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  • 2021-06-15 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章 算法、统计与概率学案

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第十章 算法、统计与概率) 第 1 课时 算  法(对应学生用书(文)152~154 页、(理)157~159 页) ① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加 的内容,高考对本章的考查主要以填空题的 形式出现,单独命题以考查考生对流程图的 识别能力为主,对算法语言的阅读理解能力 次之,考查用自然语言叙述算法思想的可能 性不大. ② 算法可结合在任何试题中进行隐性考查, 因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课 标的基本要求,常见的与其他知识的结合有 分段函数、方程、不等式、数列、统计等知 识综合,以算法为载体,以算法的语言呈出, 实质考查其他知识. ① 了解算法的含义、算法的思想. ② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、 选择、循环. ③ 理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的 含义. 1. (必修 3P37 测试 1 改编)如图所示的程 序图的运行结果是________. 答案:2.5 解析:顺序结构,按序运行即可. (第 1 题)      (第 2 题) 2. (必修 3P10 引例)下图是一个算法流程 图,如果输入 x 的值是1 4,则输出 S 的值是 ________. 答案:-2 解析:输入 x 的值是1 4,S=log2 1 4=-2. 3. (必修 3P11 练习 2)根据下面流程图, 当输入 x 为 6 时,输出的 y=________. 答案:10 解析:该流程图运行如下:x=6-3= 3>0,x=3-3=0,x=0-3=-3<0,y=(- 3)2+1=10. 4. (必修 3P19 示例改编)如图所示的伪代 码,若输入 a =-4 ,则输出的数为 ________. Read a If a>0 Then  a←a Else  a←-a End If Print a 答案:4 解析:∵ a=-4<0,∴ a=-(-4)=4. 5. (必修 3P 37 测试 5)运行如图所示的伪 代码表示的算法,其输出值为________. i←1 S←0 While i<8  i←i+3  S←2×i+S End While Print S 答案:42 解析:由题设可知,循环体执行 3 次, 从而有 S=0+8+14+20=42. 1. 构成流程图的图形符号 起止框用“ ”表示; 输入、输出框用“ ”表示; 处理框用“ ”表示; 判断框用“ ”表示. 2. 基本的算法结构 算法都可以由顺序结构、选择结构、循 环结构组成. 3. 赋值语句 用符号“x←y”表示将 y 的值赋给 x, 其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的 变量或表达式. 4. 输入语句、输出语句 (1) 输入语句:“Read a,b”表示输入 的数据依次送给 a,b. (2) 输出语句:“Print x”表示输出运算 结果 x. 5. 条件语句 条件语句的一般形式是 If A Then B Else C End If 其中 A 表示判断的条件,B 表示满足条 件时执行的操作内容,C 表示不满足条件时 执行的操作内容,End If 表示条件语句结 束. 6. 循环语句 循环语句一般有三种:“While 循 环”“Do 循环”“For 循环”. (1) 当型循环一般采用“While 循环”描 述循环结构. 格式: While条件 循环体 End While 先判断条件是否成立,当条件成立时, 执行循环体,遇到 End While 语句时,就返 回继续判断条件,若仍成立,则重复上述过 程,若不成立,则退出循环. 当型语句的特点是先判断,后执行. (2) 直到型循环可采用“Do 循环”描述 循环结构. 格式: Do 循环体 Until 条件 End Do 先执行循环体部分,然后再判断所给条 件是否成立.如果条件不成立,那么再次执 行循环体部分,如此反复,直到所给条件成 立时退出循环. 直到型语句的特点是先执行,后判断. (3) 当循环的次数已经确定,可用“For” 语句表示. 格式:For I From 初值 To 终值 Step 步 长 循环体 End For 功能:根据 For 语句中所给定的初值、 终值和步长,来确定循环次数,反复执行循 环体内各语句. 通过 For 语句进入循环,将初值赋给变 量 I ,当循环变量的值不超过终值时,则顺 序执行循环体内的各个语句,遇到 End For, 将循环变量增加一个步长的值,再与终值比 较,如果仍不超过终值范围,则再次执行循 环体.这样重复执行,直到循环变量的值超 过终值,则跳出循环. [备课札记] §科§网] ,         1 选择结构的算法功 能) ,     1) 执行如图所示的 算法流程图,则输出 k 的值为________. 答案:3 解析:由题设流程图的循环体执行如下: 第 1 次循环 n=6,k=1;第 2 次循环 n=3, k=2;第 3 次循环 n=1,k=3. 变式训练 如图,若输入的 x 值为 π 3 ,则相应输出 的值为________. 答案:1 2 解析:由于 sin π 3 >cos π 3 ,则 y=cos π 3 ,所以输出的值为1 2. ,         2 循环结构的算法功 能) ,     2) 根据如图所示的 伪代码,最后输出的 S 的值为________. S←0 For I From 1 To 28 Step 3 S←S+I End For Print S 答案:145 解析:由算法伪代码知,此算法为计算 首项为 1,公差为 3 的等差数列的前 10 项的 和,所以 S=1+4+…+28=10(1+28) 2 = 145. 变式训练 执行如图所示的伪代码,当输入 a,b 的 值分别为 1,3 时,最后输出的 a 的值为 __________. Read a,b  i←1 While i≤2  a←a+b  b←a-b  i←i+1 End While Print a 答案:5 解析:当 i=1 时,a=4,b=1;当 i=2 时,a=5,b=4,则最后输出的 a 的值为 5. ,         3 算法的综合运用) ,     3) 执行如图所示的 算 法 流 程 图 , 则 输 出 的 结 果 是 __________. 答案:-1 解析:由流程图知循环体执行 8 次,第 1 次循环 S=1 2,n=2;第 2 次循环 S=-1, n=3;第 3 次循环 S=2,n=4,…,第 8 次 循环 S=-1,n=9. 变式训练 执行如图所示的流程图,则输出的 k 的 值为__________. 答案:5 解析:由题设流程图的循环体执行如下: 第 1 次循环 S=3,k=2;第 2 次循环 S=8, k=3;第 3 次循环 S=16,k=4;第 4 次循 环 S=27,k=5. 1. (2016·苏州期末)阅读算法流程图,运 行相应的程序,输出的结果为________. 答案:5 3 解析:由题设流程图的循环体执行如下: 第 1 次循环 z=2,x=1,y=2;第 2 次循环 z=3,x=2,y=3;第 3 次循环 z=5,x= 3,y=5;第 4 次循环后 z=8,不满足 z<6, 循环结束,此时输出的结果为5 3. 2. (2016·无锡期末)按如图所示的程序 框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中 的整数 M 的值是________. 答案:5 解析:当 A=1 时,S=3;当 A=2 时, S=7;当 A=3 时,S=15;当 A=4 时,S= 31;当 A=5 时,S=63;判断框中的整数 M 的值是 5. 3. (2016·常州期末)如图所示的流程图 中,输出 S 的值是________. 答案:2 3 解析:k=1 时,S=-1 2;k=2 时,S= 2 3;k=3 时,S=3,恢复工厂到初始值;可 以发现周期为 3,2015 中共有 671 个周期, 还余 2 个数,则输出 S 的值是2 3. 4. (2016·镇江期末)阅读如图所示的程 序框,若输入的 n 的值是 30,则输出的变量 S 的值是________. 答案:240 解析:n=30 时,S=30;n=28 时,S= 30+28;n=26 时,S=30+28+26;以此类 推,n=2 时,S=30+28+26+…+2=240. 5. (2016· 苏北四市期末) 运行如图所示 的伪代码,则输出的结果 S 为________. S←1 I←1 While I<5  S←S+2  I←I+1 End While Print S 答案:9 解析:I=1 时,S=3;I=2 时,S=5;I =3 时,S=7;I=4 时,S=9;I=5 时,输 出的结果 S 为 9. 1. 运行如图所示的伪代码,其结果为 ________. S←1 For I From 1 To 7 Step 2  S←S+I End For Print S 答案:17 解析:由题设伪代码的循环体执行如下:S= 1+61+3+5+7=17. 2. 根据下图所示的伪代码,可知输出的 结果 S 为________. S←0 I←1 While S≤10  S←S+I2  I←I+1 End While Print S 答案:14 解析:由题设伪代码的循环体执行如下:S= 12+22+32=14. 3. 执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为________. 答案:6 解析:由题设可知,循环体执行 3 次, 第一次 x 值为 4,第二次 x 值为 5,第三次 x 值为 6,符合题意. 4. 下图是一个算法流程图,则输出 k 的 值是________. 答案:6 解析:由题设流程图的循环体执行如下: 第 1 次循环后 S=38,k=2;第 2 次循环后 S =34,k=3;第 3 次循环后 S=26,k=4; 第 4 次循环后 S=10,k=5;第 5 次循环后 S =-22,k=6.  1. 求解伪代码问题的基本思路 关键是理解基本算法语言.在一个赋值 语句中,只能给一个变量赋值,同一个变量 的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次 为准.对于条件语句要注意准确判断和语句 格式的完整性理解.对于循环语句,要注意 是“N”循环,还是“Y”循环,弄清何时退出 循环. 2. 注意算法与其他知识的综合交汇,特 别是用流程图来设计数列的求和是高考的 常考题型.数列的求和计算问题是典型的算 法问题,要求能看懂流程图和伪代码,能把 流程图或伪代码转化为数列问题,体现了化 归的思想方法. [备课札记] 第 2 课时 统计初步(对应学生用书(文)155~156 页、(理)160~161 页) 统计内容在高考中多为基础题,常以填空题 的形式出现,以实际问题为背景,考查学生 对计算能力和读图能力,重点考查频率分布 直方图和用样本来估计总体(平均数和方差), 有时也会对抽样进行考查. 1. 了解抽样的方法以及科学、合理选用抽样 方法的必要性;了解抽样的操作步骤; 2. 会用频率直方图对总体分布规律进行统计; 3. 能用样本数据的平均值估计总体的水平; 4. 理解样本数据的方差、标准差的意义和作 用,形成对数据处理过程进行初步评价的意 识. 1. (必修 3P52 习题 2 改编)为了检查某超 市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编 号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进 行检验,用系统抽样方法确定所选取的 5 袋 奶粉的编号可能是________.(填序号) ① 5,10,15,20,25;② 2,4,8, 16,32;③ 1,2,3,4,5;④ 7,17,27, 37,47. 答案:④ 解析:利用系统抽样,把编号分为 5 段, 每段 10 袋,每段抽取一袋,号码间隔为 10, 故选④. 2. (必修 3P49 练习 4 改编)某中学三个年 级共 240 人,其中七年级 100 人,八年级 80 人,九年级 60 人,为了了解初中生的视力 状 况 , 抽 查 12 人 参 加 体 检 , 应 采 用 ________.(填序号) ① 简单随机抽样法;② 系统抽样法; ③ 分层抽样法. 答案:③ 解析:学生视力会随年级的不同而变化, 应用分层抽样法. 3. 某学校高一年级男生人数占该年级 学生人数的 40%.在一次考试中,男、女生平 均分数分别为 75,80,则这次考试该年级学 生平均分数为________. 答案:78 解析:75×0.4+80×0.6=30+48=78. 4. (必修 3P68 练习 3 改编)某校举行歌咏 比赛,7 位评委给各班演出的节目评分,去 掉一个最高分,再去掉一个最低分后,所得 平均数作为该班节目的实际得分.对于某班 的演出,7 位评委的评分分别为 9.65,9.70, 9.68,9.75,9.72,9.65,9.78,则这个班节 目的实际得分是________. 答案:9.70 解析:x-=1 5(9.65+9.70+9.68+9.75+ 9.72)=9.70. 5. 如图是某电视台综艺节目举办的挑 战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的 分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个 最低分后,所剩数据的方差为________. 答案:1.6 解析:由茎叶图可知评委打出的最低分 为 79,最高分为 93,其余得分为 84,84, 84,86,87,故平均分为84 × 3+86+87 5 = 85,方差为1 5[3×(84-85)2+(86-85)2+(87 -85)2]=1.6. 1. 简单随机抽样 (1) 定义 从个体数为 N 的总体中逐个不放回地 取出 n 个个体作为样本(n 0, a+b b-2a > 0. ∵ a,b∈{1,2,3,4,5,6},∴ b>2a. ∴ 总事件数共 36 种,满足 b>2a 的事 件有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 5),(2,6),共 6 种, ∴ P(B)= 6 36=1 6. 备选变式(教师专享) 设 x∈{-1,1},y∈{-2,0,2},则 以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所 表示的平面区域内的概率为________. 答案:1 2 解析:以(x,y)为坐标的点有(-1,- 2),(-1,0),(-1,2),(1,-2),(1,0), (1,2),满足 x+2y≥1 的点有(-1,2), (1, 0),(1,2),所以所求的概率为1 2. ,         3 用概率解决生活中 的决策问题) ,     3) 海关对同时从 A, B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽 样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位: 件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法 从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1) 求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地 区商品的数量; (2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送 往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来 自相同地区的概率. 解:(1) 因为样本容量与总体中的个体 数的比是 6 50+150+100= 1 50, 所以样本中包含三个地区的个体数量 分别是 50× 1 50=1,150×1 50=3,100×1 50= 2. 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取 的件数分别是 1,3,2. (2) 设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样 品分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2. 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本 事件为{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A, C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1, C1},{B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2, C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些 基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相 同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2}, {B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 所以 P(D)= 4 15,即这 2 件商品来自相同 地区的概率为 4 15. 变式训练 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一 项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所 示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转 动时,记录指针所指区域中的数.设两次记 录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ① 若 xy≤3,则奖励玩具一个;② 若 xy≥8,则奖励水杯一个;③ 其余情况奖励 饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均 匀.小亮准备参加此项活动. (1) 求小亮获得玩具的概率; (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的 概率的大小,并说明理由. 解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先 后记录的数,则基本事件空间 Ω 与点集 S= {(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一 一对应,因为 S 中元素个数是 4×4=16,所 以基本事件总数为 n=16. (1) 记“xy≤3”为事件 A. 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所 以,P(A)=5 16,即小亮获得玩具的概率为 5 16. (2) 记“xy≥8”为事件 B,“3 5 16,所以小亮获得水杯的概率大 于获得饮料的概率. 1. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球, 其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球.从中 一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同 的概率为________. 答案:5 6 解析:基本事件有 6 种:(白,红),(白, 黄 1),(白,黄 2),(红,黄 1),(红,黄 2), (黄 1,黄 2),其中颜色不同的事件有 5 种, 则这 2 只球颜色不同的概率为5 6. 2. (2016·镇江期末)某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工,则选 出 的 学 生 中 男 女 生 都 有 的 概 率 为 __________. 答案: 9 10[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 解析:从 5 名学生中随机选出 3 名学生 共有 10 种选法,男女生都有共 9 种(即去掉 选的是 3 名女生的情况),则所求的概率为 9 10. 本题考查用列举法解决古典概型问题,属于 容易题. 3. (2016·常州期末)箱子中有形状、大小 都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 只球颜色不同的概率为 __________. 答案:3 5 解析:由 5 只球中一次摸出 2 只球,共 有 10 种摸法,摸到的 2 只球颜色不同的摸 法共有 6 种,则所求的概率为3 5. 4. (2016·新课标Ⅰ文)为美化环境,从红、 黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在 一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛 中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率 是__________. 答案:2 3 解析:将 4 种颜色的花种任选两种种在 一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有 6 种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的 种数有 4 种,故概率为2 3. 5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各 一个,现有放回地随机摸取 3 次,每次摸取 一个球.若摸出红球,得 2 分,摸出黑球, 得 1 分,则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的 概率是________. 答案:7 8 解析:用列举法列出基本事件总数:(红, 红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑, 红,红),(黑,黑,红),(红,黑,黑),(黑, 红,黑),(黑,黑,黑),总分至少是 4 分, 则摸取的球中至少有一个红球,共有 7 种情 况,所求的概率是7 8. 1. 从长度分别为 1,2,3,4 的四条线 段中任意取三条,则以这三条线段为边可以 构成三角形的概率是________. 答案:1 4 解析:从长度分别为 1,2,3,4 的四 条线段中任意取三条的不同取法有 4 种,但 要能构成三角形,只有取(2,3,4)这一种方 法,故所求概率为1 4. 2. (2016·上海卷文)某食堂规定,每份午 餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两 同学各自所选的两种水果相同的概率为 ________. 答案:1 6 解析:将 4 种水果每两种分为一组,有 6 种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两 种水果相同的概率为1 6. 3. 在一个袋子中装有分别标注数字 1, 2,3,4,5 的 5 个小球,这些小球除标注数 字外完全相同,现从中随机取 2 个小球,则 取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概 率是________.  答案: 3 10 解析:基本事件为(1,2),(1,3),(1, 4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),其中和为 3 或 6 的有 3 个, 因而有 P= 3 10. 4. (2016· 新课标Ⅲ 文) 小敏打开计算机 时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一 位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1, 2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次 密码能够成功开机的概率是________. 答案: 1 15 解析:开机密码的可能有(M,1),(M, 2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I, 2),(I,3),(I,4),(I,5)(N,1),(N,2), (N,3),(N,4),(N,5),共 15 种可能, 所以小敏输入一次密码能够成功开机的概 率是 1 15. 1. 解以代数、几何等数学知识为背景的 概率题,解题策略是:读懂题意,理解内涵, 寻求关系,突破入口;尽力脱去背景外衣, 回首重温概率定义;细心诊断事件类型,正 确运用概率公式. 2. 解较复杂的概率问题的,解题的关键 是理解题目的实际含义,把问题转化为概率 模型.必要时可考虑分类讨论、数形结合、 正难则反等思想方法. [备课札记] 第 5 课时 几何概型与互斥事件(对应学生用书(文)162~164 页、(理)167~169 页) 几何概型往往要通过一定的手段才能转化到 几何度量值的计算上来,在解决问题时要善 于根据问题的具体情况进行转化.对于比较 复杂的概率问题,可利用其对立事件求解, 或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加 法公式求解. ① 了解几何概型的意义,并能正确应用几何 概型的概率计算公式解决问题. ② 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计 概率. ③ 了解两个互斥事件的概率加法公式. 1. 下列概率模型: ① 从区间[-5,5]内任取一个数,求取 到 1 的概率; ② 从区间[-5,5]内任取一个数,求取 到绝对值不大于 1 的数的概率; ③ 从区间[-5,5]内任取一个整数,求 取到大于 1 的数的概率; ④ 向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P,求点 P 离中心不超过 1 cm 的概 率. 其中,是几何概型的有__________.(填 序号) 答案:①②④ 解析:① [-5,5]上有无限多个数,取 到“1”这个数的概率近似为 0,是几何概型; ② [-5,5]和[-1,1]上有无限多个数可取(无 限性),且在这两个区间上每个数被取到可能 性相同(等可能性),是几何概型;③ [-5, 5]上的整数只有 11 个,不满足无限性,故不 是几何概型;④ 在边长为 5 cm 的正方形和 半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限 性),且这两个区域内的任何一个点都有可能 被投到(等可能性),是几何概型. 2. (必修 3P115 练习 1 改编)把红、黑、蓝、 白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四 个人,每人分得 1 张,事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是________.(填序号) ① 对立事件;② 不可能事件;③ 互 斥但不对立事件. 答案:③ 解析:由互斥事件的定义可知,甲、乙 不能同时得此红牌.由对立事件的定义可知, 甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得 红牌”的事件可能不发生.故选③. 3. (必修 3P115 练习 2 改编)一箱产品中 有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件. ① 恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; ② 至少有 1 件次品和全是次品; ③ 至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④ 至少有 1 件次品和全是正品. 以 上 事 件 中 互 斥 事 件 的 组 数 是 ________组. 答案:2 解析:①④中的两事件互斥,②③中的 两事件不互斥. 4. 已知 P 是△ABC 内一点,PB → +PC → + 2PA → =0.现将一粒黄豆随机投入△ABC 内, 则 该 粒 黄 豆 落 在 △ PAC 内 的 概 率 是 __________. 答案:1 4 解析:因为PB → +PC → +2PA → =0,所以PB → + PC → =-2PA → .设PB → +PC → =PD → ,则PD → =-2PA → , 由共线向量定理知 P,D,A 三点共线.设PD → 所在的直线与BC → 所在的直线相交于点 E,则 AE 为△ABC 的边 BC 上的中线,且 P 是中 线 AE 的中点,所以 S△PBC=1 2S△ABC,S△PAC =S△PEC=1 2S△PBC=1 4S△ABC,从而该粒黄豆 落在△PAC 内的概率为1 4. 5. (必修 3P110 习题 3)如图,在一个边长 为 a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形 上、下底分别为 1 3a 与 1 2a,高为 b,向该矩形 内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的 概率为________. 答案: 5 12 解析:梯形面积为5 12ab ,而矩形面积为 ab, 则所求事件的概率为5 12. 1. 几何概型的定义 对于一个随机试验,我们将每个基本事 件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中每一点被取到的机会都一 样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域中的点,这里 的区域可以是线段、平面图形、立体图形 等.用这种方法处理随机试验,称为几何概 型. 2. 概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点,记事件 “该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率 P(A) = d的测度 D的测度. 3. 不能同时发生的两个事件称为互斥 事件. 4. 如果事件 A,B 互斥,则事件 A+B 发生的概率等于事件 A,B 分别发生的概率的和,即 P(A+B)= P(A)+P(B). 5. 一般地,如果事件 A1,A2,…,An 两两互斥,那么 P(A1+A2+…+An)=P(A1) +P(A2)+…+P(An). 6. 若两个互斥事件必有 1 个发生,则称 这两个事件为对立事件;若事件 A 的对立事 件记作A - ,则 P(A)+P( A - )=1,P( A - )=1- P(A). [备课札记] [来源:学|科|网] ,         1 几何概型) ,     1) 如图,∠AOB=60 °,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一 点 C,试求: (1) △AOC 为钝角三角形的概率; (2) △AOC 为锐角三角形的概率. 解:如图,由平面几何知识:当 AD⊥OB 时,OD=1;当 OA⊥AE 时,OE=4,BE= 1. (1) 当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上 时,△AOC 为钝角三角形,记“△AOC 为 钝角三角形”为事件 M,则 P(M)=OD+EB OB =1+1 5 =0.4,即△AOC 为钝角三角形的概 率为 0.4. (2) 当且仅当点 C 在线段 DE 上时,△ AOC 为锐角三角形,记“△AOC 为锐角三 角”为事件 N,则 P(N)= DE OB=3 5=0.6,即 △AOC 为锐角三角形的概率为 0.6. 变式训练 如图,在矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴 上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在 函数 f(x)={x+1,x ≥ 0,-1 2x+1,x<0 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点, 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为 __________. 答案:1 4 解析:由函数 f(x)可知其图象与 y 轴交 于点 E(0,1),又 B(1,0),依次可求得 C(1, 2),D(-2,2),A(-2,0),矩形 ABCD 的 面积为 3×2=6,阴影部分的面积为1 2×3×1 =3 2,故所求概率为 3 2 6=1 4. ,         2 古典概型与几何概 型的区别与联系) ,     2) 设关于 x 的一元 二次方程 x2+2ax+b2=0. (1) 若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的 一个数,求上述方程有实根的概率; (2) 若 a 是从区间[0,3]中任取的一个数, b 是从区间[0,2]中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”, 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1) 基本事件共有 12 个:(0,0),(0, 1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其 中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,故事件 A 发生的概率为 P(A)= 9 12=3 4. (2) 试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0 ≤b≤2,a≥b},即如图所示的阴影区域, 所 以 所 求 的 概 率 为 P(A) = 3 × 2-1 2 × 2 × 2 3 × 2 =2 3. 变式训练 在区间[0,2]上随机取一个数 a,在区间 [0,4]上随机取一个数 b,求关于 x 的方程 x2 +2ax+b2=0 有实根的概率. 解:因为关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实根,所以 Δ=(2a)2-4×1×b2=4a2-4b2 ≥0,所以 a2≥b2.由于 0≤a≤2,0≤b≤4, 故有 a≥b.记事件 A:关于 x 的方程 x 2+ax +b2=0 有实根,则事件 A 表示的平面区域 如图中阴影部分所示,该区域为一个等腰直 角三角形,腰长为 2,其面积 SA=1 2×2×2= 2,总的事件所构成的区域为一个矩形,底 边长为 2,高为 4,其面积 S=2×4=8,故 事件 A 发生的概率为 P(A)=SA S =2 8=1 4. ,         3 互斥事件) ,     3) 某保险公司利用 简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样, 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: (1) 若每辆车的投保金额均为 2 800 元, 估计赔付金额大于投保金额的概率; (2) 在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中, 车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆 中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率. 解:(1) 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”, 以频率估计概率,得 P(A)= 150 1 000=0.15,P(B) = 120 1 000=0.12. 由于投保金额为 2 800 元,所以赔付金 额大于投保金额的概率为 P(A)+P(B)=0.15 +0.12=0.27. (2) 设 C 表示事件“投保车辆中新司机 获赔 4000 元”, 由已知,得样本车辆中车主为新司机的 有 0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120= 24(辆), 所以样本车辆中新司机车主获赔金额 为 4 000 元的频率为 24 100=0.24. 由频率估计概率得 P(C)=0.24. 备选变式(教师专享) 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队 各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支 球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取 一名队员,求: (1) 该队员只属于一支球队的概率; (2) 该队员最多属于两支球队的概率. 分析:根据韦恩图,正确理解“只属”、 “最多”. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员. (1) 记“随机抽取一名队员,该队员只 属于一支球队”为事件 A,则 P(A)=3+5+4 20 =3 5. 故随机抽取一名队员,该队员只属于一 支球队的概率为3 5. (2) 记 “ 随 机 抽 取 一 名 队 员,该队员最多属于两支球队”为事件 B, 则 P(B)=1-P(B)=1- 2 20= 9 10.故随机抽取 一名队员,该队员最多属于两支球队的概率 为 9 10. 1. (2016·新课标Ⅱ文)某路口人行横道 的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续 时间为 40 s.若一名行人来到该路口遇到红 灯,则至少需要等待 15 s 才出现绿灯的概率 为____________. 答案:5 8 解析:因为红灯持续时间为 40 s.所以 这名行人至少需要等待 15 s 才出现绿灯的 概率为40-15 40 =5 8. 2. (2016·天津卷文)甲、乙两人下棋,两 人下成和棋的概率是1 2,甲获胜的概率是1 3, 则甲不输的概率为__________. 答案:5 6 赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 解析:甲不输的概率为1 2+1 3=5 6. 3. (2016·泰州期末)甲、乙两人下棋,若 甲获胜的概率为1 5,甲、乙下成和棋的概率 为2 5,则乙不输棋的概率为________. 答案:4 5 解析:乙不输棋就是甲没有获胜,则所 求的概率为 1-1 5=4 5. 4. (2016·南京、盐城、徐州、连云港一 模)将一枚骰子连续抛掷两次,至少有一次向 上的点数为 1 的概率是__________. 答案:11 36 解析:将一枚骰子连续抛掷两次,共有 36 种基本事件.抛掷两次没有一次是 1 点的 基本事件数为 25 种,则所求的概率为 1-25 36 =11 36. 5. 小明通过做游戏的方式来确定周末 活动,他随机地往单位圆中投掷一点,若此 点到圆心的距离大于1 2,则周末看电影;若 此点到圆心的距离小于1 4,则周末打篮球; 否则就在家看书.那么小明周末在家看书的 概率是________. 答案: 3 16 解析:单位圆中点到圆心的距离大于1 2 的部分的面积为π- π 4 =3π 4 ,点到圆心的 距离小于1 4的部分的面积为 π 16,则剩下的面 积为π- π 16-3π 4 =3π 16 ,故小明周末在家看 书的概率是 3 16. 1. 由 不 等 式 组 {x ≤ 0,y ≥ 0,y-x-2 ≤ 0确定的平面 区 域 记 为 Ω 1 , 不 等 式 组 {x+y ≤ 1,x+y ≥ -2确定的平面区域记 为Ω2,在Ω1 中随机取一点,则该点恰好在Ω 2 内的概率为________. 答案:7 8 解析:依题意,不等式组表示的平面区 域如图,由几何公式知,该点落在Ω2 内的 概率为 P= 1 2 × 2 × 2-1 2 × 1 × 1 2 1 2 × 2 × 2 =7 8. 2. 设函数 f(x)=log2x,在区间(0,5)上 随 机 取 一 个 数 x , 则 f(x)<2 的 概 率 为 ________. 答案:4 5 解析:因为 log2x<2,解得 0<x<4, 所以 P(f(x)<2)=4 5. 3. (2016·盐城二模)甲、乙两盒中各有除 颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球,现 从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红 球的概率为________. 答案:8 9 解析:从两盒中各取一个球的基本事件 数为 9,没有红球的基本事件数为 1,则至 少有一个红球的概率=1-没有红球的概率 =1-1 9=8 9. 4. 一只口袋内装有大小相同的 5 只球, 其中 3 只黑球,2 只白球,从中一次随机摸 出 2 只 球 , 至 少 有 1 只 黑 球 的 概 率 是 ________. 答案: 9 10 解析:记 3 只黑球分别为黑 1,黑 2, 黑 3,2 只白球分别为白 1,白 2,从这 5 只 球中一次随机摸出 2 只球,有黑 1 黑 2,黑 1 黑 3,黑 1 白 1,黑 1 白 2,黑 2 黑 3,黑 2 白 1,黑 2 白 2,黑 3 白 1,黑 3 白 2,白 1 白 2 共 10 种不同的取法,至少有 1 只黑球 的有黑 1 黑 2,黑 1 黑 3,黑 1 白 1,黑 1 白 2,黑 2 黑 3,黑 2 白 1,黑 2 白 2,黑 3 白 1,黑 3 白 2 共 9 种不同的取法,所以所 求概率是 9 10. 1. 对于几何概型的应用题,关键是将实 际问题转化为概型中的长度、角度、面积、 体积等常见几何概型问题,构造出随机事件 A 对应的几何图形,利用图形的测度来求随 机事件的概率. 2. 分清古典概型与几何概型的关键就 是古典概型与几何概型中基本事件发生的 可能性都是相等的,但古典概型要求基本事 件有有限个,而几何概型则是无限个. 3. 求较复杂的互斥事件的概率,一般有 两种方法;一是直接求解法,即将所求事件 的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率 和,分解后的每个事件概率的计算通常为等 可能事件的概率计算,这时应注意事件是否 互斥,是否完备;二是间接求解法,先求出 此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)= 1-P(A - ).若解决“至少”、“至多”型的题 目,用后一种方法就显得比较方便.解题时 需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别 与联系,搞清楚“互斥事件”与“等可能性 事件”的差异. [备课札记]   , 

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