【数学】2018届一轮复习人教A版第十章　算法、统计与概率学案 31页

第十章　算法、统计与概率) 第 1 课时　算　　法(对应学生用书(文)152～154 页、(理)157～159 页) ① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加 的内容，高考对本章的考查主要以填空题的 形式出现，单独命题以考查考生对流程图的 识别能力为主，对算法语言的阅读理解能力 次之，考查用自然语言叙述算法思想的可能 性不大. ② 算法可结合在任何试题中进行隐性考查， 因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课 标的基本要求，常见的与其他知识的结合有 分段函数、方程、不等式、数列、统计等知 识综合，以算法为载体，以算法的语言呈出， 实质考查其他知识． ① 了解算法的含义、算法的思想. ② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、 选择、循环. ③ 理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的 含义． 1. (必修 3P37 测试 1 改编)如图所示的程 序图的运行结果是________． 答案：2.5 解析：顺序结构，按序运行即可． (第 1 题) 　　　　 (第 2 题) 2. (必修 3P10 引例)下图是一个算法流程 图，如果输入 x 的值是1 4，则输出 S 的值是 ________． 答案：－2 解析：输入 x 的值是1 4，S＝log2 1 4＝－2. 3. (必修 3P11 练习 2)根据下面流程图， 当输入 x 为 6 时，输出的 y＝________． 答案：10 解析：该流程图运行如下：x＝6－3＝ 3>0，x＝3－3＝0，x＝0－3＝－3<0，y＝(－ 3)2＋1＝10. 4. (必修 3P19 示例改编)如图所示的伪代 码，若输入 a ＝－4 ，则输出的数为 ________． Read a If a>0 Then 　a←a Else 　a←－a End If Print a 答案：4 解析：∵ a＝－4<0，∴ a＝－(－4)＝4. 5. (必修 3P 37 测试 5)运行如图所示的伪 代码表示的算法，其输出值为________． i←1 S←0 While i＜8 　i←i＋3 　S←2×i＋S End While Print S 答案：42 解析：由题设可知，循环体执行 3 次， 从而有 S＝0＋8＋14＋20＝42. 1. 构成流程图的图形符号 起止框用“ ”表示； 输入、输出框用“ ”表示； 处理框用“ ”表示； 判断框用“ ”表示． 2. 基本的算法结构 算法都可以由顺序结构、选择结构、循 环结构组成． 3. 赋值语句 用符号“x←y”表示将 y 的值赋给 x， 其中 x 是一个变量，y 是一个与 x 同类型的 变量或表达式． 4. 输入语句、输出语句 (1) 输入语句：“Read a，b”表示输入 的数据依次送给 a，b． (2) 输出语句：“Print x”表示输出运算 结果 x． 5. 条件语句 条件语句的一般形式是 If A Then B Else C End If 其中 A 表示判断的条件，B 表示满足条 件时执行的操作内容，C 表示不满足条件时 执行的操作内容，End If 表示条件语句结 束． 6. 循环语句 循环语句一般有三种：“While 循 环”“Do 循环”“For 循环”． (1) 当型循环一般采用“While 循环”描 述循环结构． 格式： While条件 循环体 End While 先判断条件是否成立，当条件成立时， 执行循环体，遇到 End While 语句时，就返 回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过 程，若不成立，则退出循环． 当型语句的特点是先判断，后执行． (2) 直到型循环可采用“Do 循环”描述 循环结构． 格式： Do 循环体 Until 条件 End Do 先执行循环体部分，然后再判断所给条 件是否成立．如果条件不成立，那么再次执 行循环体部分，如此反复，直到所给条件成 立时退出循环． 直到型语句的特点是先执行，后判断． (3) 当循环的次数已经确定，可用“For” 语句表示． 格式：For I From 初值 To 终值 Step 步 长 循环体 End For 功能：根据 For 语句中所给定的初值、 终值和步长，来确定循环次数，反复执行循 环体内各语句． 通过 For 语句进入循环，将初值赋给变 量 I ，当循环变量的值不超过终值时，则顺 序执行循环体内的各个语句，遇到 End For， 将循环变量增加一个步长的值，再与终值比 较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循 环体．这样重复执行，直到循环变量的值超 过终值，则跳出循环． [备课札记] §科§网] ,　　　　　　　　　1　选择结构的算法功 能) ,　　　　　1)　执行如图所示的 算法流程图，则输出 k 的值为________． 答案：3 解析：由题设流程图的循环体执行如下： 第 1 次循环 n＝6，k＝1；第 2 次循环 n＝3， k＝2；第 3 次循环 n＝1，k＝3. 变式训练 如图，若输入的 x 值为 π 3 ，则相应输出 的值为________． 答案：1 2 解析：由于 sin π 3 >cos π 3 ，则 y＝cos π 3 ，所以输出的值为1 2. ,　　　　　　　　　2　循环结构的算法功 能) ,　　　　　2)　根据如图所示的 伪代码，最后输出的 S 的值为________． S←0 For I From 1 To 28 Step 3 S←S＋I End For Print S 答案：145 解析：由算法伪代码知，此算法为计算 首项为 1，公差为 3 的等差数列的前 10 项的 和，所以 S＝1＋4＋…＋28＝10（1＋28） 2 ＝ 145. 变式训练 执行如图所示的伪代码，当输入 a，b 的 值分别为 1，3 时，最后输出的 a 的值为 __________． Read a，b 　i←1 While i≤2 　a←a＋b 　b←a－b 　i←i＋1 End While Print a 答案：5 解析：当 i＝1 时，a＝4，b＝1；当 i＝2 时，a＝5，b＝4，则最后输出的 a 的值为 5. ,　　　　　　　　　3　算法的综合运用) ,　　　　　3)　执行如图所示的 算 法 流 程 图 ， 则 输 出 的 结 果 是 __________． 答案：－1 解析：由流程图知循环体执行 8 次，第 1 次循环 S＝1 2，n＝2；第 2 次循环 S＝－1， n＝3；第 3 次循环 S＝2，n＝4，…，第 8 次 循环 S＝－1，n＝9. 变式训练 执行如图所示的流程图，则输出的 k 的 值为__________． 答案：5 解析：由题设流程图的循环体执行如下： 第 1 次循环 S＝3，k＝2；第 2 次循环 S＝8， k＝3；第 3 次循环 S＝16，k＝4；第 4 次循 环 S＝27，k＝5. 1. (2016·苏州期末)阅读算法流程图，运 行相应的程序，输出的结果为________． 答案：5 3 解析：由题设流程图的循环体执行如下： 第 1 次循环 z＝2，x＝1，y＝2；第 2 次循环 z＝3，x＝2，y＝3；第 3 次循环 z＝5，x＝ 3，y＝5；第 4 次循环后 z＝8，不满足 z<6， 循环结束，此时输出的结果为5 3. 2. (2016·无锡期末)按如图所示的程序 框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中 的整数 M 的值是________． 答案：5 解析：当 A＝1 时，S＝3；当 A＝2 时， S＝7；当 A＝3 时，S＝15；当 A＝4 时，S＝ 31；当 A＝5 时，S＝63；判断框中的整数 M 的值是 5. 3. (2016·常州期末)如图所示的流程图 中，输出 S 的值是________． 答案：2 3 解析：k＝1 时，S＝－1 2；k＝2 时，S＝ 2 3；k＝3 时，S＝3，恢复工厂到初始值；可 以发现周期为 3，2015 中共有 671 个周期， 还余 2 个数，则输出 S 的值是2 3. 4. (2016·镇江期末)阅读如图所示的程 序框，若输入的 n 的值是 30，则输出的变量 S 的值是________． 答案：240 解析：n＝30 时，S＝30；n＝28 时，S＝ 30＋28；n＝26 时，S＝30＋28＋26；以此类 推，n＝2 时，S＝30＋28＋26＋…＋2＝240. 5. (2016· 苏北四市期末) 运行如图所示 的伪代码，则输出的结果 S 为________． S←1 I←1 While I＜5 　S←S＋2 　I←I＋1 End While Print S 答案：9 解析：I＝1 时，S＝3；I＝2 时，S＝5；I ＝3 时，S＝7；I＝4 时，S＝9；I＝5 时，输 出的结果 S 为 9. 1. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ________． S←1 For I From 1 To 7 Step 2 　S←S＋I End For Print S 答案：17 解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S＝ 1＋61＋3＋5＋7＝17. 2. 根据下图所示的伪代码，可知输出的 结果 S 为________． S←0 I←1 While S≤10 　S←S＋I2 　I←I＋1 End While Print S 答案：14 解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S＝ 12＋22＋32＝14. 3. 执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为________． 答案：6 解析：由题设可知，循环体执行 3 次， 第一次 x 值为 4，第二次 x 值为 5，第三次 x 值为 6，符合题意． 4. 下图是一个算法流程图，则输出 k 的 值是________． 答案：6 解析：由题设流程图的循环体执行如下： 第 1 次循环后 S＝38，k＝2；第 2 次循环后 S ＝34，k＝3；第 3 次循环后 S＝26，k＝4； 第 4 次循环后 S＝10，k＝5；第 5 次循环后 S ＝－22，k＝6.　 1. 求解伪代码问题的基本思路 关键是理解基本算法语言．在一个赋值 语句中，只能给一个变量赋值，同一个变量 的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次 为准．对于条件语句要注意准确判断和语句 格式的完整性理解．对于循环语句，要注意 是“N”循环，还是“Y”循环，弄清何时退出 循环． 2. 注意算法与其他知识的综合交汇，特 别是用流程图来设计数列的求和是高考的 常考题型．数列的求和计算问题是典型的算 法问题，要求能看懂流程图和伪代码，能把 流程图或伪代码转化为数列问题，体现了化 归的思想方法． [备课札记] 第 2 课时　统计初步(对应学生用书(文)155～156 页、(理)160～161 页) 统计内容在高考中多为基础题，常以填空题 的形式出现，以实际问题为背景，考查学生 对计算能力和读图能力，重点考查频率分布 直方图和用样本来估计总体(平均数和方差)， 有时也会对抽样进行考查． 1. 了解抽样的方法以及科学、合理选用抽样 方法的必要性；了解抽样的操作步骤； 2. 会用频率直方图对总体分布规律进行统计； 3. 能用样本数据的平均值估计总体的水平； 4. 理解样本数据的方差、标准差的意义和作 用，形成对数据处理过程进行初步评价的意 识． 1. (必修 3P52 习题 2 改编)为了检查某超 市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编 号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进 行检验，用系统抽样方法确定所选取的 5 袋 奶粉的编号可能是________．(填序号) ① 5，10，15，20，25；② 2，4，8， 16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27， 37，47. 答案：④ 解析：利用系统抽样，把编号分为 5 段， 每段 10 袋，每段抽取一袋，号码间隔为 10， 故选④. 2. (必修 3P49 练习 4 改编)某中学三个年 级共 240 人，其中七年级 100 人，八年级 80 人，九年级 60 人，为了了解初中生的视力 状 况 ， 抽 查 12 人 参 加 体 检 ， 应 采 用 ________．(填序号) ① 简单随机抽样法；② 系统抽样法； ③ 分层抽样法. 答案：③ 解析：学生视力会随年级的不同而变化， 应用分层抽样法． 3. 某学校高一年级男生人数占该年级 学生人数的 40%.在一次考试中，男、女生平 均分数分别为 75，80，则这次考试该年级学 生平均分数为________． 答案：78 解析：75×0.4＋80×0.6＝30＋48＝78. 4. (必修 3P68 练习 3 改编)某校举行歌咏 比赛，7 位评委给各班演出的节目评分，去 掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得 平均数作为该班节目的实际得分．对于某班 的演出，7 位评委的评分分别为 9.65，9.70， 9.68，9.75，9.72，9.65，9.78，则这个班节 目的实际得分是________． 答案：9.70 解析：x－＝1 5(9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋ 9.72)＝9.70. 5. 如图是某电视台综艺节目举办的挑 战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的 分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数据的方差为________． 答案：1.6 解析：由茎叶图可知评委打出的最低分 为 79，最高分为 93，其余得分为 84，84， 84，86，87，故平均分为84 × 3＋86＋87 5 ＝ 85，方差为1 5[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87 －85)2]＝1.6. 1. 简单随机抽样 (1) 定义 从个体数为 N 的总体中逐个不放回地 取出 n 个个体作为样本(n 0， a＋b b－2a > 0. ∵ a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴ b>2a. ∴ 总事件数共 36 种，满足 b>2a 的事 件有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2， 5)，(2，6)，共 6 种， ∴ P(B)＝ 6 36＝1 6. 备选变式（教师专享） 设 x∈{－1，1}，y∈{－2，0，2}，则 以(x，y)为坐标的点落在不等式 x＋2y≥1 所 表示的平面区域内的概率为________． 答案：1 2 解析：以(x，y)为坐标的点有(－1，－ 2)，(－1，0)，(－1，2)，(1，－2)，(1，0)， (1，2)，满足 x＋2y≥1 的点有(－1，2), (1， 0)，(1，2)，所以所求的概率为1 2. ,　　　　　　　　　3　用概率解决生活中 的决策问题) ,　　　　　3)　海关对同时从 A， B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽 样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位： 件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法 从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 (1) 求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地 区商品的数量； (2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送 往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来 自相同地区的概率． 解：(1) 因为样本容量与总体中的个体 数的比是 6 50＋150＋100＝ 1 50， 所以样本中包含三个地区的个体数量 分别是 50× 1 50＝1，150×1 50＝3，100×1 50＝ 2. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取 的件数分别是 1，3，2. (2) 设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样 品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2. 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本 事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A， C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1， C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2， C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共 15 个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些 基本事件的出现是等可能的． 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相 同地区”， 则事件 D 包含的基本事件有{B1，B2}， {B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共 4 个． 所以 P(D)＝ 4 15，即这 2 件商品来自相同 地区的概率为 4 15. 变式训练 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一 项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所 示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转 动时，记录指针所指区域中的数．设两次记 录的数分别为 x，y.奖励规则如下： ① 若 xy≤3，则奖励玩具一个；② 若 xy≥8，则奖励水杯一个；③ 其余情况奖励 饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均 匀．小亮准备参加此项活动． (1) 求小亮获得玩具的概率； (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的 概率的大小，并说明理由． 解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先 后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集 S＝ {(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一 一对应，因为 S 中元素个数是 4×4＝16，所 以基本事件总数为 n＝16. (1) 记“xy≤3”为事件 A. 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个，即 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所 以，P(A)＝5 16，即小亮获得玩具的概率为 5 16. (2) 记“xy≥8”为事件 B，“3 5 16，所以小亮获得水杯的概率大 于获得饮料的概率． 1. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球， 其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球．从中 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同 的概率为________． 答案：5 6 解析：基本事件有 6 种：(白，红)，(白， 黄 1)，(白，黄 2)，(红，黄 1)，(红，黄 2)， (黄 1，黄 2)，其中颜色不同的事件有 5 种， 则这 2 只球颜色不同的概率为5 6. 2. (2016·镇江期末)某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工，则选 出 的 学 生 中 男 女 生 都 有 的 概 率 为 __________． 答案： 9 10[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 解析：从 5 名学生中随机选出 3 名学生 共有 10 种选法，男女生都有共 9 种(即去掉 选的是 3 名女生的情况)，则所求的概率为 9 10. 本题考查用列举法解决古典概型问题，属于 容易题． 3. (2016·常州期末)箱子中有形状、大小 都相同的 3 只红球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 只球颜色不同的概率为 __________． 答案：3 5 解析：由 5 只球中一次摸出 2 只球，共 有 10 种摸法，摸到的 2 只球颜色不同的摸 法共有 6 种，则所求的概率为3 5. 4. (2016·新课标Ⅰ文)为美化环境，从红、 黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在 一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛 中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率 是__________． 答案：2 3 解析：将 4 种颜色的花种任选两种种在 一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的 种数有 4 种，故概率为2 3. 5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各 一个，现有放回地随机摸取 3 次，每次摸取 一个球．若摸出红球，得 2 分，摸出黑球， 得 1 分，则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的 概率是________． 答案：7 8 解析：用列举法列出基本事件总数：(红， 红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑， 红，红)，(黑，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑， 红，黑)，(黑，黑，黑)，总分至少是 4 分， 则摸取的球中至少有一个红球，共有 7 种情 况，所求的概率是7 8. 1. 从长度分别为 1，2，3，4 的四条线 段中任意取三条，则以这三条线段为边可以 构成三角形的概率是________． 答案：1 4 解析：从长度分别为 1，2，3，4 的四 条线段中任意取三条的不同取法有 4 种，但 要能构成三角形，只有取(2，3，4)这一种方 法，故所求概率为1 4. 2. (2016·上海卷文)某食堂规定，每份午 餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两 同学各自所选的两种水果相同的概率为 ________． 答案：1 6 解析：将 4 种水果每两种分为一组，有 6 种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两 种水果相同的概率为1 6. 3. 在一个袋子中装有分别标注数字 1， 2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数 字外完全相同，现从中随机取 2 个小球，则 取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概 率是________．　 答案： 3 10 解析：基本事件为(1，2)，(1，3)，(1， 4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)， (3，5)，(4，5)，其中和为 3 或 6 的有 3 个， 因而有 P＝ 3 10. 4. (2016· 新课标Ⅲ 文) 小敏打开计算机 时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一 位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1， 2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次 密码能够成功开机的概率是________． 答案： 1 15 解析：开机密码的可能有(M，1)，(M， 2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I， 2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)(N，1)，(N，2)， (N，3)，(N，4)，(N，5)，共 15 种可能， 所以小敏输入一次密码能够成功开机的概 率是 1 15. 1. 解以代数、几何等数学知识为背景的 概率题，解题策略是：读懂题意，理解内涵， 寻求关系，突破入口；尽力脱去背景外衣， 回首重温概率定义；细心诊断事件类型，正 确运用概率公式． 2. 解较复杂的概率问题的，解题的关键 是理解题目的实际含义，把问题转化为概率 模型．必要时可考虑分类讨论、数形结合、 正难则反等思想方法． [备课札记] 第 5 课时　几何概型与互斥事件(对应学生用书(文)162～164 页、(理)167～169 页) 几何概型往往要通过一定的手段才能转化到 几何度量值的计算上来，在解决问题时要善 于根据问题的具体情况进行转化．对于比较 复杂的概率问题，可利用其对立事件求解， 或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加 法公式求解． ① 了解几何概型的意义，并能正确应用几何 概型的概率计算公式解决问题． ② 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计 概率． ③ 了解两个互斥事件的概率加法公式． 1. 下列概率模型： ① 从区间[－5，5]内任取一个数，求取 到 1 的概率； ② 从区间[－5，5]内任取一个数，求取 到绝对值不大于 1 的数的概率； ③ 从区间[－5，5]内任取一个整数，求 取到大于 1 的数的概率； ④ 向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离中心不超过 1 cm 的概 率． 其中，是几何概型的有__________．(填 序号) 答案：①②④ 解析：① [－5，5]上有无限多个数，取 到“1”这个数的概率近似为 0，是几何概型； ② [－5，5]和[－1，1]上有无限多个数可取(无 限性)，且在这两个区间上每个数被取到可能 性相同(等可能性)，是几何概型；③ [－5， 5]上的整数只有 11 个，不满足无限性，故不 是几何概型；④ 在边长为 5 cm 的正方形和 半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限 性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能 被投到(等可能性)，是几何概型． 2. (必修 3P115 练习 1 改编)把红、黑、蓝、 白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四 个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是________．(填序号) ① 对立事件；② 不可能事件；③ 互 斥但不对立事件． 答案：③ 解析：由互斥事件的定义可知，甲、乙 不能同时得此红牌．由对立事件的定义可知， 甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得 红牌”的事件可能不发生．故选③. 3. (必修 3P115 练习 2 改编)一箱产品中 有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件． ① 恰有 1 件次品和恰有 2 件次品； ② 至少有 1 件次品和全是次品； ③ 至少有 1 件正品和至少有 1 件次品； ④ 至少有 1 件次品和全是正品． 以 上 事 件 中 互 斥 事 件 的 组 数 是 ________组． 答案：2 解析：①④中的两事件互斥，②③中的 两事件不互斥． 4. 已知 P 是△ABC 内一点，PB → ＋PC → ＋ 2PA → ＝0.现将一粒黄豆随机投入△ABC 内， 则 该 粒 黄 豆 落 在 △ PAC 内 的 概 率 是 __________． 答案：1 4 解析：因为PB → ＋PC → ＋2PA → ＝0，所以PB → ＋ PC → ＝－2PA → .设PB → ＋PC → ＝PD → ，则PD → ＝－2PA → ， 由共线向量定理知 P，D，A 三点共线．设PD → 所在的直线与BC → 所在的直线相交于点 E，则 AE 为△ABC 的边 BC 上的中线，且 P 是中 线 AE 的中点，所以 S△PBC＝1 2S△ABC，S△PAC ＝S△PEC＝1 2S△PBC＝1 4S△ABC，从而该粒黄豆 落在△PAC 内的概率为1 4. 5. (必修 3P110 习题 3)如图，在一个边长 为 a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形 上、下底分别为 1 3a 与 1 2a，高为 b，向该矩形 内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的 概率为________． 答案： 5 12 解析：梯形面积为5 12ab ，而矩形面积为 ab， 则所求事件的概率为5 12. 1. 几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事 件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一 样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域中的点，这里 的区域可以是线段、平面图形、立体图形 等．用这种方法处理随机试验，称为几何概 型． 2. 概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点，记事件 “该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ d的测度 D的测度． 3. 不能同时发生的两个事件称为互斥 事件． 4. 如果事件 A，B 互斥，则事件 A＋B 发生的概率等于事件 A，B 分别发生的概率的和，即 P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)． 5. 一般地，如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥，那么 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1) ＋P(A2)＋…＋P(An)． 6. 若两个互斥事件必有 1 个发生，则称 这两个事件为对立事件；若事件 A 的对立事 件记作A － ，则 P(A)＋P( A － )＝1，P( A － )＝1－ P(A)． [备课札记] [来源:学|科|网] ,　　　　　　　　　1　几何概型) ,　　　　　1)　如图，∠AOB＝60 °，OA＝2，OB＝5，在线段 OB 上任取一 点 C，试求： (1) △AOC 为钝角三角形的概率； (2) △AOC 为锐角三角形的概率． 解：如图，由平面几何知识：当 AD⊥OB 时，OD＝1；当 OA⊥AE 时，OE＝4，BE＝ 1. (1) 当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上 时，△AOC 为钝角三角形，记“△AOC 为 钝角三角形”为事件 M，则 P(M)＝OD＋EB OB ＝1＋1 5 ＝0.4，即△AOC 为钝角三角形的概 率为 0.4. (2) 当且仅当点 C 在线段 DE 上时，△ AOC 为锐角三角形，记“△AOC 为锐角三 角”为事件 N，则 P(N)＝ DE OB＝3 5＝0.6，即 △AOC 为锐角三角形的概率为 0.6. 变式训练 如图，在矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴 上，点 B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在 函数 f(x)＝{x＋1，x ≥ 0，－1 2x＋1，x＜0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点， 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为 __________． 答案：1 4 解析：由函数 f(x)可知其图象与 y 轴交 于点 E(0，1)，又 B(1，0)，依次可求得 C(1， 2)，D(－2，2)，A(－2，0)，矩形 ABCD 的 面积为 3×2＝6，阴影部分的面积为1 2×3×1 ＝3 2，故所求概率为 3 2 6＝1 4. ,　　　　　　　　　2　古典概型与几何概 型的区别与联系) ,　　　　　2)　设关于 x 的一元 二次方程 x2＋2ax＋b2＝0. (1) 若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的 一个数，求上述方程有实根的概率； (2) 若 a 是从区间[0，3]中任取的一个数， b 是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方 程有实根的概率． 解：设事件 A 为“方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根”， 当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. (1) 基本事件共有 12 个：(0，0)，(0， 1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)， (2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其 中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值． 事件 A 中包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为 P(A)＝ 9 12＝3 4. (2) 试验的全部结果所构成的区域为{(a， b)|0≤a≤3，0≤b≤2}． 构成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0 ≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影区域， 所 以 所 求 的 概 率 为 P(A) ＝ 3 × 2－1 2 × 2 × 2 3 × 2 ＝2 3. 变式训练 在区间[0，2]上随机取一个数 a，在区间 [0，4]上随机取一个数 b，求关于 x 的方程 x2 ＋2ax＋b2＝0 有实根的概率． 解：因为关于 x 的方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根，所以 Δ＝(2a)2－4×1×b2＝4a2－4b2 ≥0，所以 a2≥b2.由于 0≤a≤2，0≤b≤4， 故有 a≥b.记事件 A：关于 x 的方程 x 2＋ax ＋b2＝0 有实根，则事件 A 表示的平面区域 如图中阴影部分所示，该区域为一个等腰直 角三角形，腰长为 2，其面积 SA＝1 2×2×2＝ 2，总的事件所构成的区域为一个矩形，底 边长为 2，高为 4，其面积 S＝2×4＝8，故 事件 A 发生的概率为 P(A)＝SA S ＝2 8＝1 4. ,　　　　　　　　　3　互斥事件) ,　　　　　3)　某保险公司利用 简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样， 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： (1) 若每辆车的投保金额均为 2 800 元， 估计赔付金额大于投保金额的概率； (2) 在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中， 车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆 中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率． 解：(1) 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”， 以频率估计概率，得 P(A)＝ 150 1 000＝0.15，P(B) ＝ 120 1 000＝0.12. 由于投保金额为 2 800 元，所以赔付金 额大于投保金额的概率为 P(A)＋P(B)＝0.15 ＋0.12＝0.27. (2) 设 C 表示事件“投保车辆中新司机 获赔 4000 元”， 由已知，得样本车辆中车主为新司机的 有 0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.2×120＝ 24(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额 为 4 000 元的频率为 24 100＝0.24. 由频率估计概率得 P(C)＝0.24. 备选变式（教师专享） 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队 各有 10 名队员，某些队员不止参加了一支 球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取 一名队员，求： (1) 该队员只属于一支球队的概率； (2) 该队员最多属于两支球队的概率． 分析：根据韦恩图，正确理解“只属”、 “最多”． 解：从图中可以看出，3 个球队共有 20 名队员． (1) 记“随机抽取一名队员，该队员只 属于一支球队”为事件 A，则 P(A)＝3＋5＋4 20 ＝3 5. 故随机抽取一名队员，该队员只属于一 支球队的概率为3 5. (2) 记 “ 随 机 抽 取 一 名 队 员，该队员最多属于两支球队”为事件 B， 则 P(B)＝1－P(B)＝1－ 2 20＝ 9 10.故随机抽取 一名队员，该队员最多属于两支球队的概率 为 9 10. 1. (2016·新课标Ⅱ文)某路口人行横道 的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续 时间为 40 s．若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 s 才出现绿灯的概率 为____________． 答案：5 8 解析：因为红灯持续时间为 40 s．所以 这名行人至少需要等待 15 s 才出现绿灯的 概率为40－15 40 ＝5 8. 2. (2016·天津卷文)甲、乙两人下棋，两 人下成和棋的概率是1 2，甲获胜的概率是1 3， 则甲不输的概率为__________． 答案：5 6 赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 解析：甲不输的概率为1 2＋1 3＝5 6. 3. (2016·泰州期末)甲、乙两人下棋，若 甲获胜的概率为1 5，甲、乙下成和棋的概率 为2 5，则乙不输棋的概率为________． 答案：4 5 解析：乙不输棋就是甲没有获胜，则所 求的概率为 1－1 5＝4 5. 4. (2016·南京、盐城、徐州、连云港一 模)将一枚骰子连续抛掷两次，至少有一次向 上的点数为 1 的概率是__________． 答案：11 36 解析：将一枚骰子连续抛掷两次，共有 36 种基本事件．抛掷两次没有一次是 1 点的 基本事件数为 25 种，则所求的概率为 1－25 36 ＝11 36. 5. 小明通过做游戏的方式来确定周末 活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于1 2，则周末看电影；若 此点到圆心的距离小于1 4，则周末打篮球； 否则就在家看书．那么小明周末在家看书的 概率是________． 答案： 3 16 解析：单位圆中点到圆心的距离大于1 2 的部分的面积为π－ π 4 ＝3π 4 ，点到圆心的 距离小于1 4的部分的面积为 π 16，则剩下的面 积为π－ π 16－3π 4 ＝3π 16 ，故小明周末在家看 书的概率是 3 16. 1. 由 不 等 式 组 {x ≤ 0，y ≥ 0，y－x－2 ≤ 0确定的平面 区 域 记 为 Ω 1 ， 不 等 式 组 {x＋y ≤ 1，x＋y ≥ －2确定的平面区域记 为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω 2 内的概率为________． 答案：7 8 解析：依题意，不等式组表示的平面区 域如图，由几何公式知，该点落在Ω2 内的 概率为 P＝ 1 2 × 2 × 2－1 2 × 1 × 1 2 1 2 × 2 × 2 ＝7 8. 2. 设函数 f(x)＝log2x，在区间(0，5)上 随 机 取 一 个 数 x ， 则 f(x)<2 的 概 率 为 ________． 答案：4 5 解析：因为 log2x＜2，解得 0＜x＜4， 所以 P(f(x)<2)＝4 5. 3. (2016·盐城二模)甲、乙两盒中各有除 颜色外完全相同的 2 个红球和 1 个白球，现 从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红 球的概率为________． 答案：8 9 解析：从两盒中各取一个球的基本事件 数为 9，没有红球的基本事件数为 1，则至 少有一个红球的概率＝1－没有红球的概率 ＝1－1 9＝8 9. 4. 一只口袋内装有大小相同的 5 只球， 其中 3 只黑球，2 只白球，从中一次随机摸 出 2 只 球 ， 至 少 有 1 只 黑 球 的 概 率 是 ________． 答案： 9 10 解析：记 3 只黑球分别为黑 1，黑 2， 黑 3，2 只白球分别为白 1，白 2，从这 5 只 球中一次随机摸出 2 只球，有黑 1 黑 2，黑 1 黑 3，黑 1 白 1，黑 1 白 2，黑 2 黑 3，黑 2 白 1，黑 2 白 2，黑 3 白 1，黑 3 白 2，白 1 白 2 共 10 种不同的取法，至少有 1 只黑球 的有黑 1 黑 2，黑 1 黑 3，黑 1 白 1，黑 1 白 2，黑 2 黑 3，黑 2 白 1，黑 2 白 2，黑 3 白 1，黑 3 白 2 共 9 种不同的取法，所以所 求概率是 9 10. 1. 对于几何概型的应用题，关键是将实 际问题转化为概型中的长度、角度、面积、 体积等常见几何概型问题，构造出随机事件 A 对应的几何图形，利用图形的测度来求随 机事件的概率． 2. 分清古典概型与几何概型的关键就 是古典概型与几何概型中基本事件发生的 可能性都是相等的，但古典概型要求基本事 件有有限个，而几何概型则是无限个． 3. 求较复杂的互斥事件的概率，一般有 两种方法；一是直接求解法，即将所求事件 的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率 和，分解后的每个事件概率的计算通常为等 可能事件的概率计算，这时应注意事件是否 互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出 此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝ 1－P(A － )．若解决“至少”、“至多”型的题 目，用后一种方法就显得比较方便．解题时 需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别 与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性 事件”的差异． [备课札记] 　 ,