人教版高三数学总复习课时作业34 8页

课时作业34　等比数列 一、选择题 ‎1．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为(　　)‎ A．－ B．1‎ C．－或1 D. 解析：当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.‎ 当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，解得q＝－，综上q＝－或q＝1.‎ 答案：C ‎2．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a6的值是(　　)‎ A．± B．－ C. D．±2‎ 解析：由题意得a4a8＝2，且a4＋a8＝3，则a4>0，a8>0，又{an}为等比数列，故a4，a6，a8同号，且a＝a4a8＝2，故a6＝，选C.‎ 答案：C ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ 解析：q＝＝，则＝＝2n－1.‎ 答案：C ‎4．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A.(4n－1) B.(2n－1)‎ C．4n－1 D．(2n－1)2‎ 解析：由题意知a1＝1，q＝2，数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．‎ 答案：A ‎5．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：由题意，a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，d≠0，‎ ‎∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.‎ 答案：A ‎6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 013＝(　　)‎ A．92 012 B．272 012‎ C．92 013 D．272 013‎ 解析：由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2 013＝33×2 013＝272 013，故选D.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.‎ 解析：∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.‎ 答案：240‎ ‎8．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.‎ 解析：由题意知数列{an}是以首项a1＝2，公比q＝的等比数列，∴‎ a7＝a1·q6＝2×6＝.‎ 答案： ‎9．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则Sn＝a1＋a2＋…＋an的取值范围是________．‎ 解析：因为{an}是等比数列，所以可设an＝a1qn－1.‎ 因为a2＝2，a5＝，‎ 所以解得 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ‎＝8－8×n.‎ 因为01，∴q＝2，∴a1＝1.‎ 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ ‎(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.‎ 又bn＋1－bn＝3ln2，故数列{bn}为等差数列．‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝ln2.故Tn＝ln2.‎ ‎11．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；‎ ‎(2)求T2n.‎ 解：(1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，‎ ‎∴＝，即an＋2＝an.‎ ‎∵bn＝a2n＋a2n－1，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴{bn}是公比为的等比数列．‎ ‎∵a1＝1，a1·a2＝，‎ ‎∴a2＝⇒b1＝a1＋a2＝.‎ ‎∴bn＝×n－1＝.‎ ‎(2)由(1)可知an＋2＝an，‎ ‎∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝＋＝3－.‎ ‎1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是(　　)‎ A．若a3>0，则a2 013<0‎ B．若a4>0，则a2 014<0‎ C．若a3>0，则S2 013>0‎ D．若a4>0，则S2 014>0‎ 解析：若a3>0，则a2 013＝a3q2 010>0；若a4>0，则a2 014＝a4q2 010>0，故A，B错；当a3>0，则a1＝>0，因为1－q与1－q2 013‎ 同号，所以S2 013＝>0，C正确．故选C.‎ 答案：C ‎2．函数y＝图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为y＝⇔(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为圆心，1为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故≤q2≤3，即≤q≤，而<，选B.‎ 答案：B ‎3．在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．‎ 解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，‎ 则a1＋a2＋…＋an＝＝2n－5－.‎ ‎∵a5＝，q＝2，‎ ‎∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a＝1.‎ ‎∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27－>a1a2…a11a12＝a12＝26成立；当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28－13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.‎ 答案：12‎ ‎4．(2014·天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．‎ ‎(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；‎ ‎(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若an