黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 10页

数学试题 理 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分．‎ 考试时间为120分钟；‎ ‎ （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第I卷 （选择题, 共60分）‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1． 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：‎ ‎①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；‎ ‎②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；‎ 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 ‎ A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样 C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样 ‎2． 在面积为的△边上任取一点，则△的面积大于的概率是 A． B． C． D．‎ ‎3． 某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为 A． B． C． D．‎ ‎4． 已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是 ( )‎ A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高 C．2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎6． 已知抛物线上一点，直线，，则到这两条直线的距离之和的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎7． 的展开式中的常数项为 ‎　　A． B． C． D．‎ ‎8． 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A． B． 　C． D．‎ ‎9． 袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：‎ ‎232 321 230 023 123 021 132 220 001‎ ‎231 130 133 231 013 320 122 103 233‎ 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A． B． C． D．‎ ‎10．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况）均不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是 A．甲同学：平均数为2，中位数为2‎ B．乙同学：平均数为2，方差小于1‎ C．丙同学：中位数为2，众数为2‎ D．丁同学：众数为2，方差大于1‎ ‎11．6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则不同的参加方式共有 A．2640种 　 B．1560种 C．1080种 D．480种 ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是 的平分线，则双曲线的离心率 A． 　 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）‎ 二、填空题（第13，14题每空4分，第15，16题每空3分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）‎ ‎13．某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有___________种．（用数字作答）‎ ‎14．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立．该同学投了25次，表示投中的次数，则____________．‎ ‎15．椭圆，动圆与椭圆交于四点，则四边形面积的最大值为_______，此时__________．‎ ‎16．已知集合，函数定义于并取值于．‎ ‎　　（用数字作答）‎ ‎（1）若对于任意的成立，则这样的函数有_______个；‎ ‎（2）若至少存在一个，使，则这样的函数有____个．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．一个盒子里装有标号为的张标签，随机的选取两张标签．‎ ‎（1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；‎ ‎（2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率．‎ ‎18．为了响应弘扬中国传统文化的号召，各大中小学都开展了关于经典诵读等丰富多彩的课外阅读活动．某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人．为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）‎ ‎（1） 应抽查男生与女生各多少人？‎ ‎（2） 如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为．若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”．‎ 男生 女生 总计 每周平均课外阅读时间不超过2小时 每周平均课外阅读时间超过2小时 总计 附：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎19．在平面直角坐标系中，已知点，动点到点的距离比到直线的距离小1个单位长度．‎ ‎（1） 求动点的轨迹方程；‎ ‎（2） 若过点的直线与曲线交于两点，，求直线的方程．‎ ‎20．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每本单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ 销量（册）‎ ‎（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若该书每本的成本为元，要使得售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，‎ ‎．‎ ‎21．近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性．‎ ‎0‎ ‎8 7 8‎ ‎1‎ ‎0 7 5 2 7‎ ‎2‎ ‎0 4 3 1 4 9 8 3 2 3‎ ‎3‎ ‎2 5 5 1 8 6 6‎ ‎4‎ ‎4 1 4 8‎ ‎5‎ ‎4‎ 某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟．A同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率．设A同学每天消费元．‎ ‎（1）求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）各品牌为推广用户使用，推出APP注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费．设分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出与的函数关系式，参考（1）的结果，A同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？‎ ‎（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：‎ 时长 ‎(0，15]‎ ‎(15，30]‎ ‎(30，45]‎ ‎(45，60]‎ 人数 ‎16‎ ‎45‎ ‎34‎ ‎5‎ 在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？‎ ‎22．已知为椭圆和双曲线的公共顶点，过原点的直线分别与椭圆和双曲线在第一象限交于两点．‎ ‎（1） 若椭圆的离心率为，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2） 设的斜率分别为，求证：；‎ ‎（3） 设分别为椭圆和双曲线的右焦点，若∥，‎ 试求的值．‎ 高二学年第二模块 数学（理）考试答案 一、 选择题 ‎ DCABD ACABD BC 二、 填空题 ‎13.72 ‎ ‎14.15‎ ‎15.4，‎ ‎16.15625，46575‎ 三、 解答题 17. ‎，‎ 18. ‎55，45‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎38‎ ‎80‎ ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎1.010，否 ‎19. ，或 ‎20. ，10‎ ‎21. ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 选红车 ‎480，1500，1020‎ 22. ‎，略，8‎