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- 2021-06-15 发布
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第十章 算法、统计与概率)
第 1 课时 算 法(对应学生用书(文)152~154 页、(理)157~159 页)
① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加
的内容,高考对本章的考查主要以填空题的
形式出现,单独命题以考查考生对流程图的
识别能力为主,对算法语言的阅读理解能力
次之,考查用自然语言叙述算法思想的可能
性不大.
② 算法可结合在任何试题中进行隐性考查,
因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课
标的基本要求,常见的与其他知识的结合有
分段函数、方程、不等式、数列、统计等知
识综合,以算法为载体,以算法的语言呈出,
实质考查其他知识.
① 了解算法的含义、算法的思想.
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、
选择、循环.
③ 理解几种基本算法语句——输入语句、输
出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的
含义.
1. (必修 3P37 测试 1 改编)如图所示的程
序图的运行结果是________.
答案:2.5
解析:顺序结构,按序运行即可.
(第 1 题)
(第 2
题)
2. (必修 3P10 引例)下图是一个算法流程
图,如果输入 x 的值是1
4,则输出 S 的值是
________.
答案:-2
解析:输入 x 的值是1
4,S=log2
1
4=-2.
3. (必修 3P11 练习 2)根据下面流程图,
当输入 x 为 6 时,输出的 y=________.
答案:10
解析:该流程图运行如下:x=6-3=
3>0,x=3-3=0,x=0-3=-3<0,y=(-
3)2+1=10.
4. (必修 3P19 示例改编)如图所示的伪代
码,若输入 a =-4 ,则输出的数为
________.
Read a
If a>0 Then
a←a
Else
a←-a
End If
Print a
答案:4
解析:∵ a=-4<0,∴ a=-(-4)=4.
5. (必修 3P 37 测试 5)运行如图所示的伪
代码表示的算法,其输出值为________.
i←1
S←0
While i<8
i←i+3
S←2×i+S
End While
Print S
答案:42
解析:由题设可知,循环体执行 3 次,
从而有 S=0+8+14+20=42.
1. 构成流程图的图形符号
起止框用“ ”表示;
输入、输出框用“ ”表示;
处理框用“ ”表示;
判断框用“ ”表示.
2. 基本的算法结构
算法都可以由顺序结构、选择结构、循
环结构组成.
3. 赋值语句
用符号“x←y”表示将 y 的值赋给 x,
其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的
变量或表达式.
4. 输入语句、输出语句
(1) 输入语句:“Read a,b”表示输入
的数据依次送给 a,b.
(2) 输出语句:“Print x”表示输出运算
结果 x.
5. 条件语句
条件语句的一般形式是
If A Then
B
Else
C
End If
其中 A 表示判断的条件,B 表示满足条
件时执行的操作内容,C 表示不满足条件时
执行的操作内容,End If 表示条件语句结
束.
6. 循环语句
循环语句一般有三种:“While 循
环”“Do 循环”“For 循环”.
(1) 当型循环一般采用“While 循环”描
述循环结构.
格式:
While条件
循环体
End While
先判断条件是否成立,当条件成立时,
执行循环体,遇到 End While 语句时,就返
回继续判断条件,若仍成立,则重复上述过
程,若不成立,则退出循环.
当型语句的特点是先判断,后执行.
(2) 直到型循环可采用“Do 循环”描述
循环结构.
格式:
Do
循环体
Until 条件
End Do
先执行循环体部分,然后再判断所给条
件是否成立.如果条件不成立,那么再次执
行循环体部分,如此反复,直到所给条件成
立时退出循环.
直到型语句的特点是先执行,后判断.
(3) 当循环的次数已经确定,可用“For”
语句表示.
格式:For I From 初值 To 终值 Step 步
长
循环体
End For
功能:根据 For 语句中所给定的初值、
终值和步长,来确定循环次数,反复执行循
环体内各语句.
通过 For 语句进入循环,将初值赋给变
量 I ,当循环变量的值不超过终值时,则顺
序执行循环体内的各个语句,遇到 End For,
将循环变量增加一个步长的值,再与终值比
较,如果仍不超过终值范围,则再次执行循
环体.这样重复执行,直到循环变量的值超
过终值,则跳出循环.
[备课札记]
§科§网]
, 1 选择结构的算法功
能)
, 1) 执行如图所示的
算法流程图,则输出 k 的值为________.
答案:3
解析:由题设流程图的循环体执行如下:
第 1 次循环 n=6,k=1;第 2 次循环 n=3,
k=2;第 3 次循环 n=1,k=3.
变式训练
如图,若输入的 x 值为
π
3 ,则相应输出
的值为________.
答案:1
2
解析:由于 sin
π
3 >cos
π
3 ,则 y=cos
π
3 ,所以输出的值为1
2.
, 2 循环结构的算法功
能)
, 2) 根据如图所示的
伪代码,最后输出的 S 的值为________.
S←0
For I From 1 To 28 Step 3
S←S+I
End For
Print S
答案:145
解析:由算法伪代码知,此算法为计算
首项为 1,公差为 3 的等差数列的前 10 项的
和,所以 S=1+4+…+28=10(1+28)
2 =
145.
变式训练
执行如图所示的伪代码,当输入 a,b 的
值分别为 1,3 时,最后输出的 a 的值为
__________.
Read a,b
i←1
While i≤2
a←a+b
b←a-b
i←i+1
End While
Print a
答案:5
解析:当 i=1 时,a=4,b=1;当 i=2
时,a=5,b=4,则最后输出的 a 的值为 5.
, 3 算法的综合运用)
, 3) 执行如图所示的
算 法 流 程 图 , 则 输 出 的 结 果 是
__________.
答案:-1
解析:由流程图知循环体执行 8 次,第
1 次循环 S=1
2,n=2;第 2 次循环 S=-1,
n=3;第 3 次循环 S=2,n=4,…,第 8 次
循环 S=-1,n=9.
变式训练
执行如图所示的流程图,则输出的 k 的
值为__________.
答案:5
解析:由题设流程图的循环体执行如下:
第 1 次循环 S=3,k=2;第 2 次循环 S=8,
k=3;第 3 次循环 S=16,k=4;第 4 次循
环 S=27,k=5.
1. (2016·苏州期末)阅读算法流程图,运
行相应的程序,输出的结果为________.
答案:5
3
解析:由题设流程图的循环体执行如下:
第 1 次循环 z=2,x=1,y=2;第 2 次循环
z=3,x=2,y=3;第 3 次循环 z=5,x=
3,y=5;第 4 次循环后 z=8,不满足 z<6,
循环结束,此时输出的结果为5
3.
2. (2016·无锡期末)按如图所示的程序
框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中
的整数 M 的值是________.
答案:5
解析:当 A=1 时,S=3;当 A=2 时,
S=7;当 A=3 时,S=15;当 A=4 时,S=
31;当 A=5 时,S=63;判断框中的整数 M
的值是 5.
3. (2016·常州期末)如图所示的流程图
中,输出 S 的值是________.
答案:2
3
解析:k=1 时,S=-1
2;k=2 时,S=
2
3;k=3 时,S=3,恢复工厂到初始值;可
以发现周期为 3,2015 中共有 671 个周期,
还余 2 个数,则输出 S 的值是2
3.
4. (2016·镇江期末)阅读如图所示的程
序框,若输入的 n 的值是 30,则输出的变量
S 的值是________.
答案:240
解析:n=30 时,S=30;n=28 时,S=
30+28;n=26 时,S=30+28+26;以此类
推,n=2 时,S=30+28+26+…+2=240.
5. (2016· 苏北四市期末) 运行如图所示
的伪代码,则输出的结果 S 为________.
S←1
I←1
While I<5
S←S+2
I←I+1
End While
Print S
答案:9
解析:I=1 时,S=3;I=2 时,S=5;I
=3 时,S=7;I=4 时,S=9;I=5 时,输
出的结果 S 为 9.
1. 运行如图所示的伪代码,其结果为
________.
S←1
For I From 1 To 7 Step 2
S←S+I
End For
Print S
答案:17
解析:由题设伪代码的循环体执行如下:S=
1+61+3+5+7=17.
2. 根据下图所示的伪代码,可知输出的
结果 S 为________.
S←0
I←1
While S≤10
S←S+I2
I←I+1
End While
Print S
答案:14
解析:由题设伪代码的循环体执行如下:S=
12+22+32=14.
3. 执行如图所示的程序框图,输出的 x
值为________.
答案:6
解析:由题设可知,循环体执行 3 次,
第一次 x 值为 4,第二次 x 值为 5,第三次 x
值为 6,符合题意.
4. 下图是一个算法流程图,则输出 k 的
值是________.
答案:6
解析:由题设流程图的循环体执行如下:
第 1 次循环后 S=38,k=2;第 2 次循环后 S
=34,k=3;第 3 次循环后 S=26,k=4;
第 4 次循环后 S=10,k=5;第 5 次循环后 S
=-22,k=6.
1. 求解伪代码问题的基本思路
关键是理解基本算法语言.在一个赋值
语句中,只能给一个变量赋值,同一个变量
的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次
为准.对于条件语句要注意准确判断和语句
格式的完整性理解.对于循环语句,要注意
是“N”循环,还是“Y”循环,弄清何时退出
循环.
2. 注意算法与其他知识的综合交汇,特
别是用流程图来设计数列的求和是高考的
常考题型.数列的求和计算问题是典型的算
法问题,要求能看懂流程图和伪代码,能把
流程图或伪代码转化为数列问题,体现了化
归的思想方法.
[备课札记]
第 2 课时 统计初步(对应学生用书(文)155~156 页、(理)160~161 页)
统计内容在高考中多为基础题,常以填空题
的形式出现,以实际问题为背景,考查学生
对计算能力和读图能力,重点考查频率分布
直方图和用样本来估计总体(平均数和方差),
有时也会对抽样进行考查.
1. 了解抽样的方法以及科学、合理选用抽样
方法的必要性;了解抽样的操作步骤;
2. 会用频率直方图对总体分布规律进行统计;
3. 能用样本数据的平均值估计总体的水平;
4. 理解样本数据的方差、标准差的意义和作
用,形成对数据处理过程进行初步评价的意
识.
1. (必修 3P52 习题 2 改编)为了检查某超
市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编
号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进
行检验,用系统抽样方法确定所选取的 5 袋
奶粉的编号可能是________.(填序号)
① 5,10,15,20,25;② 2,4,8,
16,32;③ 1,2,3,4,5;④ 7,17,27,
37,47.
答案:④
解析:利用系统抽样,把编号分为 5 段,
每段 10 袋,每段抽取一袋,号码间隔为 10,
故选④.
2. (必修 3P49 练习 4 改编)某中学三个年
级共 240 人,其中七年级 100 人,八年级 80
人,九年级 60 人,为了了解初中生的视力
状 况 , 抽 查 12 人 参 加 体 检 , 应 采 用
________.(填序号)
① 简单随机抽样法;② 系统抽样法;
③ 分层抽样法.
答案:③
解析:学生视力会随年级的不同而变化,
应用分层抽样法.
3. 某学校高一年级男生人数占该年级
学生人数的 40%.在一次考试中,男、女生平
均分数分别为 75,80,则这次考试该年级学
生平均分数为________.
答案:78
解析:75×0.4+80×0.6=30+48=78.
4. (必修 3P68 练习 3 改编)某校举行歌咏
比赛,7 位评委给各班演出的节目评分,去
掉一个最高分,再去掉一个最低分后,所得
平均数作为该班节目的实际得分.对于某班
的演出,7 位评委的评分分别为 9.65,9.70,
9.68,9.75,9.72,9.65,9.78,则这个班节
目的实际得分是________.
答案:9.70
解析:x-=1
5(9.65+9.70+9.68+9.75+
9.72)=9.70.
5. 如图是某电视台综艺节目举办的挑
战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的
分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个
最低分后,所剩数据的方差为________.
答案:1.6
解析:由茎叶图可知评委打出的最低分
为 79,最高分为 93,其余得分为 84,84,
84,86,87,故平均分为84 × 3+86+87
5 =
85,方差为1
5[3×(84-85)2+(86-85)2+(87
-85)2]=1.6.
1. 简单随机抽样
(1) 定义
从个体数为 N 的总体中逐个不放回地
取出 n 个个体作为样本(n 0,
a+b
b-2a > 0.
∵ a,b∈{1,2,3,4,5,6},∴
b>2a.
∴ 总事件数共 36 种,满足 b>2a 的事
件有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,
5),(2,6),共 6 种,
∴ P(B)= 6
36=1
6.
备选变式(教师专享)
设 x∈{-1,1},y∈{-2,0,2},则
以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所
表示的平面区域内的概率为________.
答案:1
2
解析:以(x,y)为坐标的点有(-1,-
2),(-1,0),(-1,2),(1,-2),(1,0),
(1,2),满足 x+2y≥1 的点有(-1,2), (1,
0),(1,2),所以所求的概率为1
2.
, 3 用概率解决生活中
的决策问题)
, 3) 海关对同时从 A,
B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽
样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:
件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法
从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1) 求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地
区商品的数量;
(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送
往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来
自相同地区的概率.
解:(1) 因为样本容量与总体中的个体
数的比是 6
50+150+100= 1
50,
所以样本中包含三个地区的个体数量
分别是 50× 1
50=1,150×1
50=3,100×1
50=
2.
所以 A,B,C 三个地区的商品被选取
的件数分别是 1,3,2.
(2) 设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样
品分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2.
则抽取的这 2 件商品构成的所有基本
事件为{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,
C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,
C1},{B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,
C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15
个.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些
基本事件的出现是等可能的.
记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相
同地区”,
则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},
{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个.
所以 P(D)= 4
15,即这 2 件商品来自相同
地区的概率为 4
15.
变式训练
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一
项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所
示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转
动时,记录指针所指区域中的数.设两次记
录的数分别为 x,y.奖励规则如下:
① 若 xy≤3,则奖励玩具一个;② 若
xy≥8,则奖励水杯一个;③ 其余情况奖励
饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均
匀.小亮准备参加此项活动.
(1) 求小亮获得玩具的概率;
(2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的
概率的大小,并说明理由.
解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先
后记录的数,则基本事件空间 Ω 与点集 S=
{(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一
一对应,因为 S 中元素个数是 4×4=16,所
以基本事件总数为 n=16.
(1) 记“xy≤3”为事件 A.
则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所
以,P(A)=5
16,即小亮获得玩具的概率为 5
16.
(2) 记“xy≥8”为事件 B,“3 5
16,所以小亮获得水杯的概率大
于获得饮料的概率.
1. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,
其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球.从中
一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同
的概率为________.
答案:5
6
解析:基本事件有 6 种:(白,红),(白,
黄 1),(白,黄 2),(红,黄 1),(红,黄 2),
(黄 1,黄 2),其中颜色不同的事件有 5 种,
则这 2 只球颜色不同的概率为5
6.
2. (2016·镇江期末)某校从 2 名男生和
3 名女生中随机选出 3 名学生做义工,则选
出 的 学 生 中 男 女 生 都 有 的 概 率 为
__________.
答案: 9
10[来源:学.科.网 Z.X.X.K]
解析:从 5 名学生中随机选出 3 名学生
共有 10 种选法,男女生都有共 9 种(即去掉
选的是 3 名女生的情况),则所求的概率为 9
10.
本题考查用列举法解决古典概型问题,属于
容易题.
3. (2016·常州期末)箱子中有形状、大小
都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2
只球,则摸到的 2 只球颜色不同的概率为
__________.
答案:3
5
解析:由 5 只球中一次摸出 2 只球,共
有 10 种摸法,摸到的 2 只球颜色不同的摸
法共有 6 种,则所求的概率为3
5.
4. (2016·新课标Ⅰ文)为美化环境,从红、
黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在
一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛
中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率
是__________.
答案:2
3
解析:将 4 种颜色的花种任选两种种在
一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有 6
种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的
种数有 4 种,故概率为2
3.
5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各
一个,现有放回地随机摸取 3 次,每次摸取
一个球.若摸出红球,得 2 分,摸出黑球,
得 1 分,则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的
概率是________.
答案:7
8
解析:用列举法列出基本事件总数:(红,
红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,
红,红),(黑,黑,红),(红,黑,黑),(黑,
红,黑),(黑,黑,黑),总分至少是 4 分,
则摸取的球中至少有一个红球,共有 7 种情
况,所求的概率是7
8.
1. 从长度分别为 1,2,3,4 的四条线
段中任意取三条,则以这三条线段为边可以
构成三角形的概率是________.
答案:1
4
解析:从长度分别为 1,2,3,4 的四
条线段中任意取三条的不同取法有 4 种,但
要能构成三角形,只有取(2,3,4)这一种方
法,故所求概率为1
4.
2. (2016·上海卷文)某食堂规定,每份午
餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两
同学各自所选的两种水果相同的概率为
________.
答案:1
6
解析:将 4 种水果每两种分为一组,有
6 种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两
种水果相同的概率为1
6.
3. 在一个袋子中装有分别标注数字 1,
2,3,4,5 的 5 个小球,这些小球除标注数
字外完全相同,现从中随机取 2 个小球,则
取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概
率是________.
答案: 3
10
解析:基本事件为(1,2),(1,3),(1,
4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),
(3,5),(4,5),其中和为 3 或 6 的有 3 个,
因而有 P= 3
10.
4. (2016· 新课标Ⅲ 文) 小敏打开计算机
时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一
位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,
2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次
密码能够成功开机的概率是________.
答案: 1
15
解析:开机密码的可能有(M,1),(M,
2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,
2),(I,3),(I,4),(I,5)(N,1),(N,2),
(N,3),(N,4),(N,5),共 15 种可能,
所以小敏输入一次密码能够成功开机的概
率是 1
15.
1. 解以代数、几何等数学知识为背景的
概率题,解题策略是:读懂题意,理解内涵,
寻求关系,突破入口;尽力脱去背景外衣,
回首重温概率定义;细心诊断事件类型,正
确运用概率公式.
2. 解较复杂的概率问题的,解题的关键
是理解题目的实际含义,把问题转化为概率
模型.必要时可考虑分类讨论、数形结合、
正难则反等思想方法.
[备课札记]
第 5 课时 几何概型与互斥事件(对应学生用书(文)162~164 页、(理)167~169 页)
几何概型往往要通过一定的手段才能转化到
几何度量值的计算上来,在解决问题时要善
于根据问题的具体情况进行转化.对于比较
复杂的概率问题,可利用其对立事件求解,
或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加
法公式求解.
① 了解几何概型的意义,并能正确应用几何
概型的概率计算公式解决问题.
② 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计
概率.
③ 了解两个互斥事件的概率加法公式.
1. 下列概率模型:
① 从区间[-5,5]内任取一个数,求取
到 1 的概率;
② 从区间[-5,5]内任取一个数,求取
到绝对值不大于 1 的数的概率;
③ 从区间[-5,5]内任取一个整数,求
取到大于 1 的数的概率;
④ 向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD
内投一点 P,求点 P 离中心不超过 1 cm 的概
率.
其中,是几何概型的有__________.(填
序号)
答案:①②④
解析:① [-5,5]上有无限多个数,取
到“1”这个数的概率近似为 0,是几何概型;
② [-5,5]和[-1,1]上有无限多个数可取(无
限性),且在这两个区间上每个数被取到可能
性相同(等可能性),是几何概型;③ [-5,
5]上的整数只有 11 个,不满足无限性,故不
是几何概型;④ 在边长为 5 cm 的正方形和
半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限
性),且这两个区域内的任何一个点都有可能
被投到(等可能性),是几何概型.
2. (必修 3P115 练习 1 改编)把红、黑、蓝、
白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四
个人,每人分得 1 张,事件“甲分得红牌”
与事件“乙分得红牌”是________.(填序号)
① 对立事件;② 不可能事件;③ 互
斥但不对立事件.
答案:③
解析:由互斥事件的定义可知,甲、乙
不能同时得此红牌.由对立事件的定义可知,
甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得
红牌”的事件可能不发生.故选③.
3. (必修 3P115 练习 2 改编)一箱产品中
有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件.
① 恰有 1 件次品和恰有 2 件次品;
② 至少有 1 件次品和全是次品;
③ 至少有 1 件正品和至少有 1 件次品;
④ 至少有 1 件次品和全是正品.
以 上 事 件 中 互 斥 事 件 的 组 数 是
________组.
答案:2
解析:①④中的两事件互斥,②③中的
两事件不互斥.
4. 已知 P 是△ABC 内一点,PB
→
+PC
→
+
2PA
→
=0.现将一粒黄豆随机投入△ABC 内,
则 该 粒 黄 豆 落 在 △ PAC 内 的 概 率 是
__________.
答案:1
4
解析:因为PB
→
+PC
→
+2PA
→
=0,所以PB
→
+
PC
→
=-2PA
→
.设PB
→
+PC
→
=PD
→
,则PD
→
=-2PA
→
,
由共线向量定理知 P,D,A 三点共线.设PD
→
所在的直线与BC
→
所在的直线相交于点 E,则
AE 为△ABC 的边 BC 上的中线,且 P 是中
线 AE 的中点,所以 S△PBC=1
2S△ABC,S△PAC
=S△PEC=1
2S△PBC=1
4S△ABC,从而该粒黄豆
落在△PAC 内的概率为1
4.
5. (必修 3P110 习题 3)如图,在一个边长
为 a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形
上、下底分别为 1
3a 与 1
2a,高为 b,向该矩形
内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的
概率为________.
答案: 5
12
解析:梯形面积为5
12ab ,而矩形面积为 ab,
则所求事件的概率为5
12.
1. 几何概型的定义
对于一个随机试验,我们将每个基本事
件理解为从某个特定的几何区域内随机地
取一点,该区域中每一点被取到的机会都一
样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取
到上述区域内的某个指定区域中的点,这里
的区域可以是线段、平面图形、立体图形
等.用这种方法处理随机试验,称为几何概
型.
2. 概率计算公式
在几何区域 D 中随机地取一点,记事件
“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件
A ,则事件 A 发生的概率 P(A) =
d的测度
D的测度.
3. 不能同时发生的两个事件称为互斥
事件.
4. 如果事件 A,B 互斥,则事件 A+B
发生的概率等于事件
A,B 分别发生的概率的和,即 P(A+B)=
P(A)+P(B).
5. 一般地,如果事件 A1,A2,…,An
两两互斥,那么 P(A1+A2+…+An)=P(A1)
+P(A2)+…+P(An).
6. 若两个互斥事件必有 1 个发生,则称
这两个事件为对立事件;若事件 A 的对立事
件记作A
-
,则 P(A)+P( A
-
)=1,P( A
-
)=1-
P(A).
[备课札记]
[来源:学|科|网]
, 1 几何概型)
, 1) 如图,∠AOB=60
°,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一
点 C,试求:
(1) △AOC 为钝角三角形的概率;
(2) △AOC 为锐角三角形的概率.
解:如图,由平面几何知识:当 AD⊥OB
时,OD=1;当 OA⊥AE 时,OE=4,BE=
1.
(1) 当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上
时,△AOC 为钝角三角形,记“△AOC 为
钝角三角形”为事件 M,则 P(M)=OD+EB
OB
=1+1
5 =0.4,即△AOC 为钝角三角形的概
率为 0.4.
(2) 当且仅当点 C 在线段 DE 上时,△
AOC 为锐角三角形,记“△AOC 为锐角三
角”为事件 N,则 P(N)= DE
OB=3
5=0.6,即
△AOC 为锐角三角形的概率为 0.6.
变式训练
如图,在矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴
上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在
函数 f(x)={x+1,x ≥ 0,-1
2x+1,x<0
的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,
则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为
__________.
答案:1
4
解析:由函数 f(x)可知其图象与 y 轴交
于点 E(0,1),又 B(1,0),依次可求得 C(1,
2),D(-2,2),A(-2,0),矩形 ABCD 的
面积为 3×2=6,阴影部分的面积为1
2×3×1
=3
2,故所求概率为
3
2
6=1
4.
, 2 古典概型与几何概
型的区别与联系)
, 2) 设关于 x 的一元
二次方程 x2+2ax+b2=0.
(1) 若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取
的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的
一个数,求上述方程有实根的概率;
(2) 若 a 是从区间[0,3]中任取的一个数,
b 是从区间[0,2]中任取的一个数,求上述方
程有实根的概率.
解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0
有实根”,
当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0
有实根的充要条件为 a≥b.
(1) 基本事件共有 12 个:(0,0),(0,
1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),
(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其
中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b
的取值.
事件 A 中包含 9 个基本事件,故事件 A
发生的概率为 P(A)= 9
12=3
4.
(2) 试验的全部结果所构成的区域为{(a,
b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0
≤b≤2,a≥b},即如图所示的阴影区域,
所 以 所 求 的 概 率 为 P(A) =
3 × 2-1
2 × 2 × 2
3 × 2 =2
3.
变式训练
在区间[0,2]上随机取一个数 a,在区间
[0,4]上随机取一个数 b,求关于 x 的方程 x2
+2ax+b2=0 有实根的概率.
解:因为关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0
有实根,所以 Δ=(2a)2-4×1×b2=4a2-4b2
≥0,所以 a2≥b2.由于 0≤a≤2,0≤b≤4,
故有 a≥b.记事件 A:关于 x 的方程 x 2+ax
+b2=0 有实根,则事件 A 表示的平面区域
如图中阴影部分所示,该区域为一个等腰直
角三角形,腰长为 2,其面积 SA=1
2×2×2=
2,总的事件所构成的区域为一个矩形,底
边长为 2,高为 4,其面积 S=2×4=8,故
事件 A 发生的概率为 P(A)=SA
S =2
8=1
4.
, 3 互斥事件)
, 3) 某保险公司利用
简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,
样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
(1) 若每辆车的投保金额均为 2 800 元,
估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2) 在样本车辆中,车主是新司机的占
10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,
车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆
中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率.
解:(1) 设 A 表示事件“赔付金额为 3
000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”,
以频率估计概率,得 P(A)= 150
1 000=0.15,P(B)
= 120
1 000=0.12.
由于投保金额为 2 800 元,所以赔付金
额大于投保金额的概率为 P(A)+P(B)=0.15
+0.12=0.27.
(2) 设 C 表示事件“投保车辆中新司机
获赔 4000 元”,
由已知,得样本车辆中车主为新司机的
有 0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为 4 000
元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120=
24(辆),
所以样本车辆中新司机车主获赔金额
为 4 000 元的频率为 24
100=0.24.
由频率估计概率得 P(C)=0.24.
备选变式(教师专享)
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队
各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支
球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取
一名队员,求:
(1) 该队员只属于一支球队的概率;
(2) 该队员最多属于两支球队的概率.
分析:根据韦恩图,正确理解“只属”、
“最多”.
解:从图中可以看出,3 个球队共有 20
名队员.
(1) 记“随机抽取一名队员,该队员只
属于一支球队”为事件 A,则 P(A)=3+5+4
20
=3
5.
故随机抽取一名队员,该队员只属于一
支球队的概率为3
5.
(2) 记 “ 随 机 抽 取 一 名 队
员,该队员最多属于两支球队”为事件 B,
则 P(B)=1-P(B)=1- 2
20= 9
10.故随机抽取
一名队员,该队员最多属于两支球队的概率
为 9
10.
1. (2016·新课标Ⅱ文)某路口人行横道
的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续
时间为 40 s.若一名行人来到该路口遇到红
灯,则至少需要等待 15 s 才出现绿灯的概率
为____________.
答案:5
8
解析:因为红灯持续时间为 40 s.所以
这名行人至少需要等待 15 s 才出现绿灯的
概率为40-15
40 =5
8.
2. (2016·天津卷文)甲、乙两人下棋,两
人下成和棋的概率是1
2,甲获胜的概率是1
3,
则甲不输的概率为__________.
答案:5
6
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
解析:甲不输的概率为1
2+1
3=5
6.
3. (2016·泰州期末)甲、乙两人下棋,若
甲获胜的概率为1
5,甲、乙下成和棋的概率
为2
5,则乙不输棋的概率为________.
答案:4
5
解析:乙不输棋就是甲没有获胜,则所
求的概率为 1-1
5=4
5.
4. (2016·南京、盐城、徐州、连云港一
模)将一枚骰子连续抛掷两次,至少有一次向
上的点数为 1 的概率是__________.
答案:11
36
解析:将一枚骰子连续抛掷两次,共有
36 种基本事件.抛掷两次没有一次是 1 点的
基本事件数为 25 种,则所求的概率为 1-25
36
=11
36.
5. 小明通过做游戏的方式来确定周末
活动,他随机地往单位圆中投掷一点,若此
点到圆心的距离大于1
2,则周末看电影;若
此点到圆心的距离小于1
4,则周末打篮球;
否则就在家看书.那么小明周末在家看书的
概率是________.
答案: 3
16
解析:单位圆中点到圆心的距离大于1
2
的部分的面积为π-
π
4 =3π
4 ,点到圆心的
距离小于1
4的部分的面积为
π
16,则剩下的面
积为π-
π
16-3π
4 =3π
16 ,故小明周末在家看
书的概率是 3
16.
1. 由 不 等 式 组
{x ≤ 0,y ≥ 0,y-x-2 ≤ 0确定的平面
区 域 记 为 Ω 1 , 不 等 式 组
{x+y ≤ 1,x+y ≥ -2确定的平面区域记
为Ω2,在Ω1 中随机取一点,则该点恰好在Ω
2 内的概率为________.
答案:7
8
解析:依题意,不等式组表示的平面区
域如图,由几何公式知,该点落在Ω2 内的
概率为 P=
1
2 × 2 × 2-1
2 × 1 × 1
2
1
2 × 2 × 2
=7
8.
2. 设函数 f(x)=log2x,在区间(0,5)上
随 机 取 一 个 数 x , 则 f(x)<2 的 概 率 为
________.
答案:4
5
解析:因为 log2x<2,解得 0<x<4,
所以 P(f(x)<2)=4
5.
3. (2016·盐城二模)甲、乙两盒中各有除
颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球,现
从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红
球的概率为________.
答案:8
9
解析:从两盒中各取一个球的基本事件
数为 9,没有红球的基本事件数为 1,则至
少有一个红球的概率=1-没有红球的概率
=1-1
9=8
9.
4. 一只口袋内装有大小相同的 5 只球,
其中 3 只黑球,2 只白球,从中一次随机摸
出 2 只 球 , 至 少 有 1 只 黑 球 的 概 率 是
________.
答案: 9
10
解析:记 3 只黑球分别为黑 1,黑 2,
黑 3,2 只白球分别为白 1,白 2,从这 5 只
球中一次随机摸出 2 只球,有黑 1 黑 2,黑
1 黑 3,黑 1 白 1,黑 1 白 2,黑 2 黑 3,黑
2 白 1,黑 2 白 2,黑 3 白 1,黑 3 白 2,白
1 白 2 共 10 种不同的取法,至少有 1 只黑球
的有黑 1 黑 2,黑 1 黑 3,黑 1 白 1,黑 1
白 2,黑 2 黑 3,黑 2 白 1,黑 2 白 2,黑 3
白 1,黑 3 白 2 共 9 种不同的取法,所以所
求概率是 9
10.
1. 对于几何概型的应用题,关键是将实
际问题转化为概型中的长度、角度、面积、
体积等常见几何概型问题,构造出随机事件
A 对应的几何图形,利用图形的测度来求随
机事件的概率.
2. 分清古典概型与几何概型的关键就
是古典概型与几何概型中基本事件发生的
可能性都是相等的,但古典概型要求基本事
件有有限个,而几何概型则是无限个.
3. 求较复杂的互斥事件的概率,一般有
两种方法;一是直接求解法,即将所求事件
的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率
和,分解后的每个事件概率的计算通常为等
可能事件的概率计算,这时应注意事件是否
互斥,是否完备;二是间接求解法,先求出
此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=
1-P(A
-
).若解决“至少”、“至多”型的题
目,用后一种方法就显得比较方便.解题时
需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别
与联系,搞清楚“互斥事件”与“等可能性
事件”的差异.
[备课札记]
,