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- 2021-06-15 发布
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2013·浙江卷(文科数学)
1. 设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=( )
A.[-4,+∞) B.(-2,+∞)
C.[-4,1] D.(-2,1]
1.D [解析] 从数轴可知,S∩T=(-2,1].所以选择D.
2. 已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( )
A.5-5i B.7-5i
C.5+5i D.7+5i
2.C [解析] (2+i)(3+i)=6-1+i(2+3)=5+5i.所以选择C.
3. 若α∈,则“α=0”是“sin αf(1),则( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
7.A [解析] 若f(0)=f(4),则函数f(x)的图像关于直线x=2对称,则-=2,则4a+b=0,而f(0)=f(4)>f(1),故开口向上,所以a>0,4a+b=0.所以选择A.
8. 已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f′(x)的图像如图1-2所示,则该函数的图像是( )
图1-2
图1-3
8.B [解析] 由导函数的图像可知,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(-1,1)上递增,且导函数为偶函数,则函数f(x)为奇函数,再从导函数的图像可知,当x∈(0,1)时,其二阶导数f″(x)<0,则f(x)在x∈(0,1)时,其图像是向上凸的,或者y随着x增长速度越来越缓慢,故选择B.
9., 如图1-4所示,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
图1-4
A. B.
C. D.
9.D [解析] 设双曲线实半轴长为a,焦半距为c,|AF1|=m,|AF2|=n,由题意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,则双曲线的离心率e===,选择D.
10. 设a,b∈,定义运算“∧”和“∨”如下:
a∧b= a∨b=
若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( )
A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2
C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2
10.C [解析] 从定义知,a∧b=min(a,b),即求a,b中的最小值;a∨b=max(a,b),即求a,b中的最大值;假设02,d>2,则c+d>4,与已知c+d≤4相矛盾,则假设不成立,故min(a,b)≤2,即c∧d≤2.故选择C.
11. 已知函数f(x)= .若f(a)=3,则实数a= ________.
11.10 [解析] f(a)==3.则a-1=9,a=10.
12. 从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于________.
12. [解析] 设选2名都是女同学的事件为A,从6名同学中选2名,共有15种情况,而从3名女生中选2名,有3种情况,所以P(A)==.
13. 直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.
13.4 [解析] 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心到直线的距离为d==,所以弦长为2=2=4 .
14. 若某程序框图如图1-5所示,则该程序运行后输出的值等于________.
图1-5
14. [解析] S=1+++…+=1+1-+-+…+-=1+1-=2-
=.
15. 设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________.
15.2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部,A(2,0),B(4,4),C(2,3),要使z的最大值为12,只能经过B点,此时12=4k+4,k=2.
16. 设a,b∈,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=________.
16.-1 [解析] 当x=1时,0≤a+b≤0,则a+b=0,b=-a,令f(x)=(x2-1)2-(x4-x3+ax-a)=x3-2x2-ax+a+1,则f(x)≥0在x≥0时恒成立,f(1)=1-2-a+a+1=0,则x=1应为极小值点,f′(x)=3x2-4x-a,故f′(1)=0,a=-1,b=1,ab=-1.
17. 设,为单位向量,非零向量=x+y,x,y∈若,的夹角为,则的最大值等于________.
17.2 [解析] =====≤=2.
18. 在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B= b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
18.解:(1)由2asin B= b及正弦定理=,得
sin A=.因为A是锐角,所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A 得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.
由三角形面积公式S=bcsin A,得△ABC的面积为.
19. 在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an ;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
19.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,
即d2-3d-4=0.
故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈*或 an=4n+6,n∈*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,则
当n≤11时,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
综上所述,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
20. 如图1-6所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
图1-6
20.解:(1)证明:设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面 ABCD,
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面APC.
(2)联结OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.
由题意得OG=PA=.
在△ABC中,
AC==2 ,
所以OC=AC=.
在直角△OCD中,OD==2.
在直角△OGD中,tan∠OGD==.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.
在直角△PAC中,得PC=,
所以GC==.
从而PG=,所以=.
21. 已知a∈,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
21.解:(1)当a=1时, f′(x)=6x2-12x+6,所以f′(2)=6.
又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a.
当a>1时,
x
0
(0,1)
1
(1,a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
0
单调
递增
极大值
3a-1
单调
递减
极小值
a2(3-a)
单调
递增
4a3
比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得
g(a)=
当a<-1时,
x
0
(0,1)
1
(1,-2a)
-2a
f′(x)
-
0
+
f(x)
0
单调
递减
极小值
3a-1
单调
递增
-28a3-24a2
得g(a)=3a-1.
综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)=
图1-1
22. 已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
22.解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
从而|x1-x2|=4 .
由
解得点M的横坐标xM===.
同理点N的横坐标xN=.
所以|MN|= |xM-xN|
=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>0时,|MN|=2 >2 ;
当t<0时,|MN|=2 ≥ .
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是 .
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