2,‎ 由抛物线定义可得|PF|=|PQ|,‎ 由PQ⊥l,得:PQ∥FR,‎ 所以∠QPF=∠NFR,‎ 又∠NFR=60°,所以∠QPF=60°,‎ 所以△PQF为等边三角形,‎ 由M,N分别为PQ,PF的中点,‎ 得|MN|=|QF|,MN∥QF,且MF⊥PQ,‎ 又QH⊥PQ,QM∥HF,‎ - 10 -‎ 故四边形HFMQ为矩形,故|QM|=|HF|=2,‎ 又在Rt△QMF中,|QF|===4,‎ 故|MN|=|QF|=2,‎ 又PQ∥RF,|PN|=|NF|,‎ 所以|NR|=|MN|=2.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=________________. ‎ ‎【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2‎ ‎=+=+‎ ‎=+‎ ‎=+=-1.‎ 答案:-1‎ ‎9.已知抛物线x2=4y焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,以下四个结论:①x1x2=-4,②|AB|=y1+y2+1,③∠A1FB1=,④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是________________. ‎ ‎【解析】抛物线x2=4y焦点为F(0,1),易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1.‎ - 10 -‎ 由得x2-4kx-4=0,‎ 则x1+x2=4k,x1x2=-4,①正确;‎ ‎|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1 =y1+y2+2,②不正确;‎ ‎=(x1,-2),=(x2,-2),‎ ‎ 所以·=x1x2+4=0,所以⊥ ,∠A1FB1=,③正确;‎ AB的中点到抛物线的准线的距离 d=(|AA1|+|BB1|)‎ ‎=(y1+y2+2) ‎ ‎=(kx1+1+kx2+1+2) ‎ ‎=(4k2+4)≥2 .‎ 当k=0时取得最小值2,④正确.‎ 答案:①③④‎ ‎10.(2020·保定模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若△MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为________________.  ‎ ‎【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,‎ 所以抛物线方程为y2=4x,‎ 由题意知,直线l斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为x=my+n(m≠0),‎ 代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),‎ 可得kMA+kMB=+‎ - 10 -‎ ‎=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.‎ 答案:-1‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于 (　　)‎ A.　　　B.3　　　C.　　　D.2‎ ‎【解析】选B.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不妨设直线PF的斜率为-=-2,因为F(2,0),所以直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.‎ ‎2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为 (　　)‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.‎ ‎【变式备选】‎ 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|= (　　)‎ A.8　　　B.4　　　C.6　　　D.3‎ ‎【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,‎ 因为=2,所以|PQ|=3d,‎ - 10 -‎ 所以直线PF的斜率为±2,因为F(1,0),‎ 所以直线PF的方程为y=±2(x-1),‎ 与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),‎ 所以|QF|=d=1+2=3.‎ ‎3.(5分)(2019·葫芦岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|AB|+|MN|的最小值为 (　　)‎ A.14　 B.16　 C.18　 D.20‎ ‎【解析】选B.可得F(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.‎ 设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=+2=4+,‎ 因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,‎ 同理可得|MN|=x3+x4+p=+2=4+4k2,‎ 所以|AB|+|MN|=4++4+4k2=8++4k2‎ - 10 -‎ ‎≥8+2=16.当且仅当k=±1时取等号.‎ ‎4.(10分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.‎ ‎(1)求点A,B的坐标.‎ ‎(2)求△PAB的面积.‎ ‎【解析】 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).‎ 由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,‎ 由于直线PA与抛物线相切,得k=t.‎ 因此,点A的坐标为(2t,t2).‎ 由题意知圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).‎ 由题意知:点B,O关于直线PD对称,‎ 故解得 因此,点B的坐标为.‎ ‎(2)由(1)知|AP|=t·,‎ 直线PA的方程为tx-y-t2=0.‎ - 10 -‎ 点B到直线PA的距离是d=.‎ 设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|·d=.‎ ‎5.(10分)(2019·保定模拟)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.‎ ‎(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.‎ ‎(2)设Q(4,0),k>0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且AC⊥QC,求x2的取值范围. ‎ ‎【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得 ‎ 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,‎ 若直线l与抛物线E相切,则k≠0且Δ=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,‎ 所以,所求的直线方程为y=-x-4.‎ ‎(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,‎ 因为k>0,‎ 所以Δ=64(k+1)2-64k2>0,‎ 则有x1+x2=,‎ 所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,‎ 因为四边形OACB为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C,‎ - 10 -‎ 因为AC⊥QC,则kAC·kQC=-1.‎ 又kQC==,‎ 又kAC=kOB==k-,所以·=-1,所以=k++2,又由k>0,则=k++2≥2+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时0