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- 2021-06-15 发布
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渭南市尚德中学2017-2018学年度上学期期中考试检测
高二数学试题
时长:120分钟 总分:150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 在数列中,等于( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】C
【解析】设数列为,∵数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,∴(≥3),
∴5+8=13,故选C.
考点:数列的概念.
2. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定 ( )
A. 所有被5整除的整数都不是奇数 B. 所有奇数都不能被5整除
C. 存在被5整除的整数不是奇数 D. 存在奇数,不能被5整除
【答案】C
【解析】∵全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”
∴全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个被5整除的整数不是奇数”,
对比四个选项知,C选项是正确的
故选C
3. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A:当此时满足a>1>b>-1但故A错
对于B:时, 故B对;
对于C:当时此时满足a>1>b>-1,但故C错;
对于D:当时满足a>1>b>-1但故D错;
故选B
4. 已知,函数的最小值是 ( )
A. -18 B. 18 C. 16 D. 4
【答案】D
【解析】∵x>0,∴ 当且仅当 时取等号,所以函数的最小值是4
故选D
5. 在中,,则是 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】根据正弦定理得即
因为 即,所以是等腰三角形
故选A
6. 不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】等价于 解集为
故选B
7. 若命题为真命题,则,的真假情况为 ( )
A. 真,真 B. 真,假 C. 假,真 D. 假,假
【答案】B
【解析】对于A:真,真则为假命题,故A错;
对于B:真,假则为真命题,故B对;
对于C:假,真则为假命题,故C错;
对于D:假,假则为假命题,故D错;
故选B
8. 数列满足: ,则的等差中项是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数列{an}满足:an-2an-1=0(n≥2),a1=1,即an=2an-1,
∴数列{an}是等比数列,公比为2.
∴an=1×2n-1=2n-1.
则a2与a4的等差中项=
故选C
9. 设:, :不等式的解集,则是成立的 ( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】则,所以:,所以由p推不出q,由q能推出p,故
是成立的必要不充分条件
故选C
10. 等差数列中,,,则数列的前9项的和S9等于 ( )
A. 99 B. 66 C. 144 D. 297
【答案】A
【解析】所以
...............
11. 数列中,,,且,则等于 ( )
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】所以数列是等差数列,由,可知 ,所以公差, 等于
故选B
点睛:本题通过递推公式构造新的特殊数列,比如等差或等比数列,利用等差或等比数列的知识求解问题,考查了等差数列的通项公式.
12. 在中,内角的对边分别是,已知成等比数列,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知有b2=ac,cosB=,所以 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.于是故选D
点睛:本题考查了等比数列的性质、正弦定理与余弦定理、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力和计算能力.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知,则的最小值为________________.
【答案】16
【解析】当且仅当 时取等号
故答案为16
14. 若满足约束条件则的最大值为________________.
【答案】9
考点:线性规划问题
15. 若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】试题分析:不等式对一切x∈R恒成立,
即对一切x∈R恒成立
若a+2=0,显然不成立,若a+2≠0,则解得a>2.综上,a>2
考点:一元二次不等式的解法
16. 有下列几个命题:
①“若,则”的否命题;
②“若,则,互为相反数”的逆命题;
③“若,则”的逆否命题;
④ “若,则有实根”的逆否命题;
其中真命题的序号是_____.
【答案】②③④
【解析】对于①“若,则”的否命题为“若,则”,当时, 故①为假命题;
对于②,逆命题为“若,互为相反数,则”为真命题,所以②为真命题;
对于③,逆否命题与原命题同真假,原命题“若,则”为真命题,所以③对;
对于④,逆否命题与原命题同真假,原命题“若,则有实根”为真命题,所以④对;
故答案为②③④
点睛:本题考查了四种命题的真假判断,原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17. 已知命题:关于的方程有实根;命题:关于的函数在上是增函数,若且是真命题,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析:由已知中,命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,我们可以求出命题p与命题q为真时,实数a的取值范围,又由且是真命题,则 ,均为真,求交集即可得的取值范围.
试题解析:
若命题是真命题,则,
即或;
若命题是真命题,则,即.
∵且是真命题, ∴,均为真,
∴的取值范围为.
18. 已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)各项均为正数的等比数列中,,,求的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)求{an}的通项公式,可先由a2=2,a5=8求出公差,再由an=a5+(n-5)d,求出通项公式;(2)设各项均为正数的等比数列的公比为q(q>0),利用等比数列的通项公式可求首项及公比q,代入等比数列的前n项和公式可求Tn.
试题解析:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
则由已知得∴a1=0,d=2.
∴an=a1+(n-1)d=2n-2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4,
∵a4=6
∴解得: q=2或q=-3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2.
∴{bn}的前n项和Tn===
19. 已知不等式的解集为或,
(1)求,的值;
(2)解不等式.
【答案】(1),;(2)或.
【解析】试题分析:(1)由已知解集的端点可知1和b为方程ax2-3x+2=0的两个解,把x=1代入方程求出a的值,进而求出b的值;(2)将,代入不等式得,,
可转化为:,由“穿针引线”法可得结果.
试题解析:
(1)由已知得1,是方程的两根,
∴,∴,
∴方程其两根为,,
∴.
(2)将,代入不等式得,,
可转化为:,
如图,由“穿针引线”法可得
原不等式的解集为或.
20. 在中,内角的对边分别是,已知,.
(1)若,求角的大小;
(2)若,求边及的面积.
【答案】(1);(2),.
【解析】试题分析:(1)由正弦定理,得,解得. 又∵,则,根据三角形内角和为即得角C(2) 由余弦定理,得 整理得又∵,∴.由可得的面积.
试题解析:
(1)由正弦定理,得
解得. 又∵, 则, .
(2)由余弦定理,得 整理得
又∵,∴.
由==.
21.
设某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为层,则每平方米的平均建筑费用为 (单位:元).
(1)写出楼房每平方米的平均综合费用关于建造层数的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
【答案】(1)y=560+48x+(x≥10,x∈N*);(2)该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
【解析】试题分析:(1)由已知得,楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和,由已知中某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋x层,每层2000平方米的楼房,我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)由(1)中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式,要求楼房每平方米的平均综合费用最小值,利用基本不等式,求最小值.
试题解析:
(1)依题意得y=(560+48x)+
=560+48x+(x≥10,x∈N*).
(2)∵x>0,∴48x+≥2=1440,
当且仅当48x=,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).
∴当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
点睛:函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.
22. 已知数列的前项和,是等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;
(3)令,求数列的前项和.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】试题分析:(1)数列{an}的前n项和为Sn=3n2+8n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,当n=1时,a1=S1.即可得出.(2)数列{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1,可得11=b1+b2,17=b2+b3,解得d,b1.
(3)由(1)知,错位相减求和得
试题解析:
(1)由题意当时,,当时,;所以;
(2)设数列的公差为,由,即,解之得,所以。
(3)由(1)知,
又,
即,
所以,
以上两式两边相减得
所以.
点睛:本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力.