重庆市康德卷2020届高三模拟调研卷理科数学（一） Word版含解析 20页

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷理科数学（一）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数年复平面中所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限．‎ ‎【详解】，对应点，在第二象限．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数性质确定集合，解一元二次不等式确定集合，然后按集合运算法则计算．‎ ‎【详解】由题意，或，‎ 则，∴．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查指数函数的性质及解一元二次不等式，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（ ）‎ A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. -2或1‎ - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的坐标运算求得．‎ ‎【详解】∵A，B，C三点共线，∴共线，∴，解得或．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．‎ ‎4.函数的零点位于区间（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算区间两端点处函数值，根据函数值的符号判断．‎ ‎【详解】，，，，零点在区间上，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理解题关键．‎ ‎5.某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（ ）‎ A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 极差 ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图计算各数据特征．‎ ‎【详解】由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99-80＝19，只有方差不相同了．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键．‎ ‎6.在中，，，则外接圆的面积为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求出外接圆半径即可求面积．‎ ‎【详解】外接圆半径为，由正弦定理得，，‎ ‎∴．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，求圆面积，掌握正弦定理是解题关键．‎ ‎7.已知命题P：“若对任意的都有，则”，则命题P的否命题为（ ）‎ A. 若存在使得，则 B. 若存在使得，则 C. 若，则存在使得 D. 若，则存在使得 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换．‎ - 20 -‎ ‎【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”.‎ 因此命题P的否命题是：若存在使得，则 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．‎ ‎8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等．‎ ‎【详解】，则，函数是偶函数，排除C，‎ 当较大时，，可排除A，‎ 当时，，，由，知在上递减，上递增，，又，，∴有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D符合，排除B．‎ 故选：D.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论．‎ ‎9.在区间内任取一点x，使得的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，确定不等式在上的解，然后由几何概型概率计算公式计算．‎ ‎【详解】由得或，‎ 当时，不等式的解集为.‎ 因此所求概率为．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，考查解三角不等式，掌握正弦函数的性质是解题关键．‎ ‎10.定义新运算“”：，则下列计算错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义运算验证各选择支．‎ - 20 -‎ ‎【详解】由题中较小数的两倍减去较大的数，‎ ‎，A正确；‎ 若，则，B正确；‎ ‎，C正确；‎ ‎，‎ D不正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．‎ ‎11.已知公比不为1的正项等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别为A，B，C，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的前项和性质，结合公比得出的关系，然后分析各选择支的情况．‎ ‎【详解】设公比为，则，，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，A,D均错，‎ ‎，，又，故.C错，B正确．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和性质，掌握等比数列的前项和性质是解题的关键．性质：设等比数列公比为，前项和为，则，．‎ ‎12.既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（ ）‎ A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公切线在上的切点为，在上的切点为，‎ 由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数．‎ ‎【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，‎ ‎，‎ 则公切线为：，，整理为：‎ ‎，，‎ 所以且，联立消去得：‎ ‎①，由得，或．‎ 令，则，或，‎ 故在上单减，在上单增，在上单减，‎ 当时，当时，当时，‎ 当时，因此在时，，故在内有唯一零点，在内有唯一零点，‎ 即①式中有两个不同解，即有两条公切线.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________.（结果用数字表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数，用二项展开式通项公式求出系数．‎ ‎【详解】∵，∴二项式系数最大的项为第5项，‎ 由二项式定理得，系数为1120.‎ 故答案为：1120.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质．属于基本题．‎ ‎14.已知点，，若点的坐标x，y满足，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算 作出可行域，作出直线，平移该直线可得最优解．‎ ‎【详解】由题意，‎ 作可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移该直线时增大，所以当过点时，最大，所以的最大值为．‎ 故答案：．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，题中问题是求向量数量积的最大值，计算后转化为目标函数是二元一次方程的线性规划问题．作出可行域是解题关键．‎ ‎15.今有4个不同的奇数，5个不同的偶数，现从中依次任取3个数，分别记为a，b，c，则使为奇数的不同取法共有________种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使为奇数，只有偶+奇或奇+偶才有可能，然后分解成的奇偶情况，列举出各种可能后用排列的思想求解．‎ ‎【详解】要使为奇数，数组的奇偶性为（偶、偶、奇）、（奇、偶、奇）、（偶、奇、奇）、（奇、奇、偶），‎ 所有情况的种数为.‎ 故答案为：260.‎ ‎【点睛】本题考查排列综合应用．解题时要分类讨论，需用分类、分步计数原理．‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，若点Q是线段的中点，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 由等腰三角形性质得，而，根据双曲线的定义，这两个线段都可以用表示，从而可求得其取值范围，再得角的取值范围．‎ ‎【详解】因为，点Q是线段的中点，‎ ‎∴，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率，解题关键是由双曲线定义求出线段，求出后利用得出取值范围．难度不大，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列满足：，，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），则代入已知式可证得结论；‎ ‎（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.‎ - 20 -‎ ‎【详解】解：（1）设，由题，‎ 即，又，‎ 为等比数列，‎ 即为等比数列；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 两式相减得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．‎ ‎18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：‎ 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.8‎ 该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：‎ 体检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ - 20 -‎ 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（1）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人体检3次的概率；‎ ‎（2）若以这100位会员体检次数的频率分布估计该体检中心所有会员体检次数的概率分布，已知该中心本周共接待了1000名顾客参加体检，试估计该体检中心本周所获利润.‎ ‎【答案】（1）（2）42500元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样计算出抽出的人中有人体检三次，有人体检四次，有人体检五次及以上.，用组合知识求出从8人中抽取2人的方法数，以及有1 人体检3次的方法数，然后计算概率；‎ ‎（2）按比例估算出参数体检一次、二次、三次、四次、五次及以上的人数后可计算出利润．‎ ‎【详解】解：（1）由题，抽出的人中有人体检三次，有人体检四次，有人体检五次及以上.‎ 从个人中抽取两人共有种取法，其中恰有人体检次的情况有种，‎ 所求概率为；‎ ‎（2）由题可估计：这名顾客中，在体检中心参加的本次体检是他在此中心参加的第一次体检的有人，‎ 第二次体检的有人，第三次体检的有人，‎ 第四次体检的有人，第五次及五次以上体检的有人，‎ 医院的收入约为 又医院成本为，‎ 利润为元.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，考查用样本估计总体．掌握分层抽样的概念是解题基础．‎ ‎19.已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 - 20 -‎ ‎.‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）设，的面积为S，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角；‎ ‎（2）用正弦定理把边用角表示，即，，这样，又，就表示为的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理，，‎ 由余弦定理，；‎ ‎（2）由正弦定理，，，‎ ‎.‎ - 20 -‎ 当且仅当时等号成立，故最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，考查正弦函数的性质．‎ 本题是三角函数与解三角形的综合应用，解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，的最小值为4.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知P，Q是抛物线C上不同的两点，若直线恰好垂直平分线段PQ，求实数k 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，过焦点的直线方程，代入抛物线方程，用焦半径公式表示出焦点弦长表示为的函数后可得最小值，由最小值为4可得；‎ ‎（2）由垂直可设直线方程为，代入抛物线方程有，由韦达定理求出弦的中点坐标，代入直线方程，得的关系，再代入可求得的范围．‎ ‎【详解】解：（1）设过焦点的直线与抛物线分别交于点，，‎ 与抛物线方程联立得，则，‎ ‎，等号成立时，，‎ 即，故抛物线；‎ ‎（2）由题知，故可设直线方程为，‎ - 20 -‎ 与抛物线的方程联立得，‎ 则即①，‎ 又，‎ 设中点为，则，‎ ‎，‎ 又点在直线上，故，‎ 则，‎ 代入①式得，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的范围问题，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当曲线与x轴相切时，求证：不等式对任意恒成立；‎ ‎（2）已知A，B是曲线上任意不同的两点，若直线AB的斜率恒小于1，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设曲线与轴切于点，则，由此可求得，然后证明恒成立，即在上的最大值．‎ ‎（2））设，，表示出，‎ 不妨设，此不等式转化为，这说明函数是减函数，由导数的知识可得的范围．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 设曲线与轴切于点，则 即，且，‎ 故，则 令，，‎ 又，‎ 在上单调递减，‎ ‎，即；‎ ‎（2）设，，‎ 则，‎ 不妨设，，‎ - 20 -‎ 令，则，‎ 即单调递减，‎ 恒成立，‎ 即恒成立，.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式恒成立．利用导数证明不等式成立问题的常用方法：‎ ‎(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．　 ‎ ‎(2)直接将不等式转化成某个函数最值问题．若证明f(x)