高考理科数学专题复习练习6.1数列的概念与表示 5页

第六章数列 ‎6.1数列的概念与表示 专题2‎ 数列的通项公式 ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,数列的通项公式,选择题,理8)定义:在数列{an}中,若满足=d(n∈N*,d为常数),称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4×2 0152-1 B.4×2 0142-1‎ C.4×2 0132-1 D.4×2 0132‎ 解析:由题意,d==3-1=2,=1,‎ ‎∴=1+2(n-1)=2n-1.‎ 利用累乘法可得=4×20132-1.‎ 答案:C ‎■(2015江西重点中学协作体二模,数列的通项公式,填空题,理14)已知数列{an}满足an+1=(n∈N*),若a1=,则a2 015=　　　　　. ‎ 解析:∵an+1=(n∈N*),a1=,‎ ‎∴a2==3,‎ a3==-2,‎ a4==-,‎ a5=,‎ a6==3,‎ ‎∴数列{an}满足an=an+4.‎ ‎∵2015=503×4+3,‎ ‎∴a2015=a3=-2.‎ 答案:-2‎ ‎6.2等差数列及其前n项和 专题1‎ 等差数列的概念与运算 ‎■(2015江西重点中学协作体二模,等差数列的概念与运算,选择题,理5)已知函数f(x)=x2-2x+4,数列{an}是公差为d的等差数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),则{an}的通项公式为(　　)‎ A.2n-2 B.2n+1 C.2n+3 D.n+2‎ 解析:∵f(x)=x2-2x+4,‎ ‎∴a1=f(d-1)=(d-1)2-2(d-1)+4=d2-4d+7,‎ a3=f(d+1)=(d+1)2-2(d+1)+4=d2+3.‎ ‎∴a3-a1=4d-4,‎ 即2d=4d-4,‎ 解得d=2.‎ ‎∴a1=3,‎ ‎∴an=3+2(n-1)=2n+1.‎ 答案:B 专题2‎ 等差数列的性质 ‎■(2015江西重点中学协作体一模,等差数列的性质,选择题,理6)已知数列{an}各项均为正数,且满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=3,则log3(a5+a7+a9)的值是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析:∵log3an+1=log3an+1(n∈N*),‎ ‎∴log33an=log3an+1,得an+1=3an,‎ 则数列{an}为等比数列,公比q=3.‎ 则a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=3×33=34,‎ 则log3(a5+a7+a9)=log334=4.‎ 答案:C ‎■(2015江西重点中学协作体二模,等差数列的性质,选择题,理3)已知等比数列{an}的各项都是正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则=(　　)‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ 解析:设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q(q>0),‎ 由题意可得2×a3=3a1+2a2,即q2-2q-3=0,‎ 解得q=-1(舍去),或q=3.‎ 故=q2=9.‎ 答案:D 专题3‎ 等差数列前n项和公式与最值 ‎■(2015江西上饶一模,等差数列前n项和公式与最值,填空题,理15)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=a1x与圆(x-2)2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称,则Sn=　　　　　. ‎ 解析:∵直线y=a1x与圆(x-2)2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称,‎ ‎∴直线x+y+d=0过圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0),‎ ‎∴2+d=0,解得d=-2.‎ 又直线x+y+d=0的斜率是-1,∴a1=1,‎ ‎∴Sn=na1+d=2n-n2.‎ 答案:2n-n2‎ ‎■(2015江西三县部分高中一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理7)已知数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前10项和等于(　　)‎ A.130 B.120 C.55 D.50‎ 解析:在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0,即=2.‎ ‎∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎∴an=2×2n-1=2n.‎ ‎∴bn=log22n=n.‎ ‎∴数列{bn}的前10项和为1+2+…+10==55.‎ 答案:C ‎■(2015江西重点中学十校二模联考,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理3)已知等差数列{an}前n项和为Sn,a4=2,S10=10,则a7的值为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.‎ 由a4=2,S10=10,得解得 ‎∴a7=4+6×=0.‎ 答案:A ‎6.3等比数列及其前n项和 专题3‎ 等比数列前n项和公式 ‎■(2015沈阳四校联考模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理4)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B. C. D.3‎ 解析:设公比为q,则=1+q3=3.‎ ‎∴q3=2,‎ ‎∴.‎ 答案:B ‎6.4数列求和 专题1‎ 分组求和与并项求和 ‎■(2015沈阳四校联考模拟,分组求和与并项求和,解答题,理21)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=an+loan,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn.‎ 解:(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.‎ ‎∵a3+2是a2,a4的等差中项,‎ ‎∴2(a3+2)=a2+a4.‎ 代入a2+a3+a4=28,得a3=8,‎ ‎∴a2+a4=20.‎ 解得 ‎∵数列{an}单调递增,∴舍去 ‎∴an=2n.‎ ‎(2)∵an=2n,‎ ‎∴bn=an+loan=an-n,‎ ‎∴Sn==2n+1-2-.‎ ‎■(2015江西重点中学十校二模联考,分组求和与并项求和,选择题,理11)已知数列{an}共有9项,其中,a1=a9=1,且对每个i∈{1,2,…,8},均有,记S=+…+,则S的最小值为(　　)‎ A.5 B.5 C.6 D.6‎ 解析:令bi=(1≤i≤8),‎ 则对每个符合条件的数列{an}满足bi==1,‎ 且bi∈,1≤i≤8.‎ 反之,由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}.‎ 由题意知bi(1≤i≤8)中有2k个-,2k个2,8-4k个1,‎ 且k的所有可能取值为0,1,2.‎ 对于三种情况,当k=2时,S取到最小值6.‎ 答案:‎ 专题3‎ 裂项相消求和 ‎■(2015江西上饶一模,裂项相消求和,解答题,理17)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3·2n+4(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎(1)证明:∵Sn=2an-3·2n+4(n∈N*),‎ ‎∴n=1时,a1=S1=2a1-6+4,解得a1=2.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4),‎ 化为an=2an-1+3×2n-1,‎ 变形为,‎ ‎∴数列是等差数列,首项为=1,公差为.‎ ‎(2)解:由(1)可得=1+(n-1)=,‎ ‎∴bn=,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+.‎ ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,裂项相消求和,解答题,理17)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别是a,b,c,满足b2+c2=bc+a2.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cos A=1,且a2,a4,a8成等比数列,求的前n项和Sn.‎ 解:(1)∵b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴,‎ ‎∴cosA=.‎ ‎∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)设{an}的公差为d,‎ ‎∵a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,‎ ‎∴a1==2,且=a2·a8.‎ ‎∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且d≠0,‎ 解得d=2,‎ ‎∴an=2n.‎ ‎∴,‎ ‎∴Sn=+…+=1-.‎ ‎■(2015沈阳四校联考模拟,裂项相消求和,解答题,理19)数列{an}的前n项和为Sn,an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1+S4=0,b9=a1.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Wn.‎ 解:(1)∵an是Sn和1的等差中项,∴Sn=2an-1.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,∴an=2an-1.‎ 当n=1时,a1=1.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎∴an=2n-1.‎ ‎∴Sn=2n-1.‎ 设{bn}的公差为d,b1=-S4=-15,b9=a1=-15+8d=1,‎ ‎∴d=2.‎ ‎∴bn=2n-17.‎ ‎(2)cn=,‎ ‎∴Wn=+…+.‎ ‎6.5数列的综合应用 专题1‎ 数列与不等式相结合问题 ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)等比数列{an}的公比0+…+成立的正整数n的最大值为　　　　　. ‎ 解析:设首项为a1,公比为q,依题意有(a1q16)2=a1q23,‎ ‎∴a1q9=1.则a1>0,且a1=q-9.‎ ‎∵{an}为等比数列,∴是以为首项,为公比的等比数列.‎ 则不等式等价为.‎ ‎∵0q1-n(1-qn),‎ ‎∴q-18>q1-n,‎ ‎∴-18<1-n,‎ 即n<19.‎ ‎∵n∈N*,∴n的最大值为18.‎ 答案:18‎ ‎■(2015沈阳大连二模,数列与不等式相结合问题,解答题,理17)已知两个数列{an},{bn},其中{an}是等比数列,且a2=,a5=-,bn=(1-an).‎ ‎(1)求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn≥.‎ 解:(1)∵{an}是等比数列,且a2=,a5=-,‎ ‎∴q3=-,∴q=-.‎ ‎∴an=a2·qn-2=.‎ ‎∴bn=.‎ ‎(2)证法一:Sn=b1+b2+b3+…+bn=+…+.‎ n为奇数时,Sn=;‎ n为偶数时,Sn=.‎ 综上,Sn≥.‎ 证法二:Sn=b1+b2+b3+…+bn=+…+.‎ 当n≥3时,Sn=+…++…+.‎ 当n=1时,S1=;‎ 当n=2时,S2=;‎ 综上:Sn≥.‎ ‎■(2015江西三县部分高中一模,数列与不等式相结合问题,解答题,理19)已知数列{an}满足a2=5,且其前n项和Sn=pn2-n.‎ ‎(1)求p的值和数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{bn}为等比数列,公比为p,且其前n项和Tn满足T5