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  • 2021-06-15 发布

【数学】重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年高二下学期期末联考试题

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重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年 高二下学期期末联考试题 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知i是虚数单位,复数z满足,则复平面内表示z的共轭复数的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知为△ABC 的三个内角的对边,向量,‎ ‎,若,且,则角A、B的大小分别为( ) A. B. C. D.‎ ‎4.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为( ) ‎ ‎(参考数据:)‎ A.3.1419 B.‎3.1417 ‎ C.3.1415 D.3.1413‎ ‎5.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知且 ,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知,则“直线与直线垂直”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于C,△ACF的面积为,则|AB|为( )‎ A.6 B‎.9 ‎ C. D.‎ ‎9.已知函数在定义域上是单调函数,且,‎ 当在上与在R上的单调性相同时,实数k的取值范围是( ) A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知函数,,若成立,则m-n的最小值是( ) A. B. C. D.‎ ‎11.设F(c,0)为双曲线E:的右焦点,以F为圆心,b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,线段FP的中点为D,△POF的外心为I,且满足,则双曲线E的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎12.已知,,,则实数m的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.记是等差数列前n项的和,是等比数列前n项的积,设等差数列公差,若对小于2019的正整数n,都有成立,则推导出设正项等比数列的公比,若对于小于23的正整数n,都有成立,则= .‎ ‎14.西南大学2020届新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团。若每个社团至少一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,其中同学甲不参加“街舞俱乐部”,则这五名同学不同的参加方法有 ‎ 种.‎ ‎15.已知正四棱柱中AB=2,=3,O为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1,S2,则= .‎ ‎16.如图,在三棱锥A-BCD中,点E在BD上,EA=EB=EC=ED,BD=CD,△ACD为正三角形,点M,N分别在AE,CD上运动(不含端点),且AM=CN,则当四面体C-EMN的体积取得最大值时,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1,2第1次“Z拓展”后得到数列1,3,2,第2次“Z 拓展”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a,b,c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为,所有项的和记为. (1)若,求n的最小值; (2)是否存在实数a,b,c,使得数列为等比数列?若存在,求a,b,c满足的条件;若不存在,说明理由.‎ ‎18.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒,为筛查该病毒,有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性,对于a份血液样本,有以下两种检验方式:一是逐份检验,则雷检验n次.二是混合检验,将其中k份血液样本分别取样混合在一起,若检验结果为阴性,那么这k份血液全为阴性,因而检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪些为阳性,就需要对它们再逐份检验,此时k份血液检验的次数总共为k+1次.某定点医院现取得4份血液样本,考虑以下三种检验方案:方案一:逐个检验;方案二:平均分成两组检验;方案三:四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中,每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阴性的概率为P=. (1)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率; (2)若检验次数的期望值越小,则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”?请说明理由.‎ ‎19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示)、凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm,②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.‎ ‎ (1)若凳面是边长为20cm的正三角形,三只凳脚与地面所成的角均为45°,确定节点O分细钢管上下两段的比值(精确到0.01); (2)若凳面是顶角为120°的等腰三角形,腰长为24cm,节点O分细钢管上下两段之比为2:3、确定三根细钢管的长度(精确到0.1cm).‎ ‎20.已知椭圆E:的左,右焦点分别为(-1,0),(1,0),点P在椭圆E上,,且.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆E相交于A,B两点,与圆相交于C,D两点,求的取值范围.‎ ‎21.已知函数(e为自然对数的底数),其中a>0. (1)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. (2)若函数的两个极值点为,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知点A为圆C:上的动点,O为坐标原点,过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时,直线OA约定为y轴),垂足为M,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点M的轨迹的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程为,连接OA并延长交l于B,求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-a|. (1)当a=-1时,求不等式f(x)≤|2x+1|-1的解集; (2)若函数g(x)=f(x)-|x+3|的值域为A,且[-2,1]⊆A,求a的取值范围.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D ‎7.B 8.B 9.B 10.B 11.D 12.B ‎13.1 14.180‎ ‎15. 16.32π ‎17.解:(1)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项, 由数列经第n次拓展后的项数为Pn,则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn-1, 所以Pn+1=Pn+(Pn-1)=2Pn-1 所以Pn+1-1=2Pn-2=2(Pn-1), 由(Ⅰ)知P1-1=4,所以, 由,即2n+1≥2019,解得n≥10 所以n的最小值为10. (2)设第n次拓展后数列的各项为a,a1,a2,a3,…,am,c 所以Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和, 所以Sn+1=a+(a+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+…+am+(am+c)+c 即Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c 所以Sn+1=3Sn-(a+c), 得 由S1=2a+3b+2c,则 若使Sn为等比数列,则或 所以,a,b,c满足的条件为或者.‎ ‎18.解:(1)该混合样本阴性的概率是()2=, 根据对立事件原理,阳性的概率为1-=. (2)方案一:逐个检验,检验次数为4, 方案二:由(Ⅰ)知,每组2个样本检验时,若阴性则检测次数为1,概率为, 若阳性,则检测次数为3,概率为, 设方案二的检验次数记为ξ,则ξ的可能取值为2,4,6, 其分布列为:‎ ‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E(ξ)==, 方案三:混在一起检验,设方案三的检验次数记为η,η的可能取值为1,5, 其分布列为:‎ ‎ η ‎ 1‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ E(η)=1×+5×=, ∵E(η)<E(ξ)<4,故选择方案三最“优”.‎ ‎19.解:(1)设△ABC的重心为H,连接OH ‎ 由题意可得,,设细钢管上下两段之比为λ 已知凳子高度为30、则 ∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直,且凳面与地面平行 ∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角,亦即∠OBH=45° ‎ ‎∵BH=OH,∴,解得 即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63 (2)设∠B=120°,∴AB=BC=24, 设△ABC的重心为H,则, 由节点O分细钢管上下两段之比为2:3,可知OH=12 设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC', 则, , ∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm,36.1cm和60.8cm ‎20.解:(1)∵点P在椭圆E上,∴|PF1|+|PF2|=2a, ∵|PF1|=3|PF2|,∴,, ∵PF2⊥F1F2,∴,‎ 又,∴, ∵,∴, ∴椭圆E的标准方程为; (2)设, 联立,消去x得, ∴,, ∴, 设圆x2+y2=2的圆心O到直线l的距离为d,则, ∴, ‎ ‎∴, ∵,∴, ∴, ∴的取值范围为.‎ ‎21.解:(1)由条件可知,函数在(-∞,0)上有意义, ,'a>0, 令f′(x)=0可得,<0,>0, x<x1时,f′(x)>0,函数单调递增,当x1<x<0时,f′(x)<0,函数单调递减, 由,可得f(-a)=0,‎ 当x<-a时,f(x)>0,当-a<x<0时,f(x)<0, 因为-a-x1=-a+=>0,所以x1<-a<0, 又函数在(x1,0)上单调递减且<0, 所以f(x)在(]上有最小值f(-)=-e, (2)由(1)可知a>0时,f(x)存在两个极值点为x1,x2(x1<x2), 故x1,x2是x2+ax-a=0的根, 所以x1+x2=x1x2=-a,且x1<x2<1, 因为=,同理f(x2)=(1-x1), ∴lnf(x2)=ln(1-x1)+x2,lnf(x1)=ln(1-x2)+x1, ∴= =, 又1=, 由(1)知,1-x1>1-x2>0, 设m=1-x1,n=1-x2‎ ‎, 令h(t)=lnt-,t≥1,则>0, 所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=0,即lnt>, 令t=则 从而.‎ ‎(选做)22.解:(1)设点M的极坐标为(ρ,θ),所以根据题意,‎ 在△OPM中,有ρ=4sinθ, 所以点M的极坐标方程为:ρ=4sinθ. (2)设射线OA:θ=α,(α∈()),圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ. 由得到|OA|=ρ1=2cosα. 由得:, 所以=‎ ‎==. 由于α∈(),所以, 当,即,故.‎ ‎(选做)23.(1)当a=-1时,f(x)=|x+1|. ∵f(x)≤|2x+1|-1,∴当x≤-1时,原不等式可化为-x-1≤-2x-2,∴x≤-1; 当时,原不等式可化为x+1≤-2x-2,∴x≤-1,此时不等式无解; 当时,原不等式可化为x+1≤2x,∴x≥1, 综上,原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}. (2)当a<-3时,, ∴函数g(x)的值域A={x|3+a≤x≤-a-3}. ‎ ‎∵[-2,1]⊆A,∴,∴a≤-5; 当a≥-3时,, ∴函数g(x)的值域A={x|-a-3≤x≤3+a}. ∵[-2,1]⊆A,∴,∴a≥-1, 综上,a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).‎