2018届二轮复习2-3函数的奇偶性与周期性课件（全国通用） 38页

2 . 3 　 函数的奇偶性与周期性 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 函数的奇偶性 f ( -x ) = f ( x ) y 轴 f ( -x ) =- f ( x ) 原点 - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 函数的周期性 (1) 周期函数 : T 为函数 f ( x ) 的一个周期 , 则需满足条件 : ① T ≠0; ② 　　　　　　　　　 对定义域内的任意 x 都成立 .   (2) 最小正周期 : 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个 　　　　　　　　 , 那么这个 　　　　　　　　 就叫做 f ( x ) 的最小正周期 .   (3) 周期不唯一 : 若 T 是函数 y= f ( x )( x ∈ R ) 的一个周期 , 则 nT ( n ∈ Z , 且 n ≠0) 也是函数 f ( x ) 的周期 , 即 f ( x+nT ) = f ( x ) . f ( x+T ) = f ( x ) 最小的正数 最小的正数 - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 函数奇偶性的四个重要结论 (1) 如果一个奇函数 f ( x ) 在原点处有定义 , 即 f (0) 有意义 , 那么一定有 f (0) = 0 . (2) 如果函数 f ( x ) 是偶函数 , 那么 f ( x ) = f ( |x | ) . (3) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 ; 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 . (4) 在公共定义域内有 : 奇 ± 奇 = 奇 , 偶 ± 偶 = 偶 , 奇 × 奇 = 偶 , 偶 × 偶 = 偶 , 奇 × 偶 = 奇 . - 6 - 知识梳理 考点自测 2 . 周期性的几个常用结论 对 f ( x ) 定义域内任一自变量的值 x ( 其中 a> 0, 且为常数 ): 3 . 对称性的四个常用结论 (1) 若函数 y= f ( x+a ) 是偶函数 , 即 f ( a-x ) = f ( a+x ), 则函数 y= f ( x ) 的图象关于直线 x=a 对称 ; - 7 - 知识梳理 考点自测 - 8 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 函数 y=x 2 在区间 (0, +∞ ) 内是偶函数 . ( 　　 ) (2) 若函数 f ( x ) 为奇函数 , 则一定有 f (0) = 0 . ( 　　 ) (3) 若函数 y= f ( x+a ) 是偶函数 , 则函数 y= f ( x ) 的图象关于直线 x=a 对称 ; 若函数 y= f ( x+b ) 是奇函数 , 则函数 y= f ( x ) 的图象关于点 ( b ,0) 中心对称 . ( 　　 ) (4) 如果函数 f ( x ), g ( x ) 是定义域相同的偶函数 , 那么 F ( x ) = f ( x ) +g ( x ) 是偶函数 . ( 　　 ) (5) 已知函数 y= f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 若在 ( -∞ , 内 f ( x ) 是减函数 , 则在 (0, +∞ ) 内 f ( x ) 是增函数 . ( 　　 ) (6) 若 T 为 y= f ( x ) 的一个周期 , 则 nT ( n ∈ Z ) 是函数 f ( x ) 的周期 . ( 　　 ) × √ × √ √ × - 9 - 知识梳理 考点自测 D 解析 : 由题意知 f ( x ) 的定义域为 ( -∞ ,0) ∪ (0, +∞ ), 且在区间 (0, +∞ ) 内为减函数 , ∴ f ( x ) 为偶函数 , 即 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 , 故选 D . - 10 - 知识梳理 考点自测 3 . ( 教材习题改编 P 39 A 组 T 6 ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x ≥ 0 时 , f ( x ) =x (1 +x ), 则当 x< 0 时 , f ( x ) 的解析式为 ( 　　 ) A. f ( x ) =x (1 +x ) B. f ( x ) =x (1 -x ) C. f ( x ) =-x (1 +x ) D. f ( x ) =x ( x- 1) B 解析 : ( 方法一 ) 由题意得 f (2) = 2 × (1 + 2) = 6 . ∵ 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , ∴ f ( - 2) =- 6 . 经验证 , 仅有 f ( x ) =x (1 -x ) 时 , f ( - 2) =- 6 . 故选 B . ( 方法二 ) 当 x< 0 时 , -x> 0, ∴ f ( -x ) =-x [1 + ( -x )] . 又 f ( x ) 为奇函数 , ∴ f ( -x ) =- f ( x ) . ∴ - f ( x ) =-x (1 -x ), ∴ f ( x ) =x (1 -x ), 故选 B . - 11 - 知识梳理 考点自测 4 . ( 教材习题改编 P 39 B 组 T 3 ) 已知函数 f ( x ) 是奇函数 , 在区间 (0, +∞ ) 内是减函数 , 且在区间 [ a , b ]( a 0 时 , -x< 0, 此时 f ( x ) =-x 2 + 2 x+ 1, f ( -x ) =x 2 - 2 x- 1 =- f ( x ); 当 x< 0 时 , -x> 0, 此时 f ( x ) =x 2 + 2 x- 1, f ( -x ) =-x 2 - 2 x+ 1 =- f ( x ) . 故对于 x ∈ ( -∞ ,0) ∪ (0, +∞ ), 均有 f ( -x ) =- f ( x ), 即函数 f ( x ) 是奇函数 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 判断函数的奇偶性要注意什么 ? 解题心得 判断函数的奇偶性要注意两点 : (1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 . (2) 判断关系式 f ( x ) +f ( -x ) = 0( 奇函数 ) 或 f ( x ) -f ( -x ) = 0( 偶函数 ) 是否成立 . - 16 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 1 判断下列函数的奇偶性 : - 17 - 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1) 由题意知函数 f ( x ) 的定义域为 R , 关于原点对称 . 因为 f ( -x ) = ( -x ) 3 - ( -x ) =-x 3 +x=- ( x 3 -x ) =- f ( x ), 所以函数 f ( x ) 为奇函数 . (2) 由 可得函数的定义域为 ( - 1,1] . 因为函数的定义域不关于原点对称 , 所以函数 f ( x ) 既不是奇函数 , 也不是偶函数 . (3) 函数的定义域为 { x|x ≠0}, 关于原点对称 . 当 x> 0 时 , -x< 0, 此时 f ( x ) =-x 2 +x , f ( -x ) = ( -x ) 2 -x=x 2 -x=- ( -x 2 +x ) =- f ( x ); 当 x< 0 时 , -x> 0, 此时 f ( x ) =x 2 +x , f ( -x ) =- ( -x ) 2 -x=-x 2 -x=- ( x 2 +x ) =- f ( x ) . 故对于 x ∈ ( -∞ ,0) ∪ (0, +∞ ), 均有 f ( -x ) =- f ( x ), 即函数 f ( x ) 为奇函数 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 考点四 函数奇偶性的应用 例 2 (1) 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数 , 当 x ≥ 0 时 , f ( x ) = 2 x +m , 则 f ( - 2) = ( 　　 ) (2) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x ≥ 0 时 , f ( x ) =x 2 + 2 x , 若 f (2 -a 2 ) >f ( a ), 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.( -∞ , - 1) ∪ (2, +∞ ) B.( - 1,2) C.( - 2,1) D.( -∞ , - 2) ∪ (1, +∞ ) (3) 已知 f ( x ) 是偶函数 , g ( x ) 是奇函数 , 且 , 则函数 f ( x ) 的解析式为 　 ;   (4) 已知函数 f ( x ) 为奇函数 , 当 x> 0 时 , f ( x ) =x 2 -x , 则当 x< 0 时 , 函数 f ( x ) 的最大值为 　　　　　 . A C - 19 - 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 : (1) 因为 f ( x ) 为 R 上的奇函数 , 所以 f (0) = 0, 即 f (0) = 2 0 +m= 0, 解得 m=- 1, 则 f ( - 2) =-f (2) =- (2 2 - 1) =- 3 . (2) 因为 f ( x ) 是奇函数 , 所以当 x< 0 时 , f ( x ) =-x 2 + 2 x. 作出函数 f ( x ) 的大致图象如图中实线所示 , 结合图象可知 f ( x ) 是 R 上的增函数 , 由 f (2 -a 2 ) >f ( a ), 得 2 -a 2 >a , 解得 - 2 2, 即 0 4 时 , 有 f ( x- 2) > 0, 故选 B . - 24 - 考点一 考点二 考点三 考点四 函数的周期性的应用 例 3 (1) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x+ 6) =f ( x ), 当 - 3 ≤ x<- 1 时 , f ( x ) =- ( x+ 2) 2 ; 当 - 1 ≤ x< 3 时 , f ( x ) =x , 则 f (1) +f (2) +f (3) + … +f (2 017) 等于 ( 　　 ) A.336 B.337 C.1 678 D.2 012 (2) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 并且 . 若当 2 ≤ x ≤ 3 时 , f ( x ) =x , 则 f (105 . 5) = 　　　   . B 2.5 - 25 - 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 : (1) ∵ f ( x+ 6) =f ( x ), ∴ 函数 f ( x ) 的周期 T= 6 . ∵ 当 - 3 ≤ x<- 1 时 , f ( x ) =- ( x+ 2) 2 ; 当 - 1 ≤ x< 3 时 , f ( x ) =x , ∴ f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) =f ( - 3) =- 1, f (4) =f ( - 2) = 0, f (5) =f ( - 1) =- 1, f (6) =f (0) = 0, ∴ f (1) +f (2) + … +f (6) = 1 . ∴ f (1) +f (2) +f (3) + … +f (2 015) +f (2 016) = 又 f (2 017) =f (1) = 1, ∴ f (1) +f (2) +f (3) + … +f (2 017) = 336 + 1 = 337 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 考点四 ∴ 函数 f ( x ) 的周期为 4 . ∴ f (105 . 5) =f (4 × 27 - 2 . 5) =f ( - 2 . 5) =f (2 . 5) . ∵ 2 ≤ 2 . 5 ≤ 3, ∴ f (2 . 5) = 2 . 5 . ∴ f (105 . 5) = 2 . 5 . 思考 函数周期性的主要应用是什么 ? 解题心得 利用函数的周期性 , 可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题 , 转化为已知区间上的相应问题 , 再进行求解 . - 27 - 考点一 考点二 考点三 考点四 D 2 0 - 28 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2) 因为 f ( x+ 2) =-f ( x ), 所以 f ( x+ 4) =f [( x+ 2) + 2] =-f ( x+ 2) =- [ -f ( x )] =f ( x ), 所以函数 f ( x ) 的周期为 4, 所以 f (2 018) =f (4 × 504 + 2) =f (2) . 又 2 ≤ 2 ≤ 3, 所以 f (2) = 2, 即 f (2 018) = 2 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 30 - 考点一 考点二 考点三 考点四 函数性质的综合应用 例 4 (1) 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数 , 且 f ( x+ 1) =-f ( x ), 若 f ( x ) 在 [ - 1,0] 上是减函数 , 则 f ( x ) 在 [1,3] 上是 ( 　　 ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 (2) 已知偶函数 f ( x ) 的定义域为 R , 当 x ∈ [0, +∞ ) 时 , f ( x ) 是增函数 , 则 f ( - 2), f ( π ), f ( - 3) 的大小关系是 ( 　　 ) A. f ( π ) >f ( - 3) >f ( - 2) B. f ( π ) >f ( - 2) >f ( - 3) C. f ( π ) 3 > 2, 且当 x ∈ [0, +∞ ) 时 , f ( x ) 是增函数 , 所以 f ( π ) >f (3) >f (2) . 又函数 f ( x ) 为 R 上的偶函数 , 所以 f ( - 3) =f (3), f ( - 2) =f (2), 故 f ( π ) >f ( - 3) >f ( - 2) . (3) 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数 , 所以 f (0) = 0 . 又对任意 x ∈ R 都有 f ( x+ 6) =f ( x ) +f (3), 所以当 x=- 3 时 , 有 f (3) =f ( - 3) +f (3) = 0, 所以 f ( - 3) = 0, f (3) = 0, 所以 f ( x+ 6) =f ( x ), 周期为 6 . 故 f (2 017) =f (1) = 2 . - 33 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略有哪些 ? 解题心得 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 : (1) 函数单调性与奇偶性结合 . 注意奇函数在对称区间上的单调性相同 , 偶函数在对称区间上的单调性相反 . (2) 周期性与奇偶性结合 . 此类问题多考查求值问题 , 常利用奇偶性及周期性进行转换 , 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 . (3) 周期性、奇偶性与单调性结合 . 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 , 再利用奇偶性和单调性求解 . - 34 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 4 (1) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数 , 若 f (1) < 1, f (5) = , 则实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.( - 1,4) B.( - 2,0) C.( - 1,0) D.( - 1,2) (2) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x- 4) =-f ( x ), 且 f ( x ) 在区间 [0,2] 上是增函数 , 则 ( 　　 ) A. f ( - 25)