2018届二轮复习（文）平面向量的线性运算及其应用学案（全国通用） 9页

‎【2017年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．‎ 试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．向量的概念 ‎(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.‎ ‎(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.‎ ‎(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．‎ ‎(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．‎ ‎(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．‎ ‎2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ ‎(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.Ziyuanku.com ‎(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3．平面向量的性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|A|＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．‎ ‎5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b 互相垂直，反之也成立．‎ ‎6．两个向量夹角的范围是0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．‎ ‎【题型示例】‎ 考点1、平面向量的线性运算 ‎【例1】 【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎ 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ ‎【答案】　A ‎【解析】　∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，‎ ‎∴＝－＋.‎ ‎【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．‎ ‎【答案】　　－ ‎【变式探究】(1)(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1 ‎ C．1 D．2‎ ‎(2)(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．‎ ‎(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力．‎ ‎【答案】(1)D　(2)±3‎ ‎【解析】(1)解法一：由已知，得c＝(m＋4,‎2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝，又由已知，得|b|＝2|a|，所以‎2c·a＝c·b，即2(m＋4)＋2(‎2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(‎2m＋2)，解得m＝2.‎ ‎【感悟提升】‎ 平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等．‎ ‎(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解．‎ ‎(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解．‎ ‎(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．‎ ‎(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．$来&源：ziyuanku.com 注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．‎ ‎【变式探究】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝. ‎ ‎【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用 ，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．‎ 考点2、平面向量的数量积 ‎ ‎【例2】【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则·＝(　　)‎ A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2‎ ‎【答案】　D ‎【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ ‎【答案】　D ‎【解析】　由于△ABC是边长为2的等边三角形；‎ ‎∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，‎ ‎∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.‎ ‎【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．‎ ‎【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B. 15 C．9 D．6‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　＝＋，‎ ＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(4－3)‎ ‎＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C. ‎ 题型三、平面向量基本定理及坐标运算 例3．【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )资*源%库 ziyuanku.com ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ ，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.‎ ‎【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】　B ‎【变式探究】(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.‎ ‎【举一反三】(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C 因为＝＋＝(λ－，λ＋1)．‎ ＝＋＝(－μ，μ＋1)，‎ 又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.‎ 由 整理得λ＋μ＝.选C.资*源%库