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- 2021-06-15 发布
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六校联盟2020届高三年级第三次学情调查数学(理科)试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,则 .
【答案】
【解析】
试题分析:求两集合的交集,就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集,集合B为有限集,所以将集合B中元素逐一代入集合A验证,得.
考点:集合基本运算.
2.已知复数z满(i为虚数单位),则z的实部为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
运用完全平方和公式化简复数z,最后根据复数实部的定义写出复数z的实部即可.
【详解】,复数z的实部为3.
故答案为:3
【点睛】本题考查了复数的实部的判断,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力.
3.函数的最小正周期是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦型三角函数的最小正周期公式求出函数的最小正周期.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为:
【点睛】本题考查了正弦型三角函数最小正周期公式,考查了数学运算能力.
4.已知数列是等差数列,且,则的值为____________.
【答案】135
【解析】
【分析】
根据等差数列前项和公式和等差数列下标的性质可以直接求出的值.
【详解】因为数列是等差数列,所以.
故答案为:135
【点睛】本题考查了等差数列的前前项和公式,考查了等差数列的下标性质,考查了数学运算能力.
5.已知是双曲线:的一个焦点,则的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合焦点坐标,计算出m,即可.
【详解】,解得,所以双曲线方程为
,所以渐近线方程为
【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质,难度较小.
6.定义在R上的奇函数,当时,,则= .
【答案】
【解析】
试题分析:因为为定义在R上的奇函数,所以,,因此
考点:奇函数性质
7.若命题“存在”为假命题,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析: 因为命题“存在”的否定是“对任意”.命题的否定是真命题,则
考点:复合命题
8.若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数进行求导,判断函数的单调性,结合极值的定义和所给定的区间,得到不等式,解不等式即可求出实数a的取值范围.
【详解】.
当时, ,所以函数单调递减;
当时, ,所以函数单调递增,要想函数在区间上有极值,只需,所以实数a的取值范围为.
故答案为:
【点睛】本题考查了函数有区间有极值求参数问题,考查了函数极值的判断方法.
9.设等比数列的前n项和为.若成等差数列,且,则的值为____.
【答案】-6
【解析】
设等比数列的公比为.
∵成等差数列
∴,且.
∴,即.
∴或(舍去)
∵
∴
故答案为.
10.若,,,则的最小值为________.
【答案】9
【解析】
【分析】
由对数运算法则,可以化简等式,用的代数式表示,最后利用基本不等式求出的最小值.
【详解】,
所以(当且仅当
时取等号,即时取等号).
故答案为:9
【点睛】本题考查了对数的运算公式,考查了基本不等式,考查了代数式恒等变形能力.
11.如图,已知椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,若,则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】
依题意可得,
因为,所以
所以
所以,即,故
解得,
因为,所以,则
12.在平面直角坐标系中,已知圆,是圆上的两个动点,,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
试题分析:
圆,
,
由余弦定理可得,
设为的中点,,
设,,
的取值范围为.
考点:向量的几何意义;向量的数量积;余弦定理.
13.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tan α的最大值是________.
【答案】
【解析】
由已知得sin α=cos(α+β)sin β=cos αcos βsin β-sin αsin βsin β,两边同除以cos α,并整理得tan α===,
∵ α,β均为锐角,∴可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β,-sin 2β)与定点(3,0)连线的斜率,其最大斜率为=.
14.已知函数若函数恰有个不同的零点,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
当时,有无数个根;故,当时,如取,则当
,方程不合题意;当,方程,即有三个不同实数根,不合题意.所以,如图,当时,结合图像可得,解之得,应填答案.
点睛:解答本题的关键是借助题设中的分段函数的图像及导数知识,运用数形结合的数学思想进行分析推断,借助图像建立不等式,通过解不等式从而使得问题获解是本题的一大特色,当然本题的求解具有一定的难度.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)根据平面向量共线定理可得等式,利用同角三角函数的商关系求出的值;
(2)对已知的等式平方得到,根据平面向量数量积的坐标表示可以得到等式,利用同角三角函数的平方和关系可以求出的值,最后利用二倍角的余弦公式求出的值.
【详解】(1)因为,且
所以,
即:
当,则,不合题意(舍之)
当,则;
(2),所以,
所以,
所以得,
所以.
【点睛】本题考查了两个平面向量共线、垂直的坐标表示,考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的余弦公式,考查了数学运算能力.
16.如图,在中,边上的中线长为3,且,.
(1)求的值;
(2)求边的长.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4;
【解析】
【分析】
(1)由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.
(2)在中,利用正弦定理得,在中利用余弦定理即可求出.
【详解】解:因为,所以.
又,所以,
所以
.
在中,由得,
解得.故,
在中,由余弦定理得 ,
得.
【点睛】本题考查两角差的正弦公式,考查正弦定理、余弦定理的运用,属于中档题.
17.如图,射线和均为笔直的公路,扇形区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中、分别在射线和上.经测量得,扇形的圆心角(即)为、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形区域外修建一条公路,分别与射线、交于、两点,并要求与扇形弧相切于点.设(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为的函数,并写出的取值范围;
(2)试确定的值,使得公路的长度最小,并求出其最小值.
【答案】⑴,其中,⑵当时,长度的最小值为千米..
【解析】
试题分析:
⑴由切线的性质可得OS⊥MN.则SM=,SN=, 据此可得
,其中.
⑵ 利用换元法,令,则, 由均值不等式的结论有:,当且仅当即时等号成立,即长度的最小值为千米.
试题解析:
⑴因为MN与扇形弧PQ相切于点S,所以OS⊥MN.
在OSM中,因为OS=1,∠MOS=,所以SM=,
在OSN中,∠NOS=,所以SN=,
所以,
其中.
⑵ 因为,所以,
令,则,
所以,
由基本不等式得,
当且仅当即时取“=”.
此时,由于,故.
答:⑴,其中.
⑵当时,长度的最小值为千米.
点睛:
(1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
(2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.
18.已知椭圆的离心率,且经过点,,,,为椭圆的四个顶点(如图),直线过右顶点且垂直于轴.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)为上一点(轴上方),直线,分别交椭圆于,两点,若,求点的坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用椭圆的离心率和经过的点,列方程组求解即可.(2)设P(2,m),m>0,得直线PC方程与椭圆联立,利用韦达定理,推出E的坐标, 同理求F点横坐标,由S△PCD=2S△PEF,转化求解即可.
【详解】(1)因的离心率,且经过点,
所以
解得,.所以椭圆标准方程为.
(2)由(1)知椭圆方程为,所以直线方程为,,.
设,,则直线的方程为,
联立方程组消得,
所以点的横坐标为;
又直线的方程为
联立方程组消得,
所以点的横坐标为.
由得,
则有,则,
化简得,解得,因为,所以,
所以点的坐标为.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用,考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.
19.已知函数,.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值;
(2)在(1)的条件下,求函数零点的个数;
(3)若不等式对任意都成立,求a的取值范围.
【答案】(1)0;(2)两个;(3).
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,根据导数的几何意义,结合切线方程可以求出的值,最后计算即可;
(2)由(1)求出函数的单调性,根据零点存在原理,可以判断出函数零点的个数;
(3)设,对它进行求导,根据的不同取值,分类讨论判断出函数的单调调性,根据函数的最值情况求出a的取值范围.
【详解】(1),
由题意,,,解得,,,所以.
(2)由(1)知,
令,得,
且当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
因为,,,函数在区间和上的图象是一条不间断的曲线,由零点存在性定理,
所以函数有两个零点.
(3)设,即,,
,
当时,,所以函数在单调递减,
所以最小值为,不合题意;
当时,,
令,得.
若,即时,函数在单调递减;
所以最小值为,只需,即,
所以符合;
若,即时,函数在上单调减,在上单调增,
所以的最小值为,
所以符合.
综上,a的取值范围是.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数切线方程求参数的值,考查了利用导数研究函数零点个数问题,考查了利用导数研究不等式恒成立问题.
20.对于若数列满足则称这个数列为“数列”.
(1)已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;
(2)是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据题目中所定义的“数列”,只需同时满足,解不等式可解m范围.(2)由题意可知,若存在只需等差数列的公差,即<,代入n=1,n>1,矛盾.(3)设数列的公比为则,,满足“数列”,即只需最小项即不是“数列”,且为最小项,
所以即,所以只能只有解或分两类讨论数列.
试题解析:(Ⅰ)由题意得
解得
所以实数的取值范围是
(Ⅱ假设存在等差数列符合要求,设公差为则
由得
由题意,得对均成立,即
①当时,
②当时,
因
所以与矛盾,
所以这样的等差数列不存在.
(Ⅲ)设数列的公比为则
因为的每一项均为正整数,且
所以在中,“”为最小项.
同理,中,“”为最小项.
由为“数列”,只需即
又因为不是“数列”,且为最小项,
所以即,
由数列的每一项均为正整数,可得
所以或
①当时,则
令则
又
所以为递增数列,即
所以
所以对于任意的都有
即数列为“数列”.
②当时,则
因为
所以数列不是“数列”.
综上:当时,数列为“数列”,
当时,数列不是“数列”.
【点睛】
对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化,这是解决此类的问题的关键.另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解,或夹逼在方程个数小于变量个数时,解出部分甚至全部参数.
必做题:第21.22题共两题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.在平面直角坐标系xOy中,已知直线(为参数)与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.
【答案】
【解析】
【分析】
法一:将曲线(t为参数)化为普通方程,把直线(为参数)代入曲线普通方程中,利用参数的意义求出线段AB的长;
法二:将曲线和直线的参数方程都化为普通方程,然后联立,求出交点为的坐标,最后利用两点间距离公式求出线段AB的长;
【详解】法一:将曲线(t为参数)化为普通方程为.
将直线(为参数)代入得,
,
解得,.
则,
所以线段AB的长为.
法二:将曲线(t为参数)化为普通方程为.
将直线(为参数)化为普通方程为,
由得,,或,
所以AB的长为.
【点睛】本题考查了利用参数的意义或解出交点坐标求相交弦长问题,考查了参数方程化为普通方程,考查了数学运算能力.
22.在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)求圆的普通方程和圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)判断圆与圆的位置关系.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)消去参数,即可得到曲线的普通方程,根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可化简得到曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)由圆心距,利用可得两圆相交.
【详解】(Ⅰ)圆的参数方程为,(为参数),
可得,
平方相加转换为直角坐标方程为:.
由圆的极坐标方程
可得
转换为直角坐标方程为:,
即:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆的的半径圆心坐标为.
圆的的半径圆心坐标为
则圆心距
所以,圆与圆相交.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及圆与圆的位置关系的应用,其中解答中熟记参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
必做题:第23题、第24题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,现从箱中任取3个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.
(1)若,求的值;
(2)当时,求的分布列.
【答案】(1)1;(2)分布列见解析.
【解析】
【分析】
(1)通过分析可知时,取出的个球都是白球,根据超几何分布的概率公式构造方程可求得结果;(2)首先确定所有可能的取值为:;利用超几何分布的概率公式分别计算每个取值对应的概率,从而可得分布列.
【详解】(1)由题意得:取出的个球都是白球时,随机变量
,即:,解得:
(2)由题意得:所有可能的取值为:
则;;;.
分布列为:
【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题,关键是能够明确随机变量所服从的分布类型,从而利用对应的公式来进行求解.
24.
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.
(1)求的分布列及数学期望;
(2)在概率(=0,1,2,3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
【答案】(1),ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;
P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);
P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);
P(ξ=3)=·a2=.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的数学期望为
E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.
(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);
P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;
P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.
由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.