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- 2021-06-15 发布
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第三讲 不等式、线性规划
考点一 不等式的解法
求解不等式的方法
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[对点训练]
1．(2018·湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且a D．a2>ab>b2
[解析] ∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不正确；－＝，∵a0，ab>0，∴
>0，即>，故选项B不正确；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故选项D正确，故选D．
[答案] D
2．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析] 易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－20的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为
(x＋1)(x－3)<0，解得－11时不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
[解析] ∵x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，所以最小值为3，∴a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3]．故选A．
[答案] A
[快速审题] (1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．
(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．
考点二 基本不等式的应用
1．基本不等式：≥
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
[对点训练]
1．下列结论中正确的是( )
A．lgx＋的最小值为2
B．＋的最小值为2
C．的最小值为4
D．当00，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号；对于C，当且仅当sin2x＝，即sinx＝2时取等号，但sinx的最大值为1；对于D，x－在(0,2]上为增函数，因此有最大值．故选B．
[答案] B
2．(2018·吉林长春二模)已知x>0，y>0，且x＋y＝2xy，则x＋4y的最小值为( )
A．4 B．
C． D．5
[解析] 由x＋y＝2xy得＋＝2.由x>0，y>0，x＋4y＝(x＋4y)＝≥(5＋4)＝，当且仅当＝时等号成立，即x＋4y的最小值为.故选C．
[答案] C
3．(2018·海淀期末)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
[解析] ∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.
[答案]
4．(2018·河南洛阳一模)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
[解析] 依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.
[答案] 2
[快速审题] 看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
利用基本不等式求函数最值的3个关注点
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
考点三 线性规划问题
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
把线性目标函数z＝ax＋by化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在
y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．常见的目标函数类型
(1)截距型：形如z＝ax＋by，可以转化为y＝－x＋，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；
(2)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
[对点训练]
1．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19
C．21 D．45
[解析] 由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出初始直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C．
[答案] C
2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝( )
A． B．
C．1 D．
[解析] 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移初始直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，
即2x＋y＝3.
由解得即A，
又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故选A．
[答案] A
3．(2018·江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为( )
A．－ B．－
C． D．－
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D．
[答案] D
4．设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．
[解析]
由解得即C.
(x＋1)2＋y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(－1，0)间距离的平方．
由图可知，点(－1,0)到直线AB：2x＋y＋1＝0的距离最小，为＝，故zmin＝；点(－1,0)到点C的距离最大，故zmax＝2＋2＝.所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是.
[答案]
[快速审题] (1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．
(3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．
求目标函数的最值问题的3步骤
(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；
(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；
(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．
1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A． B．
C． D．
[解析] ∵x2－4x＋3<0⇔(x－1)(x－3)<0⇔10⇔x>，∴B＝，
∴A∩B＝＝.故选D．
[答案] D
2．(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2,1)∉A
[解析] 若(2,1)∈A，则有解得a>.结合四个选项，只有D说法正确．故选D．
[答案] D
3．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋blog0.21＝0，b＝log20.3ab，
∴ab0有解，则m的取值范围为( )
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
[解析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)
上有解，需满足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故选C．
[答案] C
2．(2018·海淀模拟)当00，ab>0，故－＝>0，即>，故A项错误；由a0，故ab>b2，故B项错误；由a0，即a2>ab，故－ab>
－a2，故C项错误；由a0，故－－＝<0，即－<－成立．故D项正确．
解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则＝－>－1＝，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－＝<1＝－.故A，B，C项错误，D正确．
[答案] D
2．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
[解析] ∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
[答案] D
3．(2018·大连一模)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析] 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，
如果x<0，则x＋6>3，可得－33，可得x>3或0≤x<1.
综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
故选A．
[答案] A
4．(2018·长春第二次质检)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[解析] 关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a<0，∴<0，解得x<0或10，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
[解析] 因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
[答案] A
6．(2018·江西师大附中摸底)若关于x，y的不等式组
表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )
A．或 B．或
C．1或 D．1或
[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k＝0或1，当k＝0时，表示区域的面积为；当k＝1时，表示区域的面积为，故选A．
[答案] A
7．(2018·昆明质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析] 解法一(图解法)：已知约束条件所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值为6.
[答案] B
8．(2018·合肥一模)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
[解析] 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为10，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
[解析] 解法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2.
则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
解法二：∵a>0，b>0，∴ab>0.
∵2a＋b＝ab，∴＋＝1，
∴(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2
＝5＋4＝9.
当且仅当＝时，等号成立，又2a＋b＝ab，即a＝3，b＝3时等号成立，其最小值为9.
[答案] D
11．(2018·湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3
C． D．
[解析] 如图，作出不等式组对应的平面区域，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，
∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．
则(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A．
[答案] A
12．(2018·广东清远一中一模)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
[解析] ∵正数a，b满足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，则＋≥2＝2＝6，∴＋的最小值为6，故选C．
[答案] C
二、填空题
13．已知集合，则M∩N＝________.
[解析] 不等式<0等价于(x－2)(x－3)<0，
解得2
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