河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期中考试模拟数学试题 25页

石家庄二中 2019-2020 学年第二学期期中模拟 数学试题 一､单项选择题(每题 5 分，共 50 分) 1.设复数 (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 则 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. (-11) B. (1,1) C. (1,-1) D. (-1,-1) 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数为 的形式，即可得到复数 对应当点的坐标． 【详解】复数 ， 所以 ， 在复平面内 对应当点的坐标为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，属于容易题． 2.如图所示的韦恩图中，A、B 是非空集合，定义 表示阴影部分的集合，若 x,y∈R， ，则 A*B 为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将 除去 后剩余的元 素所构成的集合．再利用函数的定义域、值域的思想确定出集合 A，B，代入可得答案． 2 1z i = − ,z iz a bi+ iz ( ) ( )( ) 2 12 2 2 11 1 1 2 i iz ii i i + += = = = +− + − ( )1 1iz i i i= − = + iz ( )1,1 *A B 2{ | 4 } { | 3 , 0}xA x y x x B y y x= = − = = > { | 0 4}x x< ≤ { | 0 1x x≤ ≤ 4}x > { | 0 1x x≤ ≤ 2}x ≥ { | 0 1x x≤ ≤ 2}x > A B∪ A B∩ 【详解】依据定义， 就是指将 除去 后剩余的元素所构成的集合； 对于集合 A，求的是函数 的定义域， 解得： ； 对于集合 B，求的是函数 的值域，解得 ； 依据定义，借助数轴得： 或 ． 故选：B． 【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的 准确性,属于中档题． 3.下列对应是从集合 A 到 B 的函数的是（ ） A. A=N，B=N，对应关系 f：“平方根” B. A=R，B={-1,1}，对应关系 C. A=R，B=Q，对应关系 D. A=N，B=N，对应关系 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的定义，若 A 中任一元素在 B 中都有唯一元素对应，则该对应是函数；进而得到答 案． 【详解】对于选项 A， ， ，对应关系 f：“平方根”，则A 中正元素在 B 中都有 两个元素对应， 不是函数； 对于选项 B， ，B={-1,1}，对应关系 ，则 A 中 元素在 B 中 没有元素对应，B 不是函数； 对于选项 C， ， ，对应关系 ，则 A 中元素 3 在 B 中没有元素 对应，C 不是函数； 对于选项 D， ， ，对应关系 f： ，则 A 中任一元素在 B 中都有 唯一元素对应，D 是函数； *A B A B∪ A B∩ 24y x x= − { | 0 4}A x x= ≤ ≤ 3 ( 0)xy x= > { }1B y y= * { | 0 1A B x x= ≤ ≤ 4}x > 1, 2: 0, 2 xf x y x ≥→ =  < 1: 3f x y x → = − : 2f x y x→ = − A N= B N= A∴ A R= 1, 2 0, 2 xf x y x ≥→ =  < ： 2x < A R= B Q= 1 3f x y x → = −： A N= B N= 2x y x→ = − 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数概念是解题的关键，属于容易题． 4.已知函数 f(x)在 x=x0 处的导数为 12，则 （ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由极限的性质可得则 ，结合导 数的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，函数 在 处的导数为 12， 则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题． 5.函数 ，则 f(2x-1)的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数 的定义域，用 替换 ，求出 的定义域即可. 【详解】由 有意义可得 ， 即 ， 解得 ， 即 的定义域为 ， 令 ， 0 0 0 ( ) ( )lim 3x f x x f x x∆ → − ∆ − =∆ 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )1lim = lim3 3x x f x x f x f x f x x x x∆ → ∆ → − ∆ − − − ∆−∆ ∆ ( )f x 0x x= 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )1 12lim = lim 43 3 3x x f x x f x f x f x x x x∆ → ∆ → − ∆ − − − ∆− = − = −∆ ∆ 1 2 ( ) log (2 3 )f x x= − 2 5[ , )3 6 1 1[ , )3 3 − 1 2[ , ]3 3 2[ , )3 +∞ ( )f x 2 1x − x (2 1)f x − 1 2 ( ) log (2 3 )f x x= − 1 2 log (2 3 ) 0 2 3 0 x x − ≥  − > 0 2 3 1x< − ≤ 1 2 3 3x≤ < ( )f x 1 2{ | }3 3x x≤ < 1 22 13 3x≤ − < 解得 ， 所以 的定义域为 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系解不等式是解决 本题的关键，是中档题． 6.已知函数 的值域是全体实数 R，则实数 m 的取值范围是（ ） A. m≤0 B. -2≤m≤2 C. m=0 D. m>0 【答案】C 【解析】 【分析】 由 的值域是 R，可知， 取遍所有正数，结合二次函 数的性质进行求解． 【详解】由 的值域是 R，可知， 取遍所有正数， 时， 能取遍所有的正数，符合题意， 当 时， 时， 显然不能取遍所有正数，不符合题意， 当 时，令 ，则 的对称轴为 ，且 时， ，故函数 ， 即 ， 所以 不能取遍所有的正数，不符合题意， 综上 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对数函数的值域，二次函数的值域，分类讨论的思想，换元法，属 于中档题． 7.已知函数 f(x)=x(lnx-ax)没有极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. a≤0 C. D. 【答案】A 2 5 3 6x≤ < (2 1)f x − 2 5[ , )3 6 ( ) lg( 9 4 3 )x xf x m m= ⋅ + ⋅ + ( ) lg( 9 4 3 )x xf x m m= ⋅ + ⋅ + 9 4 3x xm m⋅ + ⋅ + ( ) lg( 9 4 3 )x xf x m m= ⋅ + ⋅ + 9 4 3x xy m m= ⋅ + ⋅ + 0m =① 3 04 xy = ⋅ > ② 0m ≠ 0m < 2(3 ) 4 3x xy m m= + ⋅ + 0m > 3xt = ( 0)t > 2 4y mt t m= + + 2 0t m = − < 0t = 0y m= > 2 4y mt t m m= + + > miny m> 9 4 3x xy m m= ⋅ + ⋅ + 0m = 1 2a ≥ 1 2a > 10 2a< < 【解析】 【分析】 先求导函数，函数 没有极值点，等价于 没有变号零 点，等价于函数 与 图象不相交，在同一个坐标系中作出它们的图象．由 图可求得实数 a 的取值范围． 【详解】函数 ， 则 ， 令 得 ， 函数 没有极值点， 等价于 没有变号零点， 等价于函数 与 的图象不相交或相切， 在同一个坐标系中作出它们的图象, 当 时，直线 与 的图象相切， 由图可知，当 时， 与 的图象不相交或相切． 则实数 a 的取值范围是 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的导数，函数的极值，函数的零点，数形结合的思想，属于中档 题. 的 ( ) ( )f x x lnx ax= − ( )' 2 1f x lnx ax= − + y lnx= 2 1y ax= − ( ) ( )f x x lnx ax= − ( 0)x > ( ) 1' 2 1f x lnx ax x a lnx axx  = − + − = − +   ( )' 2 1 0f x lnx ax= − + = 2 1lnx ax= − ( ) ( )f x x lnx ax= − ( )' 2 1f x lnx ax= − + y lnx= 2 1y ax= − 1 2a = 2 1y ax= − y lnx= 1 2 a≤ y lnx= 2 1y ax= − 1 2a ≥ . 8.偶函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上存在导数 ，当 x<0 时， 且 f(1)=0，则使 得 成立的 x 的取值范围为（ ） A. (-∞,-1)∪(1,+∞) B. (-∞,-1)∪(0,1) C. (-1,0)∪(1,+∞) D. (-1,0)∪(0,1) 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 ，根据 ，可知 时， ，利用单调性及奇 偶性即可求解. 【详解】当 x<0 时， 可得： ， 令 ， 则 ， 所以当 x<0 时， ， 即 在 上单调递减， 又 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数， 所以 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数 所以 ， 所以当 或 时， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的应用，解不等式，属于 中档题. 9.已知 f(x)为奇函数，当 x∈[0,1]时， 当 ，若关于 x 的不等式 f(x+m)>f(x)恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. (-1,0)∪(0,+∞) B. C. D. (2,+∞) ( )'f x 2'( ) ( ),f x f xx < − 2 ( ) 0x f x < 2( ) ( )g x x f x= 2'( ) ( )f x f xx < − 0x < ( ) 0g x′ < 2'( ) ( )f x f xx < − 2 ( ) ( ) 0f x xf x′+ > 2( ) ( )g x x f x= 2( ) 2 ( ) ( ) (2 ( ) ( ))g x xf x x f x x f x xf x′ ′ ′= + = + ( ) 0g x′ < 2( ) ( )g x x f x= ( ,0)−∞ ( )f x 2( ) ( )g x x f x= ( 1) (1) (1 =0g g f− = = ） 1 0x− < < 0 1x< < ( ) 0 ( )f x m+ 当 的图象与 在 相切时， ，此时对应直线斜率 ， 由 ，即 ，得 ． 此时 ， 又切点在直线 上， 所以切点坐标为 ， 即 ， 解得 ， 所以当 时，不等式 恒成立. 当 时， 的图象向右平移，如图， 显然不等式 不恒成立. 综上 的取值范围是 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是 解决本题的关键，属于难题． 10.已知函数 ，若函数 恰有 7 个不同零点,则实数 a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. [-1,1] C. (-1,1) D. (-1,0)∪(0,1) 【答案】D 0( )f x m+ ( )f x 1 2x ≤ 1 0( ) x mf x m e − +′ + = 2k = 01 2x me − + = 01 2x m ln− + = 02 1x ln m= + − 0 02 1 1 ln 21 1 2 1 1ln m my e e+ − − += − = − = − = 2y x= 1( ,1)2 0 12 1 2x ln m= + − = 0 1 ln 22m = + 0 1 ln 22m m≥ = + ( ) ( )f x m f x+ > 0m < ( )f x m+ ( ) ( )f x m f x+ > m 1 2,2 ln + +∞   B 2 2 log ( 2), 2 0( ) 2 , 0 x xf x x x x + − < ≤=  − > 2( ) [ ( ))] ( 1) ( ( )) ( )g x f x a f f x a a= − + ⋅ + ∈ R 【解析】 【分析】 利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法 ，作出 的图象，利用数形 结合判断根的个数即可， 【详解】由 得： 则 或 ， 作出 的图象如图， 则若 ，则 或 ， 设 ，由 得 ， 此时 或 ， 当 时， ，有两个根，当 时， ，有 1 个根， 则必须有 ， 有 4 个根， 设 ，由 得 ， 若 ，由 得 ，或 ， 有 2 个根， 有 1 个根， 此时有 3 个根，不满足条件． 若 ，由 得 ， 有 1 个根，不满足条件． ( )t f x= ( )f x ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2[ ] 1 0g x f f x a f f x a= − + ⋅ + = ( )( ) ( )(1 [ 0,f f x f f x a  − − =  ( )( ) 1f f x = ( )( )f f x a= ( )f x ( ) 1f x = 0x = 1 2x = + ( )t f x= ( )( ) 1f f x = ( ) 1f t = 0t = 1 2t = + 0t = ( ) 0f x t= = 1 2t = + ( ) 1 2f x t= = + ( )( )f f x a= ( )1a ≠ ( )t f x= ( )( )f f x a= ( )f t a= 0a = ( ) 0f t a= = 1t = − 2t = ( ) 1f x = − ( ) 2f x = 1a > ( )f t a= 1 2t > + ( )f x t= 若 ，由 得 ，或 当 时， ，有 3 个根， 当 时， ，有 1 个根， 此时有 个根，满足条件． 若 ，由 得 或 ， 有 1 个根， 有 2 个根， 此时有 3 个根，不满足条件． 若 ，由 得 ，或 或 当 时， 有 1 个根， 当 时， 有 2 个根， 当 时， 有 1 个根， 此时有 个根，满足条件． 若 ，由 得 ， 有 1 个根，不满足题意. 综上，a 的取值范围是 . 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结 合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 二､多项选择题(每题 5 分，选对部分 3 分，共 10 分) 11.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，满足 f(x+4)=-f(x)+f(2)，且在区间[0,4]上是增函数，下列命题 中正确的是（ ） A. 函数 f(x)的一个周期为 4 B. 直线 x=-4 是函数 f(x)图象的一条对称轴 C. 函数 f(x)在[-6,-5)上单调递增，在[-5,-4)上单调递减 D. 函数 f(x)在[0,100]内有 25 个零点 【答案】ABD 0 1a< < ( )f t a= 11 0t− < < 22 1 2t< < + 11 0t− < < ( ) 1f x t= 22 1 2t< < + ( ) 2f x t= 3 1 4+ = 1a = − ( )f t a= 1 3 2t = − 2 1t = 3( ) 2f x = − ( ) 1f x = 1 0a− < < ( )f t a= 1 3 12 t− < < − 20 1t< < 31 2t< < 1 3 12 t− < < − ( ) 1f x t= 20 1t< < 2( )f x t= 31 2t< < ( ) 3f x t= 1 2 1 4+ + = 1a < − ( )f t a= 32 2t− < < − ( )f x t= ( 1,0) (0,1)−  【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和条件，得到 ，即函数是周期为 4 的周期函数，结合的周期性， 奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可． 【详解】 偶函数 ，满足 ， 令 得 ， 即 ，得 ， 则 ， 即函数 是周期为 4 的周期函数， 故 A 正确； 是偶函数， 图象关于 y 轴即 对称，函数的周期是 4， 是函数 图象的一条对称轴， 故 B 正确； 在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数， 则在区间 上是减函数， 故 C 错误； ， 在区间 上是减函数， 在区间 上是减函数， 即函数在一个周期 内只有一个零点， 则函数 在 内有 25 个零点，故 D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的应用，根据条件求出函 数的周期是解决本题的关键，为中档题． ( )2 0f =  ( )f x ( ) ( ) ( )4 2f x f x f+ = + ∴ 2x = − ( ) ( ) ( )2 4 2 2f f f− + = − + ( ) ( ) ( )2 2 2f f f= + ( )2 0f = ( ) ( )4f x f x+ = ( )f x ( )f x ∴ 0x = 4x∴ = − ( )f x  [ ]0,2 ∴ [ ]2,0− [ ]6, 4− − ( )2 0f = ( )f x [ ]2,0− ( )f x∴ [ ]2,4 [ ]0,4 ( )f x [ ]0,100 12.已知函数 的图象与直线 y=m 分别交于 A､B 两点，则（ ） A. f(x)图像上任一点与曲线 g(x)上任一点连线线段的最小值为 2+ln2 B. ∃m 使得曲线 g(x)在 B 处的切线平行于曲线 f(x)在 A 处的切线 C. 函数 f(x)-g(x)+m 不存在零点 D. ∃m 使得曲线 g(x)在点 B 处的切线也是曲线 f(x)的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利 用 特 值 法 ， 在 f(x) 与 g(x) 取 两 点 求 距 离 ， 即 可 判 断 出 选 项 的 正 误 ； 解 方 程 ，可判断出 选项的正误；利用导数判断函数 的单调性， 结合极值的符号可判断出 选项的正误；设切线与曲线 相切于点 ， ，求出 两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出 选项的正误．进而得 出结论． 【详解】在函数 上分别取点 ，则 ，而 （注 ），故 选项不正确； ， ，则 ， ， 曲线 在点 处的切线斜率为 ， 曲线 在点 处的切线斜率为 ， 令 ，即 ，即 ，则 满足方程 ， 使得曲线 在 处的切线平行于曲线 在 处的切线， 选项正确； 构造函数 ，可得 ， 函数 在 上为增函数，由于 ， （1） ， 1( ) , ( ) 1 2 2 x xf x e g x n= = + A 1 2( ) (2 )m f lnm g e −′ ′= B ( ) ( )y f x g x m= − + C ( )y g x= (C n ( ))g n D 1( ) , ( ) 1 2 2 x xf x e g x n= = + 1(0,1), (2, )2P Q 17| | 2PQ = 17 2 ln 22 < + ln 2 0.7≈ A ( ) xf x e= 1( ) 2 2 xg x ln= + ( ) xf x e′ = 1( )g x x ′ = ( )y f x= A ( )f lnm m′ = ( )y g x= B 1 2 1 2 1(2 ) 2 m m g e e − − ′ = 1 2( ) (2 )m f lnm g e −′ ′= 1 2 1 2 m m e − = 1 22 1m me − = 1 2m = 1 22 1m me − = m∴∃ ( )y f x= A ( )y g x= B B 1( ) ( ) ( ) 2 2 x xF x f x g x m e ln m= − + = − + − 1( ) xF x e x ′ = − 1( ) xF x e x ′ = − (0, )+∞ 1( ) 2 0F ee ′ = − < F′ 1 0e= − > 则存在 ，使得 ，可得 ， 当 时， ；当 时， ． ， 函数 没有零点， 选项正确； 设曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ， ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 同理可得曲线 在点 处的切线方程为 ， ，消去 得 ， 令 ，则 ， 函数 在 上为减函数， （1） ， ， 则存在 ，使得 ，且 ． 当 时， ，当 时， ． 函数 在 上为减函数， ， ， 由零点存 定理知，函数 在 上有零点， 即方程 有解． 使得曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线． 故选： ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考 查了转化思想和数形结合思想，属难题． 三､填空题(每题 5 分，共 20 分) 1( ,1)2t ∈ 1( ) 0tF t e t ′ = − = t lnt= − 0 x t< < ( ) 0F x′ < x t> ( ) 0F x′ > ∴ 1 1( ) ( ) 22 2 2 t t min tF x F t e ln m e lnt m ln= = − + − = − + + − 1 1 1 1 32 2 2 2 02 2 2t m ln t m ln ln mt t = + + + − > ⋅ + + − = + + > ∴ ( ) ( ) ( )F x f x g x m= − + C ( )y f x= A ( )y g x= (C n ( ))g n ( )y f x= A ( )lnmy m e x lnm− = − (1 )y mx m lnm= + − ( )y g x= C 1 1 2 2 ny x lnn = + − ∴ 1 1(1 ) 2 2 m n nm lnm ln  =  − = − n 1( 1) 2 02m m lnm ln− − + + = 1( ) ( 1) 2 2G x x x lnx ln= − − + + 1 1( ) 1 xG x lnx lnxx x −′ = − − = − ( )y G x′= (0, )+∞ G′ 1 0= > 1(2) 2 02G ln′ = − < (1,2)s∈ 1( ) 0G s lnss ′ = − = 1 ss e= 0 x s< < ( ) 0G x′ > x s> ( ) 0G x′ < ∴ ( )y G x= (2, )+∞ 5(2) 02G = > 17(8) 20 2 02G ln= − < ( )y G x= (2, )+∞ 1( 1) 2 02m m lnm ln− − + + = m∴∃ ( )y f x= A ( )y g x= BCD 13.已知 ，则 A∩B=______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数的单调性解不等式化简集合 A，解分式不等式化简集合 B，求交集即可. 【详解】由 得： ， 解得 ， 故 ， 由 得： ， 解得 ， 故 ， 所以 A∩B= 【点睛】本题主要考查了指数不等式，分式不等式，集合的交集运算，属于中档题. 14.已知复数 ，若 表示 z2 的共轭复数，则复数 的模长等于______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的模的定义及性质运算即可. 【详解】 ， ， ， ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了复数模的定义，复数模的性质，属于容易题. 2{ | 3 1, },xA x x− += ≥ ∈ R 2 1{ | 1, }3 xB x x Rx −= ≤ ∈+ [ 3,2]− 23 1x− + ≥ 2 0x− + ≥ 2x ≤ { | 2}A x x= ≤ 2 1 13 x x − ≤+ 4 03 x x − ≤+ 3 4x− ≤ ≤ { | 3 4}B x x= − ≤ ≤ [ 3,2]− 1 23 4 , 1z i z i= − = + 2z 1 2 z i z ⋅ 5 2 2 1 23 4 , 1z i z i= − = + 2 2 1| | 3 ( 4) 5z∴ = + − = 2| | 2z = 1 1 1 22 2 | | | | 5 5 2| | | | 2| | 2 z i z i z zz z ⋅ ⋅∴ = = = = 5 2 2 15.已知函数 ，任取 x1,x2∈[t,t+1]，若不等式|f(x1)-f(x2)|<1 对任意 t∈[-2,-1]恒成立，则实数 m 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由条件可得 对任意 ， 恒成立，求出 的最大值和最小值代入 该式即可得到 的范围． 【详解】若任取 ， ， ，不等式 对任意 ， 恒成立， 即 对任意 ， 恒成立， 因为 在定义域上是单调减函数， 所以 ， ， 即 ， 即 ，即 ， 所以 ，即 ， 又 有意义，需 ，即 ， 所以 ， ， ，可得 ． 所以 的取值范围为 ， ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了参数分离思想和转化思想，属难题． 16.已知函数 若 ，则正数 a 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 1( ) ( 2 ),xf x lg m m−= + ∈ R 16 9( , )− +∞ ( ) ( ) 1max minf x f x− < [ 2t ∈ − 1]− ( )f x m 1x 2 [x t∈ 1]t + 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x− < [ 2t ∈ − 1]− ( ) ( ) 1max minf x f x− < [ 2t ∈ − 1]− 1( ) ( 2 )xf x lg m −= + 1( ) ( 2 )t maxf x lg m −= + ( ) ( 2 )t minf x lg m −= + 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 12 2max min t tf x f x lg m lg m− = + − + < 1( 2 ) 10( 2 )t tm m− −+ < + 39 2 tm −> − 39 ( 2 ) 16t maxm −> − = − 16 9m > − 1( ) ( 2 )xf x lg m −= + 12 0xm −+ > 2 2xm > − 2 2tm > − [ 2t ∈ − 1]− 4m > − m 16( 9 − )+∞ 16( 9 − )+∞ 2( ) ,xf x e ax= + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, (0,1) , 2020x x x x f x f x x x∀ ∈ ≠ − < − 2020(0, ]2 e− 由 正 数 a 可 知 在 上 递 增 ， 不 妨 设 ， 原 问 题 转 化 为 ，构造函数 ，利用函数单调性即可求解. 【详解】因为 为正数， 所以函数 在 上单调递增， 不妨设 ， 则 ， 可得 ， 恒成立， 令 ， ， 即 在 上成立， 所以函数 在 上是减函数， ， 在恒成立， 当 ， 为增函数， 即可， 解得 又 ， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线的斜率，转化思想，函数的最值，属于 难题. 四、解答题(17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分) 17.已知函数 的定义域为集合 A，函数 的值域为集合 B， 集合 . （1）求 A∪B； 2( ) xf x e ax= + (0,1) 1 2x x< 2 1 2 1( ) ( ) 2020( )f x f x x x− < − ( ) ( ) 2020g x f x x= − a 2( ) xf x e ax= + (0,1) 1 2x x< ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, (0,1) , 2020x x x x f x f x x x∀ ∈ ≠ − < − 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 2 1 2 1( ) ( ) 2020( )f x f x x x− < − ( ) ( ) 2020g x f x x= − [0,1]x∈ 2 1( ) ( )g x g x< (0,1) ( )g x (0,1) 2( ) ( ) 2020 2020xg x f x x e ax x= − = + − ( ) 2 2020 0xg x e ax′∴ = + − ≤ (0,1)x∈ ( )g x′ (1) 2 2020 0g e a′∴ = + − ≤ 2020 2 ea −≤ 0 a< 20200 2 ea −< ≤ 2020(0, ]2 e− 2( ) lg(2 3 1)f x x x= − + ( ) 2 ( ], ,2xg x x= ∈ −∞ 2 2{ | 4 3 0} ( 0)C x x mx m m= − + ≤ > （2）若 ,求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】 （1）求出集合 A，B，根据集合的并集运算即可； （2） 或 ，利用 ，列出不 等式组，求出实数 的取值范围. 【详解】由 可得： ， 所以 或 , 因为 ， 所以 ， 所以 . （2） ， 或 ， 因为 ， 所以 或 ， 解得 或 ， 故实数 m 的取值范围 或 . 【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 18.已知函数 （1）求这个函数 极值； （2）若过点(0,1)的直线 l 与这个函数图象相切，求 l 的方程. 【答案】（1）极小值 ，无极大值（2） 【解析】 【分析】 的 ( )C A B⊆  R 10 6m< ≤ 41 3m≤ ≤ { | 3 },C x m x m= < < 1{ | 0 2A B x x∩ = < < 1 4}x< ≤ ( )C A B⊆  m 2( ) lg(2 3 1)f x x x= − + 22 3 1 0x x− + > 1{ | 2A x x= < 1}x > ( ) 2 ( ], ,2xg x x= ∈ −∞ { | 0 4}B x x= <  A B R= { | 3 }C x m x m= < < 1{ | 0 2A B x x∩ = < < 1 4}x< ≤ ( )C A B⊆  0 13 2 m m < ≤ 1 3 4 m m ≤  ≤ 10 6m< ≤ 41 3m≤ ≤ 10 6m< ≤ 41 3m≤ ≤ 2 ln 1.y x x= + 1 12e − + 1 1 0x ye + − = (1)求出函数的导数，求导函数的零点，分析函数的单调性即可求出极值； (2)设切点为 ，可得切线的斜率，写出切线的方程，代入点(0,1)，解方程可得 m,得到切线的斜率和切线 l 的方程. 【详解】（1）函数 的导数为 ， 令 ， 解得 ， 当 时， ，当 时， ， 故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时，函数有极小值 ，无极大值. （2）设切点为 ， 则 ， 即切线方程为 ， 由于直线过点(0,1)， 所以 ， 化简得 ，即 ， 所以 ， 所以切线 l 方程为 . 【点睛】本题主要考查了函数的极值，函数的切线方程，属于中档题. 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， . （1）求 f(x)的解析式； （2）设 x∈[1,2]时，函数 ，是否存在实数 m 使得 g(x)的最小值为 6， 若存在，求 m 的取值；若不存在，说明理由. ( )2, 1m m lnm + 2 ln 1y x x= + 2 lny x x x′ = + 2 ln =0y x x x′ = + 1 2x e −= 1 20 x e −< < 0y′ < 1 2e x − < 0y′ > 1 2(0, )e − 1 2( , )e − +∞ 1 2x e −= 1 12e − + ( )2, 1m m lnm + 2 lnk m m m= + 2 1 (2 ln )( )m lnm my m m x m− = + −− 2 ln (2 ln ) ( )m m m m m m− = + ⋅ − ln 1m = − 1m e = 1k e = − 1 1 0x ye + − = 2( ) (2 1)xf x x log= + + ( )( ) 2 2 2f x xg x m m= + ⋅ − 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】 （1）设 ，根据 计算 ，利用奇偶性即可求解函数解析式； （2）通过换元，问题转化为二次函数 h (t)在[2， 4]上的最小值为 6，再通过分类讨论得出结 论. 【详解】（1）设 ，则 ， 由当 x>0 时， 可知， ， 又 f（x）为 R 上的奇函数， 于是 ， 故当 时， ， 当 时，由 知， 综上知 （2）由（1）知，x∈[1,2]时， ， 令 ， ， 函数 g(x)的最小值为 6，即 在 上的最小值为 6， ①当 ，即 m＞﹣5 时，函数 h（t）在[2，4]上为增函数， 于是 h（t）min＝h（2）＝6，此时存在满足条件的实数 m＞﹣5； ②当 ，即﹣9≤m≤﹣5 时， ，解得 ，此 时 满足条件； ③当 ，即 m＜﹣9 时，函数 h（t）在[2，4]上为减函数， 2 2 log (2 1), 0 ( ) 0, 0 2 log (2 1), 0 x x x x f x x x x  + + > = =  − + < 5m ≥ − 0x < 0x− > ( )f x− 0x < 0x− > 2( ) 1 (2 1)xf x x og= + + ( )2( ) 1 2 1xf x x og −− = − + + ( )2( ) ( ) 1 2 1xf x f x x og −= − − = − + 0x < ( )2( ) 2 log 2 1xf x x= − + 0x = ( 0) (0)f f− = − (0) 0f = 2 2 log (2 1), 0 ( ) 0, 0 2 log (2 1), 0 x x x x f x x x x  + + > = =  − + < ( )2log (2 1 2)( )( ) 2 2 2 22 2 2 2 ( 1)2 2xf xx x xxxg x m m mm m m+⋅ + ⋅ −= + ⋅ − = + + −= 2 [2,4]xt = ∈ 2( ) ( 1) 2h t t m t m= + + − 2( ) ( 1) 2h t t m t m= + + − [2,4] 1 22 m +− < 12 42 m +−  2 min m 10m 1h(t) 64 − − −= = 5m = − 5m = − 1 42 m +− > 于是 h（t）min＝h（4）＝2m+20＝6，解得 ，此时不存在满足条件的实数 m； 综上，存在 使得函数 g（x）的最小值为 6． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数能成立问题，考查分类讨论思 想，属于中档题． 20.已知定义域为 R 的函数 是奇函数. （1）求 a,b 的值； （2）若存在 t∈(1,4)，不等式 有解，求 k 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1） 为奇函数,利用 f (0) =0，解得 a,根据定义解出 b； （2）根据函数为奇函数及函数的单调性可转化为 t∈(1,4)时， 有解，分离参数 得 在 t∈(1,4)时有解，求 的最小值即可. 【详解】（1） 为奇函数， ， 解得 ， ， 由 ， 可得 . （2）由（1）知 ， 故函数 在 上为增函数， ， 是奇函数， ， 又函数 在 上为增函数， 7m = − 5m ≥ − 1 2 1( ) 2 x x af x b+ ⋅ += + 2 2( 2) (2 ) 0f t f t kt− + − < 1, 2a b= − = 1k > ( )f x 2 22 2t kt t− < − 23k t t > − 23t t − ( )f x 1(0) 02 af b +∴ = =+ 1a = − 1 1 2( ) 2 x xf x b+ −∴ = + 1 1 2 2 1 2 1( ) ( )2 2 2 2 2 x x x x x xf x f xb b b − − + − − −− = = = − =+ + ⋅ ⋅ + 2b = 1 1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x + −= = −+ + ( )f x R 2 2( 2) (2 ) 0f t f t kt− + − < ( )f x 2 2( 2) ( 2 )f t f kt t∴ − < − ( )f x R 存在 t∈(1,4)时， 有解， 即 在 t∈(1,4)时有解， 令 ，则 在 t∈(1,4)上是增函数， 所以 ， 故当 时，不等式有解. k 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的单调性，利用函数单调性求最值，转 化思想，属于中档题. 21.设 . （1）讨论 f(x)的单调性； （2）当 x>0 时，f(x)>0 恒成立，求 k 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）求函数导数，根据 的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性； （2）由（1）求函数在 时 最小值，问题转化为函数的最小值大于 0 恒成立，根据函数 单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与 0 的大小关系即可求解. 【详解】（1） ， ， ①当 时，即 时， ， 在 上是减函数； ②当 时，即 时， 由 ， 解得 ， 当 时， ，当 时， ， 的 ∴ 2 22 2t kt t− < − 23k t t > − 2( ) 3h t t t = − 2( ) 3h t t t = − min( ) (1) 1h t h> = 1k > 1k > ( ) ( 1) 1xf x k e x k= − − − + 2k ≥ 1k − 0x > ( ) ( 1) 1xf x k e x k= − − − + ( ) ( 1) 1xf x k e∴ = − −′ 1 0k − ≤ 1k ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x∴ R 1 0k − > 1k > ( ) ( 1) 1 0xf x k e′ = − − = 1ln 1x k = − 1ln 1x k < − ( ) 0f x′ < 1ln 1x k > − ( ) 0f x′ > 在 单调递减，在 上单调递增， 综上， 时，函数在 上是减函数，无单调增区间； 时，函数 单调递减，在 上单调递增. （2）由（1）知， 若 时， 在 无最小值，所以 f(x)>0 不恒成立； 若 时， ①当 时， ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ， 即当 x>0 时，f(x)>0 恒成立； ②当 时， ， 函数在 递减，在 上递增， 所以当 时， ， 只需 即可， 令 ， ， 则 ， 所以 在 上是增函数， 故 ， 即 无解， 所以 时，f(x)>0 不恒成立。 综上，k 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思 想，属于难题. 在 ( )f x∴ 1( ,ln )1k −∞ − 1(ln , )1k +∞− 1k ≤ R 1k > 1( ,ln )1k −∞ − 1(ln , )1k +∞− 1k ≤ ( )f x (0, )x∈ +∞ 1k > 2k ≥ 1ln 01k ≤− ( )f x (0, )x∈ +∞ ( ) (0) 0f x f> = 1 2k< < 1ln 01k >− 1(0,ln )1k − 1(ln , )1k +∞− 1ln 1x k = − min 1 1( ) (ln ) 2 ln 2 ln( 1)1 1f x f k k kk k = = − − = − + −− − 2 ln( 1) 0k k− + − > ( ) 2 ln( 1)g x x x= − + − 1 2x< < 1 2( ) 1 01 1 xg x x x −′ = − + = >− − ( )g x (1,2) ( ) (2) 0g x g< = 2 ln( 1) 0k k− + − > 1 2k< < 2k ≥ 22.已知函数 函数 与直线 相切，设函数 其 中 a、c∈R，e 是自然对数的底数. （1）讨论 h(x)的单调性； （2）h(x)在区间 内有两个极值点. ①求 a 的取值范围； ②设函数 h(x)的极大值和极小值的差为 M，求实数 M 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）① ② 【解析】 【分析】 直接利用导数的几何意义即可求得 c 值，得 ，求导，分类讨论即可 求解； ① 函 数 在 区 间 内 有 两 个 极 值 点 ， ，则 在区间 内有两个不同的根 即可；② 的极大值和极小值的差为 进行化简分析． 【详解】 设直线 与函数 相切与点 ， 函数 在点 处的切线方程为： ， ， 把 ， 代入上式得 ， ． 所以，实数 c 的值为 2． 所以 ， 则 ， 当 时, ， 故函数 在 上单调递减，无增区间， ( ) ,af x ax x = − ( )g x clnx= y xe 2= ( ) ( ) ( ),h x f x g x= − 1( ,2)2 4 15 a< < 12(0,4ln 2 )5 − ( )1 ( ) 2lnah x ax xx = − − ( )2 ( ) ( )ah x ax g xx = − − 1( ,2)2 ( ) 2 2 2 2 2 0a ax x ah x a x x x − += + − = =′ 2 2 0ax x a− + = 1( ,2)2 ( )h x ( ) ( )1 2M f x f x= − ( )1 2y xe = ( )g x clnx= ( )0 0,P x clnx ( )g x clnx= ( )0 0,P x y ( )0 0 0 ln cy c x x xx − = − 0 2c x e = 0x = 0y = 0x e= 2c = ( ) 2lnah x ax xx = − − 0x > ( ) 2 2 2 2 2' a ax x ah x a x x x − += + − = 0a ≤ 2 2 ( 1) 2( ) 0a x xh x x + −′ = < ( )h x (0, )+∞ 当 时， ， ， 所以函数 在 上单调递增，无减区间， 当 时，令 ， 解得 ， 所以当 或 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 综上，当 时，函数 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 由 知 ， 设函数 在区间 内有两个极值点 ， ， 令 ， 则 ，设 因为 ，故只需 所以， ． 因为 ， 所以 1a ≥ 2 2 0y ax x a= − + ≥ ( ) 2 2 2' ax x ah x x − += ( )h x (0, )+∞ 0 1a< < ( ) 2 2 2' 0ax x ah x x − += = 2 2 1 2 1 1 1 10 a ax xa a − − + −< = < = 10 x x< < 2x x> ( ) 0h x′ > 1 2x x x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1 2(0, ),( , )x x +∞ 1 2( , )x x 0a ≤ ( )h x (0, )+∞ 1a ≥ ( )h x (0, )+∞ 0 1a< < ( )h x 1 2(0, ),( , )x x +∞ 1 2( , )x x ( )2 ① ( )1 ( ) 2lnah x ax xx = − − ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 1( ,2)2 1x 2 1 2( )x x x< ( ) 2 2 2 2 2' 0a ax x ah x a x x x − += + − = = 2 2 0ax x a− + = ( ) 2 2m x ax x a= − + 1 2 1x x = ( ) 0, 2 0, 2 0, a m ∆ >  >  > 4 15 a< < ② 1 2 1x x = ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 2ln 2lna aM f x f x ax x ax xx x  = − = − − − − −    ． 由 ，得 ，且 ． ． 设 ， ，令 ， ， 在 上单调递减，从而 ， 所以，实数 M 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的极值，函数的最值，考查推理能力和 计算能力，属于难题． 1 1 1 1 1 1 12ln 2lna aax x axx x x  = − − − − −    2 1 1 1 22 2lnaax xx = − − 2 1 12 0ax x a− + = 1 2 1 2 1 xa x = + 1 1 12 x< < 1 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 1 1 1 222 1 1 12 2ln 4 ln1 1 2 x x x xM x x xx x x  + −= − − = − + +  2 1x t= 1 14 t< < ( ) 1 14 ln1 2 tt tt ϕ − = − +  ( ) 2 2 2 2 1 2( 1)' 4 0( 1) 2 ( 1) tt t t t t ϕ   − −= − = < + +  ( )tϕ 1 ,14      ( ) ( ) 11 4tϕ ϕ ϕ  < <    12(0,4ln 2 )5 −