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- 2021-06-15 发布
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重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年
高二下学期期末联考试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知i是虚数单位,复数z满足,则复平面内表示z的共轭复数的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知为△ABC 的三个内角的对边,向量,
,若,且,则角A、B的大小分别为( )
A. B. C. D.
4.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为( )
(参考数据:)
A.3.1419 B.3.1417 C.3.1415 D.3.1413
5.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则( )
A. B. C. D.
6.已知且 ,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知,则“直线与直线垂直”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于C,△ACF的面积为,则|AB|为( )
A.6 B.9 C. D.
9.已知函数在定义域上是单调函数,且,
当在上与在R上的单调性相同时,实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数,,若成立,则m-n的最小值是( )
A. B. C. D.
11.设F(c,0)为双曲线E:的右焦点,以F为圆心,b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,线段FP的中点为D,△POF的外心为I,且满足,则双曲线E的离心率为( )
A. B. C.2 D.
12.已知,,,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.记是等差数列前n项的和,是等比数列前n项的积,设等差数列公差,若对小于2019的正整数n,都有成立,则推导出设正项等比数列的公比,若对于小于23的正整数n,都有成立,则= .
14.西南大学2020届新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团。若每个社团至少一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,其中同学甲不参加“街舞俱乐部”,则这五名同学不同的参加方法有
种.
15.已知正四棱柱中AB=2,=3,O为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1,S2,则= .
16.如图,在三棱锥A-BCD中,点E在BD上,EA=EB=EC=ED,BD=CD,△ACD为正三角形,点M,N分别在AE,CD上运动(不含端点),且AM=CN,则当四面体C-EMN的体积取得最大值时,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1,2第1次“Z拓展”后得到数列1,3,2,第2次“Z
拓展”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a,b,c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为,所有项的和记为.
(1)若,求n的最小值;
(2)是否存在实数a,b,c,使得数列为等比数列?若存在,求a,b,c满足的条件;若不存在,说明理由.
18.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒,为筛查该病毒,有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性,对于a份血液样本,有以下两种检验方式:一是逐份检验,则雷检验n次.二是混合检验,将其中k份血液样本分别取样混合在一起,若检验结果为阴性,那么这k份血液全为阴性,因而检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪些为阳性,就需要对它们再逐份检验,此时k份血液检验的次数总共为k+1次.某定点医院现取得4份血液样本,考虑以下三种检验方案:方案一:逐个检验;方案二:平均分成两组检验;方案三:四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中,每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阴性的概率为P=.
(1)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率;
(2)若检验次数的期望值越小,则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”?请说明理由.
19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示)、凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm,②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.
(1)若凳面是边长为20cm的正三角形,三只凳脚与地面所成的角均为45°,确定节点O分细钢管上下两段的比值(精确到0.01);
(2)若凳面是顶角为120°的等腰三角形,腰长为24cm,节点O分细钢管上下两段之比为2:3、确定三根细钢管的长度(精确到0.1cm).
20.已知椭圆E:的左,右焦点分别为(-1,0),(1,0),点P在椭圆E上,,且.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线与椭圆E相交于A,B两点,与圆相交于C,D两点,求的取值范围.
21.已知函数(e为自然对数的底数),其中a>0.
(1)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(2)若函数的两个极值点为,证明:.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知点A为圆C:上的动点,O为坐标原点,过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时,直线OA约定为y轴),垂足为M,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点M的轨迹的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程为,连接OA并延长交l于B,求的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=-1时,求不等式f(x)≤|2x+1|-1的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)-|x+3|的值域为A,且[-2,1]⊆A,求a的取值范围.
【参考答案】
1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D
7.B 8.B 9.B 10.B 11.D 12.B
13.1 14.180
15. 16.32π
17.解:(1)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项,
由数列经第n次拓展后的项数为Pn,则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn-1,
所以Pn+1=Pn+(Pn-1)=2Pn-1
所以Pn+1-1=2Pn-2=2(Pn-1),
由(Ⅰ)知P1-1=4,所以,
由,即2n+1≥2019,解得n≥10
所以n的最小值为10.
(2)设第n次拓展后数列的各项为a,a1,a2,a3,…,am,c
所以Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和,
所以Sn+1=a+(a+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+…+am+(am+c)+c
即Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c
所以Sn+1=3Sn-(a+c),
得
由S1=2a+3b+2c,则
若使Sn为等比数列,则或
所以,a,b,c满足的条件为或者.
18.解:(1)该混合样本阴性的概率是()2=,
根据对立事件原理,阳性的概率为1-=.
(2)方案一:逐个检验,检验次数为4,
方案二:由(Ⅰ)知,每组2个样本检验时,若阴性则检测次数为1,概率为,
若阳性,则检测次数为3,概率为,
设方案二的检验次数记为ξ,则ξ的可能取值为2,4,6,
其分布列为:
ξ
2
4
6
P
∴E(ξ)==,
方案三:混在一起检验,设方案三的检验次数记为η,η的可能取值为1,5,
其分布列为:
η
1
5
P
E(η)=1×+5×=,
∵E(η)<E(ξ)<4,故选择方案三最“优”.
19.解:(1)设△ABC的重心为H,连接OH
由题意可得,,设细钢管上下两段之比为λ
已知凳子高度为30、则
∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直,且凳面与地面平行
∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角,亦即∠OBH=45°
∵BH=OH,∴,解得
即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63
(2)设∠B=120°,∴AB=BC=24,
设△ABC的重心为H,则,
由节点O分细钢管上下两段之比为2:3,可知OH=12
设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC',
则,
,
∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm,36.1cm和60.8cm
20.解:(1)∵点P在椭圆E上,∴|PF1|+|PF2|=2a,
∵|PF1|=3|PF2|,∴,,
∵PF2⊥F1F2,∴,
又,∴,
∵,∴,
∴椭圆E的标准方程为;
(2)设,
联立,消去x得,
∴,,
∴,
设圆x2+y2=2的圆心O到直线l的距离为d,则,
∴,
∴,
∵,∴,
∴,
∴的取值范围为.
21.解:(1)由条件可知,函数在(-∞,0)上有意义,
,'a>0,
令f′(x)=0可得,<0,>0,
x<x1时,f′(x)>0,函数单调递增,当x1<x<0时,f′(x)<0,函数单调递减,
由,可得f(-a)=0,
当x<-a时,f(x)>0,当-a<x<0时,f(x)<0,
因为-a-x1=-a+=>0,所以x1<-a<0,
又函数在(x1,0)上单调递减且<0,
所以f(x)在(]上有最小值f(-)=-e,
(2)由(1)可知a>0时,f(x)存在两个极值点为x1,x2(x1<x2),
故x1,x2是x2+ax-a=0的根,
所以x1+x2=x1x2=-a,且x1<x2<1,
因为=,同理f(x2)=(1-x1),
∴lnf(x2)=ln(1-x1)+x2,lnf(x1)=ln(1-x2)+x1,
∴=
=,
又1=,
由(1)知,1-x1>1-x2>0,
设m=1-x1,n=1-x2
,
令h(t)=lnt-,t≥1,则>0,
所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=0,即lnt>,
令t=则
从而.
(选做)22.解:(1)设点M的极坐标为(ρ,θ),所以根据题意,
在△OPM中,有ρ=4sinθ,
所以点M的极坐标方程为:ρ=4sinθ.
(2)设射线OA:θ=α,(α∈()),圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
由得到|OA|=ρ1=2cosα.
由得:,
所以=
==.
由于α∈(),所以,
当,即,故.
(选做)23.(1)当a=-1时,f(x)=|x+1|.
∵f(x)≤|2x+1|-1,∴当x≤-1时,原不等式可化为-x-1≤-2x-2,∴x≤-1;
当时,原不等式可化为x+1≤-2x-2,∴x≤-1,此时不等式无解;
当时,原不等式可化为x+1≤2x,∴x≥1,
综上,原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}.
(2)当a<-3时,,
∴函数g(x)的值域A={x|3+a≤x≤-a-3}.
∵[-2,1]⊆A,∴,∴a≤-5;
当a≥-3时,,
∴函数g(x)的值域A={x|-a-3≤x≤3+a}.
∵[-2,1]⊆A,∴,∴a≥-1,
综上,a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).